自动控制原理-胡寿松-第二章-控制系统的数学模型PPT推荐.ppt
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本章目录2-1控制系统的时域数学模型2-2控制系统的复数域数学模型2-3控制系统的结构图与信号流图2-4在Matlab中数学模型的表示2-5本章小结2-6控制系统建模实例2-1控制系统的时域数学模型本节着重研究描述线性、定常、集总参量(对应非线性,时变、分布参量)控制系统的微分方程的建立和求解方法。
本节内容:
1.线性元件的微分方程2.控制系统微分方程的建立3.线性系统的基本特性4.线性定常微分方程的求解5.非线性微分方程的线性化6.运动的模态返回1.线性元件的微分方程控制系统是由各种物理元件有机组合构成的,因此,在研究控制系统的数学模型之前,我们有必要对常见控制系统中常用的物理元件的数学模型进行研究,最终将这些元件的数学模型合理组合起来就构成了整个控制系统的数学模型。
举例说明控制系统中常用的电气元件、力学元件等微分方程的列写。
(在允许的情况下,通常将非线性特性不强物理元件认为是线性的,以简化处理;
如果非线性较强,则不能认为是线性的。
)例例2-2-11图中是由电阻R、电感L和电容C组成的RLC无源网络,试列写以为输入量,以为输出量的网络微分方程。
解解设回路电流为,由基尔霍夫定律可写出回路方程为消去中间变量,便得到描述网络输入输出关系的微分方程为显然,这是一个二阶线性微分方程,也就是上图无源网络的时域数学模型。
例例试列写图中所示RC无源网络的微分方程。
输入为ui(t),输出为u0(t)。
解解根据基尔霍夫定理,可列出以下式子:
整理得:
令T1=R1C1,T2=R2C2,T3=R1C2则得该网络的数学模型是一个二阶线性常微分方程。
(两个储能元件)讨论:
比较两个例题的时域表达式的形式均为二阶线性微分方程,模型结构均为:
因此,验证了不同的系统有结构相似的数学模型(相似系统)。
因此研究某一类通用的数学模型,可以对应很多种系统,这在下面将要介绍的弹簧质量阻尼器系统中可以得到更进一步的证实。
另外,对无源网络来说,电感、电容的个数决定了微分方程的阶次。
例例2-2-33图为一弹簧阻尼系统,当外力FF(t)作用于系统时,系统将产生运动。
试列写外力FF(t)与位移y(t)之间的微分方程。
解解弹簧和阻尼器有相应的弹簧阻力F1(t)和粘性摩擦阻力F2(t),根据牛顿第二定律有:
其中F1(t)和F2(t)可由弹簧、阻尼器特性写出式中k弹簧系数f阻尼系数代入,整理且标准化令称为时间常数;
称为阻尼比;
称为放大系数。
得该网络的数学模型也是一个二阶线性常微分方程。
例例2-22-2试写图所示电枢控制直流电动机的微分方程,要求取电枢电压为输入量,电动机转速为输出量。
图中,分别是电枢电路的电阻和电感;
是折合到电动机轴上的总负载转矩。
励磁磁通设为常值。
解解电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转化为机械能,也就是由输入电枢电压在电枢或回路中产生电枢电流,再由电枢电流与激磁磁通相互作用产生电磁转矩,从而拖动负载运动。
因此直流电动机的运动方程可由以下三部分组成:
电枢回路电压平衡方程电磁转矩方程电动机轴上的转矩平衡方程以上三式联立,消去中间变量,便可得到以为输出量,以为输入量的直流电动机微分方程二阶微分方程如果电枢电阻和电动机的转动惯量都很小,可以忽略不计时,上式可以简化为在工程应用中,由于电枢电路电感较小,通常忽略不计,上式可简化为一阶微分方程电动机转速与电枢电压成正比,因此,电动机可作为测速发电机使用,构成反馈系统。
列写微分方程的步骤可以总结如下:
1.根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用,确定其输入量和输出量。
2.分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律,列写相应的微分方程。
