全国初中数学竞赛试题含答案.docx
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全国初中数学竞赛试题含答案
全国初中数学竞赛试题
一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分。
以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里。
不填、多填或错填均得0分)
1、在高速公路上,从3千米处开始,每隔4千米经过一个限速标志牌;并且从10千米处开始,每隔9千米经过一个速度监控仪。
刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施,那么第二次同时经过这两种设施的千米数是()
A、36B、37C、55D、90
2、已知,,且,则a的值等于()
A、B、5C、D、9
3、的三个顶点A,B,C均在抛物线上,并且斜边AB平行于x轴。
若斜边上的高为h,则()
A、B、C、D、
4、一个正方形纸片,用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;拿出其中一部分,再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;又从得到的三部分中拿出其中之一,还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去,最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片,则至少要剪的刀数是()
A、2004B、2005C、2006D、2007
5、如图,正方形ABCD内接于⊙O,点P在劣弧AB上,连结DP,交AC于点Q.若,则的值为()
A、B、C、D、
二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)
6、已知a,b,c为整数,且,.若,则的最大值为.
7、如图,面积为的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC,其中a,b,c为整数,且b不能被任何质数的平方整除,则的值等于.
8、正五边形广场ABCDE的周长为2000米.甲、乙两人分别从A、C两点同时出发,沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走,甲的速度为50米/分,乙的速度为46米/分.那么出发后经过分钟,甲、乙两人第一次行走在同一条边上。
9、已知,且满足,则的值等于.(表示不超过x的最大整数)
10、小明家电话号码原为六位数,第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8,成为一个七位数的电话号码;第二次升位是在首位号码前加上数字2,成为一个八位数的电话号码.小明发现,他家两次升位后的电话号码的八位数,恰是原来电话号码的六位数的81倍,则小明家原来的电话号码是.
三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)
11、已知,,为互质的正整数(即,是正整数,且它们的最大公约数为1),且,.
(1)试写出一个满足条件的x;
(2)求所有满足条件的x.
12、设,,为互不相等的实数,且满足关系式:
①和②
求a的取值范围。
13、如图,点P为⊙O外一点,过点P作⊙O的两条切线,切点分别为A,B.过点A作PB的平行线,交⊙O于点C.连结PC,交⊙O于点E;连结AE,并延长AE交PB于点K.求证:
.
14、10个学生参加n个课外小组,每一个小组至多5个人,每两个学生至少参加某一个小组,任意两个课外小组,至少可以找到两个学生,他们都不在这两个课外小组中。
求n的最小值。
全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分。
以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里。
不填、多填或错填均得0分)
1、在高速公路上,从3千米处开始,每隔4千米经过一个限速标志牌;并且从10千米处开始,每隔9千米经过一个速度监控仪。
刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施,那么第二次同时经过这两种设施的千米数是()
A、36B、37C、55D、90
答案:
C
解析:
因为4和9的最小公倍数为36,,所以第二次同时经过这两种设施的千米数是在55千米处。
故选C.
2、已知,,且,则a的值等于()
A、B、5C、D、9
答案:
C
解析:
由已知可得,
又
所以,解得
故选C.
3、的三个顶点A,B,C均在抛物线上,并且斜边AB平行于x轴。
若斜边上的高为h,则()
A、B、C、D、
答案:
B
解析:
由已设点A的坐标为(a,),点C的坐标为(c,)(),则点B的坐标为(,),由勾股定理,得
,,
所以.
由于,所以,故斜边AB上高
故选B.
4、一个正方形纸片,用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;拿出其中一部分,再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;又从得到的三部分中拿出其中之一,还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去,最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片,则至少要剪的刀数是()
A、2004B、2005C、2006D、2007
答案:
B
解析:
根据题意,用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时,每剪开一次,使得各部分的内角和增加.于是,剪过k次后,可得()个多边形,这些多边形的内角和为.因这()个多边形中有34个六十二边形,它们的内角和为,其余多边形有(个),而这些多边形的内角和不少于.所以,解得.
当我们按如下方式剪2005刀时,可以得到符合条件的结论.先从正方形上剪下1个三角形,得到1个三角形和1个五边形;再在五边形上剪下1个三角形,得到2个三角形和1个六边形……如此下去,剪了58刀后,得到58个三角形和1个六十二边形。
再取33个三角形,在每个三角形上剪一刀,又可得到33个三角形和33个四边形,对这33个四边形,按上述正方形的剪法,再各剪58刀,便34个六十二边形和33×58个三角形。
于是共剪了
(刀)
故选B.
5、如图,正方形ABCD内接于⊙O,点P在劣弧AB上,连结DP,交AC于点Q.若,则的值为()
A、B、C、D、
答案:
D
解析:
如图,设⊙O的半径为r,,则,,
在⊙O中,根据相交弦定理,得
即
所以.
连结DO,由勾股定理,得
即,解得
所以
故选D.
二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)
6、已知a,b,c为整数,且,.若,则的最大值为.
答案:
5013.
解析:
由,,得
因为,,a为整数,所以,a的最大值为1002
于是,的最大值为5013.
