向量组的秩与矩阵的秩PPT文档格式.ppt
- 文档编号:15669018
- 上传时间:2022-11-11
- 格式:PPT
- 页数:35
- 大小:738.50KB
向量组的秩与矩阵的秩PPT文档格式.ppt
《向量组的秩与矩阵的秩PPT文档格式.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《向量组的秩与矩阵的秩PPT文档格式.ppt(35页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
上一页上一页下一页下一页返返回回1第三节第三节向量组的秩与矩阵的秩向量组的秩与矩阵的秩一、向量组的秩一、向量组的秩二、矩阵的秩二、矩阵的秩三、小结三、小结上一页上一页下一页下一页返返回回2一、向量组的秩一、向量组的秩定义定义3.15设有向量组设有向量组T,如果,如果
(1)在T中有个向量线性无关,
(2)T中任意中任意个向量个向量(如果如果T中有中有个向量)都线性相关,个向量)都线性相关,则称则称是向量组是向量组T的的一个一个极大线性极大线性无关组无关组,简称,简称极极大无关组大无关组.一个向量组的一个向量组的极大线性无关极大线性无关组一般不唯一组一般不唯一上一页上一页下一页下一页返返回回3性质:
@#@性质:
@#@向量组线性无关向量组线性无关极大无关组即极大无关组即为向量组本身为向量组本身1.2.向量组向量组是向量组是向量组T的一个的一个极大无关组极大无关组A与与T等价等价证证2任取任取,由极大无关组定义,由极大无关组定义,线性相关,则线性相关,则能由能由线性表示,从而线性表示,从而T能由能由A线性表示,而线性表示,而A能由能由T线性表示显然,因此线性表示显然,因此极大无关组极大无关组A与向量组与向量组T等价等价.上一页上一页下一页下一页返返回回4定理说明向量组的极大无关组所含向量个数与定理说明向量组的极大无关组所含向量个数与极大无关组的极大无关组的选取无关选取无关,反映了向量组的性质,反映了向量组的性质.定义定义33.16向量组向量组T的极大无关组的极大无关组所含向量个数所含向量个数称称为为向量组的秩向量组的秩.记为记为r(T).).定理定理3.9向量组的极大无关组向量组的极大无关组所含向量个数相同所含向量个数相同.上一页上一页下一页下一页返返回回5定理定理3.10等价的等价的向量组具有相同的秩向量组具有相同的秩.定理定理3.11如果如果向量组向量组(I)能由向量组能由向量组(II)线性表示,线性表示,则向量组则向量组(I)的秩小于或等于向量组的秩小于或等于向量组(II)的秩的秩.证证因为向量组(因为向量组(I)可以由向量组()可以由向量组(II)线性表示,)线性表示,利用定理利用定理3.13.1,所以向量组(,所以向量组(I)的极大线性无关组)的极大线性无关组可以由向量组(可以由向量组(II)的极大线性无关组线性表示)的极大线性无关组线性表示.进而由推论进而由推论33可知,向量组(可知,向量组(I)的秩不超过向量)的秩不超过向量组(组(II)的秩)的秩.上一页上一页下一页下一页返返回回6不难看出,如果向量组的秩等于它所含向量的个数,不难看出,如果向量组的秩等于它所含向量的个数,则向量组就是它自身的极大线性无关组则向量组就是它自身的极大线性无关组.下面的结下面的结论进一步说明了如何确定向量组的极大线性无关组论进一步说明了如何确定向量组的极大线性无关组.定理定理3.12如果向量组的秩为如果向量组的秩为r,则则向量组中任意向量组中任意r个个线性无关的向量都为它的一个极大线性无关组线性无关的向量都为它的一个极大线性无关组.上一页上一页下一页下一页返返回回7上一页上一页下一页下一页返返回回8二、矩阵的秩二、矩阵的秩定义定义3.17矩阵的行向量组的秩称为矩阵的矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩行秩;@#@矩阵的列向量组的秩称为矩阵的矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩列秩.