(文科)立体几何题型与方法教师.doc
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空间几何体题型与方法归纳(文科版)
考点一证明空间线面平行与垂直
1、如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AA1=4,点D是AB的中点,
(I)求证:
AC⊥BC1;
(II)求证:
AC1//平面CDB1;
解析:
(1)证明线线垂直方法有两类:
一是通过三垂线定理或逆定理证明,二是通过线面垂直来证明线线垂直;
(2)证明线面平行也有两类:
一是通过线线平行得到线面平行,二是通过面面平行得到线面平行.
答案:
解法一:
(I)直三棱柱ABC-A1B1C1,底面三边长AC=3,BC=4AB=5,
∴AC⊥BC,且BC1在平面ABC内的射影为BC,∴AC⊥BC1;
(II)设CB1与C1B的交点为E,连结DE,∵D是AB的中点,E是BC1的中点,
A
B
C
A1
B1
C1
E
x
y
z
∴DE//AC1,∵DE平面CDB1,AC1平面CDB1,
∴AC1//平面CDB1;
解法二:
∵直三棱柱ABC-A1B1C1底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,∴AC、BC、C1C两两垂直,如图,以C为坐标原点,直线CA、CB、C1C分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D(,2,0)
(1)∵=(-3,0,0),=(0,-4,0),∴•=0,∴AC⊥BC1.
(2)设CB1与C1B的交战为E,则E(0,2,2).∵=(-,0,2),=(-3,0,4),∴,∴DE∥AC1.
点评:
转化
转化
2.平行问题的转化:
面面平行线面平行线线平行;
主要依据是有关的定义及判定定理和性质定理.
2、如图所示,四棱锥P—ABCD中,ABAD,CDAD,PA底面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M为PC的中点。
(1)求证:
BM∥平面PAD;
(2)在侧面PAD内找一点N,使MN平面PBD;
(1)是的中点,取PD的中点,则
,又
四边形为平行四边形
∥,
∥ (4分)
(2)由
(1)知为平行四边形
,又
同理,
为矩形∥,,又
作故
交于,在矩形内,,
,为的中点
当点为的中点时,
3.【2012高考山东文19】(本小题满分12分)
如图,几何体是四棱锥,△为正三角形,.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)若∠,M为线段AE的中点,
求证:
∥平面.
【答案】(I)设中点为O,连接OC,OE,则由知,,
又已知,所以平面OCE.
所以,即OE是BD的垂直平分线,
所以.
(II)取AB中点N,连接,
∵M是AE的中点,∴∥,
∵△是等边三角形,∴.
由∠BCD=120°知,∠CBD=30°,所以∠ABC=60°+30°=90°,即,
所以ND∥BC,
所以平面MND∥平面BEC,故DM∥平面BEC.
4、(2012年高考(江苏))如图,在直三棱柱中,,分别是棱上的点(点不同于点),且为的中点.
求证:
(1)平面平面;
(2)直线平面.
【答案】证明:
(1)∵是直三棱柱,∴平面.
又∵平面,∴.
又∵平面,∴平面.
又∵平面,∴平面平面.
(2)∵,为的中点,∴.
又∵平面,且平面,∴.
又∵平面,,∴平面.
由
(1)知,平面,∴∥.
又∵平面平面,∴直线平面
【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系.
【解析】
(1)要证平面平面,只要证平面上的平面即可.它可由已知是直三棱柱和证得.
(2)要证直线平面,只要证∥平面上的即可.
考点二求空间图形中距离与体积
5、(安徽理17)
如图,为多面体,平面与平面垂直,点在线段上,△OAB,,△,△,△都是正三角形。
(Ⅰ)证明直线∥;
(II)求棱锥F—OBED的体积。
(I)(综合法)
证明:
设G是线段DA与EB延长线的交点.由于△OAB与△ODE都是正三角形,所以
=
∥,OG=OD=2,
同理,设是线段DA与线段FC延长线的交点,有
又由于G和都在线段DA的延长线上,所以G与重合.
=
=
在△GED和△GFD中,由=
∥和OC∥,可知B和C分别是GE和GF的中点,所以BC是△GEF的中位线,故BC∥EF.
(向量法)
过点F作,交AD于点Q,连QE,由平面ABED⊥平面ADFC,知FQ⊥平面ABED,以Q为坐标原点,为轴正向,为y轴正向,为z轴正向,建立如图所示空间直角坐标系.
由条件知
则有
所以即得BC∥EF.
(II)解:
由OB=1,OE=2,,而△OED是边长为2的正三角形,故
所以
过点F作FQ⊥AD,交AD于点Q,由平面ABED⊥平面ACFD知,FQ就是四棱锥F—OBED的高,且FQ=,所以
6.(四川19)
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中.∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1.D是棱CC1上的一P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA.
(I)求证:
CD=C1D:
(Ⅱ)求点C到平面B1DP的距离.
.解析:
(1)连接交于,,
又为的中点,
中点,,,D为的中点。
(2)因为,所以,
在中,,
7.【2012高考湖南文19】(本小题满分12分)
如图6,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD.