7、如图,面积为的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC,其中a,b,c为整数,且b不能被任何质数的平方整除,则的值等于.
答案:
解析:
设正方形DEFG的边长为x,正三角形ABC的边长为m,则
由∽,可得,解得
于是,
由题意,,,,所以
8、正五边形广场ABCDE的周长为2000米.甲、乙两人分别从A、C两点同时出发,沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走,甲的速度为50米/分,乙的速度为46米/分.那么出发后经过分钟,甲、乙两人第一次行走在同一条边上。
答案:
104
解析:
设甲走完x条边时,甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上,此时甲走了400x米,乙走了米.于是
所以,
故,此时
9、已知,且满足,则的值等于.(表示不超过x的最大整数)
答案:
6.
解析:
因为,所以,,…,等于0或1.由题设知,其中有18个等于1,所以
,
所以,
故,于是,所以.
10、小明家电话号码原为六位数,第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8,成为一个七位数的电话号码;第二次升位是在首位号码前加上数字2,成为一个八位数的电话号码.小明发现,他家两次升位后的电话号码的八位数,恰是原来电话号码的六位数的81倍,则小明家原来的电话号码是.
答案:
282500
解析:
设原来电话号码的六位数为,则经过两次升位后电话号码的八位数为.根据题意,有.
记
于是,
解得
因为,所以,故
因为a为整数,所以.于是
所以,小明家原来的电话号码为282500.
三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)
11、已知,,为互质的正整数(即,是正整数,且它们的最大公约数为1),且,.
(1)试写出一个满足条件的x;
(2)求所有满足条件的x.
解:
(1)满足条件.……………5分
(2)因为,,b为互质的正整数,且,所以
,即
当时,,这样的正整数不存在
当时,,故,此时
当时,,故,此时
当时,,与互质的正整数不存在
当时,,故,此时
当时,,与互质的正整数不存在
当时,,故,4,5此时,,
当时,,故,此时
所以,满足条件的所有分数为,,,,,,.………………15分
12、设,,为互不相等的实数,且满足关系式:
①和②
求a的取值范围。
解法一:
由①-2×②得,所以
当时,………………10分
又当时,由①,②得③
④
将④两边平方,结合③得
化简得,故,
解得,或
所以,a的取值范围为且,.………………………15分
解法二:
因为,
所以,
所以
又
所以,为一元二次方程⑤的两个不相等实数根
故,所以
当时,.………………10分
另外,当时,由⑤式有,
即或,解得,或.
当时,同理可得或
所以,a的取值范围为且,.………………………15分
13、如图,点P为⊙O外一点,过点P作⊙O的两条切线,切点分别为A,B.过点A作PB的平行线,交⊙O于点C.连结PC,交⊙O于点E;连结AE,并延长AE交PB于点K.求证:
.
证明:
∵
∴
又∵PA是⊙O的切线,
∴
∴
∴∽
∴,即.
由切割线定理得:
∴.…………………………10分
∵,∽,
∴
∴,
即………………………………15分
14、10个学生参加n个课外小组,每一个小组至多5个人,每两个学生至少参加某一个小组,任意两个课外小组,至少可以找到两个学生,他们都不在这两个课外小组中。
求n的最小值。
解:
设10个学生为,,…,,n个课外小组,,…,.
首先,每个学生至少参加两个课外小组.否则,若有一个学生只参加一个课外小组,设这个学生为,由于每两个学生至少在某一个小组内出现过,所以其它9个学生都与他在同一组出现,于是这一组就有10个人了,矛盾.……5分
若有一学生恰好参加两个课外小组,不妨设恰好参加,,由题设,对于这两组,至少有两个学生,他们没有参加这两组,于是他们与没有同过组,矛盾.
所以,每一个学生至少参加三个课外小组.于是n个课外小组,,…,的人数之和不小于.
另一方面,每一课外小组的人数不超过5,所以n个课外小组,,…,的人数不超过5n,故,所以.……………………………10分
下面构造一个例子说明是可以的.
,,,
,,.
容易验证,这样的6个课外小组满足题设条件.
所以,n的最小值为6.……………………………15分
全国初中数学竞赛试卷
一、选择题:
(每小题6分,共30分)
1、已知a、b、c都是实数,并且,那么下列式子中正确的是( )
A、B、C、D、
2、如果方程的两根之差是1,那么p的值为()
A、2B、4C、D、
3、在中,已知BD和CE分别是两边上的中线,并且,,,那么的面积等于()
A、12B、14C、16D、18
4、已知,并且,那么直线一定通过第()象限
A、一、二B、二、三C、三、四D、一、四
5、如果不等式组的整数解仅为1,2,3,那么适合这个不等式组的整数a、b的有序数对(a、b)共有()
A、17个B、64个C、72个D、81个
二、填空题:
(每小题6分,共30分)
6、在矩形ABCD中,已知两邻边,,P是AD边上任意一点,,,E、F分别是垂足,那么___________.2
7、已知直线与抛物线相交于A、B两点,O为坐标原点,那么的面积等于___________.
8、已知圆环内直径为acm,外直径为bcm,将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链,那么这条锁链拉直后的长度为.
9、已知方程(其中a是非负整数),至少有
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