如果把矩阵的每一行看成一个向量,那么矩阵如果把矩阵的每一行看成一个向量,那么矩阵就可以认为是由这些行向量所组成的;@#@如果把矩阵就可以认为是由这些行向量所组成的;@#@如果把矩阵的每一列看成一个向量,那么矩阵就可以认为是由的每一列看成一个向量,那么矩阵就可以认为是由这些列向量所组成的这些列向量所组成的.上一页上一页下一页下一页返返回回9例如矩阵例如矩阵不难看出矩阵不难看出矩阵A的行秩为的行秩为r,A的列秩也为的列秩也为r,A的的行秩等于列秩且等于矩阵行秩等于列秩且等于矩阵A的秩的秩.下面说明任何矩阵下面说明任何矩阵A的行秩与列秩都是相等的行秩与列秩都是相等的的,它们都等于它们都等于AA的秩的秩.上一页上一页下一页下一页返返回回10引理引理1两个两个n维列向量组维列向量组与与,若存在可逆的若存在可逆的矩阵矩阵P,使得使得则向量组则向量组线性无关当且仅当向量组线性无关当且仅当向量组线性无关线性无关.证证假设假设线性无关,考虑方程线性无关,考虑方程由条件,利用分块矩阵的乘法,我们有由条件,利用分块矩阵的乘法,我们有上一页上一页下一页下一页返返回回11代入上式,得代入上式,得即即因因P可逆,可逆,上式两边同时左乘上式两边同时左乘,得,得因因线性无关,则线性无关,则所以所以线性无关线性无关.上一页上一页下一页下一页返返回回12进而由上述证明可得,向量组进而由上述证明可得,向量组线性无关线性无关.反之反之,假设向量组假设向量组线性无关线性无关,有有上一页上一页下一页下一页返返回回13定理定理3.13矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩,也不也不改变矩阵的列秩改变矩阵的列秩.则则存在可逆矩阵存在可逆矩阵P及可逆矩阵及可逆矩阵Q,使得使得设设矩阵矩阵A经初等变换经初等变换变为矩阵变为矩阵B,则则证证首先证明首先证明A的列秩等于的列秩等于B的列秩,记的列秩,记上一页上一页下一页下一页返返回回14及及则则且且能由能由线性表示线性表示.而而Q可逆,可逆,可知可知与与有相同的秩有相同的秩.所以所以能由能由线性表示线性表示.因此因此与与等价等价,因而秩相同因而秩相同.所以所以与与的秩相同的秩相同.上一页上一页下一页下一页返返回回15而要证明而要证明A的行秩等于的行秩等于B的行秩,只需取转置的行秩,只需取转置,由由可知可知与与的列秩相同的列秩相同,也即也即A的行秩与的行秩与B的的行秩相同行秩相同.上一页上一页下一页下一页返返回回16定理定理3.14任何矩阵的行秩都等于矩阵的列秩任何矩阵的行秩都等于矩阵的列秩.因为矩阵因为矩阵A经初等变换可经初等变换可变为等价标准型变为等价标准型证证而而B的行秩与列秩均为的行秩与列秩均为r,从而从而A的行秩与列秩的行秩与列秩也为也为r,故故A的行秩等于的行秩等于A的列秩的列秩.上一页上一页下一页下一页返返回回17定理定理3.15矩阵矩阵A的行秩或列秩等于的行秩或列秩等于r的充分必要条的充分必要条件是件是矩阵矩阵A的非零子式的最高阶数为的非零子式的最高阶数为r.证证必要性必要性量组的极大线性无关组量组的极大线性无关组.且记前且记前r行组成的矩阵为行组成的矩阵为假设假设的行秩为的行秩为r,不妨假设不妨假设A的前的前r行为行向行为行向上一页上一页下一页下一页返返回回18显然显然,B的行秩为的行秩为r,因而列秩也为因而列秩也为r,不妨假设不妨假设B的前的前r列列为列向量组的极大无关组为列向量组的极大无关组.且记且记显然显然即即A有一个有一个r阶子式不为零阶子式不为零.此外,由此外,由A的行秩为的行秩为r,则则A的任意的任意r+1个行向量均线性相关个行向量均线性相关,从而从而A的任意的任意r+1阶子式的行向量也线性相关阶子式的行向量也线性相关,上一页上一页下一页下一页返返回回19这样这样,A的任意的任意r+1子式均为零子式均为零,再由行列式展再由行列式展开定理知,矩阵开定理知,矩阵A的所有阶数大于的所有阶数大于r的子式也全为的子式也全为零,故零,故A的非零子式的最高阶数为的非零子式的最高阶数为r.充分性充分性假设假设A的非零子式的最高阶数为的非零子式的最高阶数为r,如果如果A的秩为的秩为t,则由必要性可知,则由必要性可知,A的非零子式的最高阶数为的非零子式的最高阶数为t,则必有则必有t=r,即即A的秩为的秩为r.