3.消去中间变量,得到输出量与输入量之间关系的微分方程,便是元件时域的数学模型。
一般情况下,应将微分方程写为标准形式,即与输入量有关的写在方程的右端,与输出量有关的写在方程的左端,方程两端变量的导数项均按降幂排列。
返回2.控制系统微分方程的建立控制系统的微分方程是其各个组成元件微分方程的有机组合。
建立控制系统的微分方程时,一般先由系统原理图画出系统的方块图,并分别列写组成系统各元件的微分方程;
然消去中间变量便得到描述系统输出量与输入量之间关系的微分方程。
列写系统各元件的微分方程时需注意两点:
1.注意信号传递的单向性,前级的输出是后级的输入。
2.注意前后连接两个元件中,后级对前级的负载效应。
例例2-52-5试列写下图所示速度控制系统的微分方程。
解解控制系统的被控对象是电动机(带负载),系统的输出量是转速,输入量是电压,控制系统由给定电位器、运算放大器1(含比较作用),运算放大器2(含RC校正网络)、功率放大器、直流电动机、测速发电机、减速器等部分组成。
分别列写各部分的微分方程:
运算放大器1(形成并放大偏差)运算放大器2(RC校正网络)功率放大器直流电动机齿轮系测速发电机从上述方程中,消去各个中间变量,整理后便可得到控制系统的微分方程:
一阶微分方程该式可用于研究在给定电压或有负载扰动转矩时,速度控制系统的动态性能。
讨论从以上几个例题所示线性元件或控制系统的微分方程可以发现,不同类型的线性元件或控制系统可具有形式相同的数学模型。
例如,RLC无源网络和弹簧-质量-阻尼器机械系统的数学模型均是二阶微分方程,或者例题2-5的速度控制系统可看做为一阶微分方程,我们称这些物理系统为相似系统。
相似系统揭示了不同物理现象间的相似关系,便于我们使用一个简单数学模型去研究与其相似的复杂系统,也为控制系统的计算机数字仿真提供了基础。
返回3.线性系统的基本特性能用线性微分方程描述的系统称为线性系统。
(自控原理主要研究的一类系统)一般情况下,描述线性系统输入与输出关系的微分方程为:
线性时不变(LTI,lineartimeinvaritable)输入与输出关系的微分方程为:
线性系统的重要性质就是满足叠加原理,也就是满足叠加原理的两个性质:
可叠加性和齐次性(或称均匀性)举例说明:
设有线性微分方程为当时,上述方程的解为;
当时,其解为。
如果,容易验证,方程的解必为而当时,式中A为常数,则方程的解必为这就是可叠加性。
这就是齐次性(或称均匀性)。
线性系统的叠加原理表明,两个外作用同时加于系统所产生的总输出,等于各个外作用单独作用时分别产生的输出之和,且外作用的数值增大若干倍时,其输出亦相应增大同样倍数。
因此,对线性系统进行分析和设计时,如果有几个外作用同时施加于系统,则可以讲他们分别处理,依次求出各个外作用单独加入时系统的输出,然后将他们叠加。
此外,每个作用在数值上可取单位值,从而大大简化了线性系统的研究工作。
返回4.线性定常微分方程的求解线性定常微分方程的求解方法有经典法拉氏变换法(详细阅读教材附录A,拉氏变换P632)计算机求解(matlab)在自动控制原理中,重点掌握拉氏变换法求解线性定常微分方程,其核心思想是将微分方程转换为线性代数方程,以简化计算。
具体步骤可归结为:
1)考虑初始条件,对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换,将微分方程转换为变量s的代数方程。
2)由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式。
3)对输出量拉氏变换函数求反变换,得到输出量的时域表达式,即为所求微分方程的解。
拉氏变换表(常用函数)拉氏变换线性定理其中,拉氏变换的微分定理特别,拉氏变换的初值定理终值定理例题2-6(理解拉氏变换求解微分方程的方法,零输入响应,零状态响应,初值定理和终值定理)例2-6在例2-1中,若已知,且电容上初始电压,初始电流,电源电压。