(Ⅰ)证明:
BD⊥PC;
(Ⅱ)若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30°,求四棱锥P-ABCD的体积.
【答案】
【解析】(Ⅰ)因为
又是平面PAC内的两条相较直线,所以BD平面PAC,
而平面PAC,所以.
(Ⅱ)设AC和BD相交于点O,连接PO,由(Ⅰ)知,BD平面PAC,
所以是直线PD和平面PAC所成的角,从而.
由BD平面PAC,平面PAC,知.
在中,由,得PD=2OD.
因为四边形ABCD为等腰梯形,,所以均为等腰直角三角形,
从而梯形ABCD的高为于是梯形ABCD面积
在等腰三角形AOD中,
所以
故四棱锥的体积为.
【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明,考查空间角的应用,及几何体体积计算.第一问只要证明BD平面PAC即可,第二问由(Ⅰ)知,BD平面PAC,所以是直线PD和平面PAC所成的角,然后算出梯形的面积和棱锥的高,由算得体积.
8.【2012高考广东文18】本小题满分13分)
如图5所示,在四棱锥中,平面,,,是的中点,是上的点且,为△中边上的高.
(1)证明:
平面;
(2)若,,,求三棱
锥的体积;
(3)证明:
平面.
【解析】
(1)证明:
因为平面,
所以。
因为为△中边上的高,
所以。
因为,
所以平面。
(2)连结,取中点,连结。
因为是的中点,
所以。
因为平面,
所以平面。
则,
。
(3)证明:
取中点,连结,。
因为是的中点,
所以。
因为,
所以,
所以四边形是平行四边形,
所以。
因为,
所以。
因为平面,
所以。
因为,
所以平面,
所以平面。
9.【2012高考陕西文18】(本小题满分12分)
直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,=
(Ⅰ)证明;
(Ⅱ)已知AB=2,BC=,求三棱锥 的体积
【解析】(Ⅰ)如图,连结,
是直三棱柱,=,[来源:
,
平面,故.
又,四边形是正方形,
,又,
平面,故.
(Ⅱ),,.
由(Ⅰ)知,平面,
S△·=.
10.【2012高考辽宁文18】(本小题满分12分)
如图,直三棱柱,,AA′=1,点M,N分别为和的中点。
(Ⅰ)证明:
∥平面;
(Ⅱ)求三棱锥的体积。
(椎体体积公式V=Sh,其中S为地面面积,h为高)
【命题意图】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,难度适中。
【解析】
(1)(法一)连结,由已知
三棱柱为直三棱柱,
所以为中点.又因为为中点
所以,又平面
平面,因此……6分
(法二)取的中点为P,连结MP,NP,
∵分别为和的中点,
∴MP∥,NP∥,
∴MP∥面,NP∥面,
∵,∴面MPN∥面,
∵MN面,∴MN∥面.
(Ⅱ)(解法一)连结BN,由题意⊥,面∩面=,
∴⊥⊥面NBC,∵==1,
∴.
(解法2)
【解析】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,难度适中。
第一小题可以通过线线平行来证明线面平行,也可通过面面平行来证明;第二小题求体积根据条件选择合适的底面是关键,也可以采用割补发来球体积。
11\【2012高考新课标文19】(本小题满分12分)
如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点
(I)证明:
平面BDC1⊥平面BDC
(Ⅱ)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.
C
B
A
D
C1
A1
【命题意图】本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算,考查空间想象能力、逻辑推理能力,是简单题.
【解析】(Ⅰ)由题设知BC⊥,BC⊥AC,,∴面,又∵面,∴,
由题设知,∴=,即,
又∵,∴⊥面,∵面,
∴面⊥面;
(Ⅱ)设棱锥的体积为,=1,由题意得,==,
由三棱柱的体积=1,
∴=1:
1,∴平面分此棱柱为两部分体积之比为1:
1.
考点三探索性问题
12、(2012年高考(湖北理))如图1,,,过动点A作,垂足D在线段BC上且异于点B,连接AB,沿将△折起,使(如图2所示).
D
A
B
C
A
C
D
B
图2
图1
M
E
.
·
(Ⅰ)当的长为多少时,三棱锥的体积最大;
(Ⅱ)当三棱锥的体积最大时,设点,分别为棱,的中点,试在
棱上确定一点,使得.
考点分析:
本题考察立体几何线面的基本关系,考察如何取到最值,用均值不等式和导数均可求最值.同时考察直线与平面所成角.本题可用综合法和空间向量法都可以.运用空间向量法对计算的要求要高些.
解析:
(Ⅰ)解法1:
在如图1所示的△中,设,则.
由,知,△为等腰直角三角形,所以.
由折起前知,折起后(如图2),,,且,
所以平面.又,所以.于是
当且仅当,即时,等号成立,
故当,即时,三棱锥的体积最大.
解法2:
同解法1,得.
令,由,且,解得.
当时,;当时,.
C
A
D
B
图a
E
M
x
y
z
图b
C
A
D
B
E
F
M
N
图c
B
D
P
C
F
N
E
B
G
M
N
E
H
图d
N
所以当时,取得最大值.
故当时,三棱锥的体积最大.
(Ⅱ)
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