推论推论n阶矩阵阶矩阵A的行列式为零当且仅当的行列式为零当且仅当A的秩小于的秩小于n.上一页上一页下一页下一页返返回回20定理定理3.16设矩阵设矩阵A的秩为的秩为r,则则A的的r阶阶非零子式所非零子式所在的行就是在的行就是A的行向量组的一个极大无关组;@#@所在的的行向量组的一个极大无关组;@#@所在的列就是列就是A的列向量组的一个极大无关组的列向量组的一个极大无关组.证证因为矩阵因为矩阵A的秩为的秩为r,则,则A中必有一个中必有一个r阶子式不为零阶子式不为零,设设不妨设不妨设A的左上角的的左上角的r阶子式不为零阶子式不为零,即即上一页上一页下一页下一页返返回回21由定理由定理3.4知,构成这个知,构成这个r阶子式的向量组阶子式的向量组是线性无关的,进而由定理是线性无关的,进而由定理3.3可知,这些向量添加可知,这些向量添加分量后所得向量组分量后所得向量组上一页上一页下一页下一页返返回回22而而A的行向量组的秩为的行向量组的秩为r,由定理,由定理3.12可知,可知,类似考虑类似考虑A的转置的转置,即可证明列即可证明列.也是线性无关的,即向量组也是线性无关的,即向量组线性无关,线性无关,是是A的行向量组的一个极大无关组,的行向量组的一个极大无关组,这样,我们证明了这样,我们证明了A的的r阶非零子式所在的行就阶非零子式所在的行就是是A的行向量组的一个极大线性无关组的行向量组的一个极大线性无关组.上一页上一页下一页下一页返返回回23推论推论11推论推论22上一页上一页下一页下一页返返回回24例例11上一页上一页下一页下一页返返回回25上一页上一页下一页下一页返返回回26注:
@#@注:
@#@1.矩阵矩阵A的某个的某个r阶阶子式子式D是是A的最高的最高阶非零子式阶非零子式D所在所在r个行(列)向量个行(列)向量是矩阵是矩阵A的行(列)向量的行(列)向量组的一个极大无关组组的一个极大无关组2.矩阵矩阵A的秩的秩A的行秩的行秩A的列秩的列秩上一页上一页下一页下一页返返回回27因为矩阵的初等行变换不改变列向量间的线性相关因为矩阵的初等行变换不改变列向量间的线性相关下面给出求向量组的秩与极大无关组的方法下面给出求向量组的秩与极大无关组的方法.性,求向量组的最大线性无关组,只需把向量组性,求向量组的最大线性无关组,只需把向量组作为列向量作为列向量组成矩阵组成矩阵A,用,用初等行变换初等行变换化化A为阶梯为阶梯形矩阵,阶梯形矩阵中,形矩阵,阶梯形矩阵中,每个阶梯上第一个非零元每个阶梯上第一个非零元所在的列对应的向量组所在的列对应的向量组即为所求的一个极大无关组即为所求的一个极大无关组,而阶梯型矩阵的而阶梯型矩阵的秩秩即为向量组的即为向量组的秩秩.上一页上一页下一页下一页返返回回28而用极大线性无关组线性表出其余向量而用极大线性无关组线性表出其余向量,只需对只需对行阶梯形矩阵继续用行阶梯形矩阵继续用初等行变换化为行最简形初等行变换化为行最简形.具体来说具体来说
(1)将向量组)将向量组作为作为列向量列向量构成矩阵构成矩阵A;@#@
(2)应用)应用初等行变换初等行变换将矩阵将矩阵A化为阶梯形矩阵化为阶梯形矩阵B,则则B的非零行的行数的非零行的行数r就为矩阵就为矩阵A的秩,也即原向量的秩,也即原向量组的秩为组的秩为r;@#@上一页上一页下一页下一页返返回回29(4)继续应用)继续应用初等行变换初等行变换将阶梯形矩阵将阶梯形矩阵B化为化为最简行阶梯形矩阵最简行阶梯形矩阵C,由由C的列向量间的线性的列向量间的线性组合关系式用极大无关组线性表出其余向量组合关系式用极大无关组线性表出其余向量.(3)选取选取B的一个的一个r阶非零子式,则该子式所在的阶非零子式,则该子式所在的列所对应的列所对应的A的的列向量组就为原向量组的一个极大列向量组就为原向量组的一个极大无关组;@#@无关组;@#@上一页上一页下一页下一页返返回回30例例2解解将向量组作为列向量组成矩阵将向量组作为列向量组成矩阵上一页上一页下一页下一页返返回回31对对A施行
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 向量 矩阵