试求电路突然接通电源时,电容电压的变化规律。
解解已得网络微分方程为对各个变量取拉氏变换(注意初始条件)代入整理,得拉氏变换法解此微分方程:
由于电路是突然接通电源的,因此可以视为阶跃输入量,即,或看做,代入求拉式反变换得到网络微分方程的解部分分式法,或留数法前两项与与初始条件无关,是由网络输入产生的,因此称为零状态响应,后一项是初始条件产生的,称为零输入响应。
如果电路时突然接通又立即断开,则可看做输入响应时脉冲函数,即,代入可求得网络的输出的单位脉冲响应,即为另外,利用拉氏变换的初值定理和终值定理,可以直接从的表达式中直接求出网络电压的的初始值和终值。
当时,的初始值为的终值为返回5.非线性微分方程的线性化非线性环节广泛存在。
严格地讲,几乎所有实际物理和化学系统都是非线性的。
例如,弹簧刚度并非常值,实际上与其形变有关,是位移的函数;
电阻、电容、电感等参数值也并非常值,与周围环境等有关;
电动机本身的摩擦、死区等非线性因素会使其运动方程复杂化而成为非线性方程。
处理非线性的方法1.忽略,视为线性元件。
2.切线法,小偏差法。
(本节讨论,适用范围有限,近似法)3.非线性系统理论,如描述函数法、相平面法、逆系统法等。
切线法的实质是:
在小范围内,用切线代替曲线,从而达到线性化的目的。
具体做法是:
在工作点附近进行泰勒级数展开,忽略高次项。
切线法(小偏差法)线性化具体推导:
为连续变化的非线性函数。
取某平衡状态A为工作点。
对应有。
当时,。
设在连续可微,则将它在该点附近用泰勒级数展开为当增量很小时,略去其高次幂项,则有略去,便得到函数在工作点A附近的线性化方程为。
对于具有两个变量的非线性函数,同样可在某工作点用泰勒级数展开的方式简化为线性函数(参见教材)。
注意:
线性化方程的参数与工作点(平衡状态)有关。
应用微偏法,工作范围不能过大,否则误差大。
到底多大合适,与非线性曲线形状有关。
实际中的控制系统稳定运行后,一般都处在平衡点附近。
确定了控制系统期望的平衡点后,可以应用切线法来解决控制系统的非线性问题。
例例2-7设铁芯线圈电路如图,其磁通与线圈中电流之间关系如下图所示。
试列写亦为输入,为输出的电路微分方程。
解:
设铁芯线圈磁通变化时产生的感应电势为根据基尔霍夫定律有:
在工程应用中,如果电路电压和电流只在某平衡点附近做微小变化,则非线性方程当足够小时,略去高阶导数,令,并略去增量符号,便得到上式便是铁芯线圈电路在平衡点的增量线性化微分方程,若平衡点变动,值也应该改变。
返回6.运动的模态数学上,线性微分方程的解由特解和通解组成,通解由微分方程的特征根所决定,它代表自由运动。
如果n阶微分方程的特征根是且无重根,则把函数称为该微分方程所描述运动的模态,也叫振型。
每一种模态代表一种类型的运动形态,齐次微分方程的通解是它们的线性组合,即如果特征根中有多重实根,则模态会具有如的函数;
如果特征根中有共轭复根,则其具有共轭复模态与,还可写成实函数模态的形式,即与返回2-2控制系统的复数域(频域)数学模型控制系统的微分方程数学模型时域优点:
1.物理意义直观(各种变量意义明确);
2.借助电子计算机可迅速准确求解(迭代法);
缺点:
手工求解复杂。
控制系统的传递函数数学模型频域优点:
1.不仅可以用来表征系统的动态性能,还可用来研究系统结构或参数变化对系统性能的影响。
(根轨迹法、频率响应法)2.手工求解简单,便于图解。
物理意义不直观。
返回本节内容:
1.传递函数的定义和性质2.传递函数的零点和极点3.传递函数的极点和零点对输出的影响4.典型元部件的传递函数1.传递函数的定义和性质传递函数的定义线性定常系统,在零初始条件下,系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
若已知线性定常系统的微分方程为式中c(t)为输出
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