等差数列概念及其表示优质PPT.ppt
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第五天:
8000,第六天:
第六天:
8500,第七天:
第七天:
9000.得到数列:
得到数列:
6000,6500,7000,7500,8000,8500,9000引例二引例二匡威运动鞋(女)的尺码(鞋底长,单位是匡威运动鞋(女)的尺码(鞋底长,单位是cm)引例三引例三,23,24,25,26,23,24,25,26,得到数列得到数列姚明罚球个数的数列:
姚明罚球个数的数列:
6000,6500,7000,7500,8000,8500,9000发现?
发现?
观察观察:
以上数列有什么共同特点?
:
从第从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一项起,每一项与前一项的差都等于同一常数。
常数。
高斯计算的数列:
1,2,3,4,100观察归纳观察归纳,23,24,25,26运动鞋尺码的数列运动鞋尺码的数列一般地,如果一个数列从第一般地,如果一个数列从第22项起,每一项与它项起,每一项与它的前一项的差等于的前一项的差等于同一个常数同一个常数,那么这个数列就叫,那么这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差公差,通常,通常用字母用字母d表示。
表示。
递推公式递推公式anan1=d(d是常数,是常数,n2,nN*)等差数列定义等差数列定义6000,6500,7000,7500,8000,8500,9000公差公差d=1公差公差d=500,23,24,25,26公差公差d=1,2,3,100;
2、常数列、常数列a,a,a,是否为等差数列是否为等差数列?
若是,则公差是多若是,则公差是多少少?
若不是,说明理由若不是,说明理由想一想想一想公差是公差是03、数列、数列0,1,0,1,0,1是否为等差数列是否为等差数列?
若是,则公差是若是,则公差是多少多少?
若不是,说明理由若不是,说明理由不是不是公差公差dd是每一项(第是每一项(第22项起)与它的前一项的差,项起)与它的前一项的差,防止把被减数与减数弄颠倒,而且公差可以是正数,防止把被减数与减数弄颠倒,而且公差可以是正数,负数,也可以为负数,也可以为0011、数列数列66,44,22,0,-2,-40,-2,-4是否为等差数列?
若是,是否为等差数列?
若是,则公差是多少则公差是多少?
若不是,说明理由若不是,说明理由公差是公差是-2小结:
判断一个数列是不是等差数小结:
判断一个数列是不是等差数列,主要是由定义进行判断:
列,主要是由定义进行判断:
an+1-an是不是同一个常数?
是不是同一个常数?
已知等差数列已知等差数列an的首项是的首项是a1,公差是公差是dda2-a1=dan-an-1=d
(1)
(1)式式+
(2)+
(2)式式+(n-1)+(n-1)式式得得:
a3-a2=da4-a3=dan-a1=(n-1)d,(11)(22)(33)(n-1n-1)通项公式通项公式累差迭加法累差迭加法an=a1+(n-1)d即即等差数列的图象1
(1)数列:
-2,0,2,4,6,8,10,12345678910123456789100等差数列的图象2
(2)数列:
7,4,1,-2,12345678910123456789100等差数列的图象3
(1)数列:
4,4,4,4,4,4,4,12345678910123456789100等差数列各项对应的点都在同一条直线上等差数列各项对应的点都在同一条直线上通项公式中含有通项公式中含有aa11,dd,nn,aann四个量,从已四个量,从已知和未知的角度看,若已知其中任意三个知和未知的角度看,若已知其中任意三个量的值,即可利用方程的思想求出第四个量的值,即可利用方程的思想求出第四个量的值(即知三求四量的值(即知三求四)通项公式的应用:
通项公式的应用:
可以由首项和公差求出等差数列中的可以由首项和公差求出等差数列中的任意一项;
任意一项;
已知等差数列的任意两项,可以确定已知等差数列的任意两项,可以确定数列的任意一项。
数列的任意一项。
例例1已知等差数列的首项已知等差数列的首项a1是是3,公差,公差d是是2,求它,求它的通项公式。
的通项公式。
分析分析:
知道:
知道a1,d,求求an.代入通项公式。
代入通项公式。
解:
a1=3,d=2an=a1+(n-1)d=3+(n-1)2=2n+1例题讲解例题讲解例例2求等差数列求等差数列10,8,6,的的第第20项。
项。
a1=10,d=8-10=-2,n=20由由an=a1+(n-1)d得得a20=a1+(n-1)d=10+(20-1)(-2)=-28例题讲解例题讲解分析分析:
根据根据a1=10,d=-2,先求出通项公式,先求出通项公式aann,再求出再求出a201.1001.100是不是等差数列是不是等差数列22,99,1616,的项?
如的项?
如果是果是,是第几项?
如果不是,请说明理由,是第几项?
如果不是,请说明理由试一试试一试分析分析:
先求出数列的通项公式,然后假设:
先求出数列的通项公式,然后假设100是等差数列中的项,求出是等差数列中的项,求出n解:
a1=2,d=7=2,d=7an=a1+(n-1)7+(n-1)7=2+(n-1)=2+(n-1)7=7n-57=7n-5令令100=7n-5n=15100=7n-5n=15100100是等差数列的第是等差数列的第1515项项解:
由题意可得由题意可得a1+5d=12,a1+17d=36d=2,a1=2an=2+(n-1)2=2n例例3在等差数列在等差数列an中中,已知,已知a6=12,a18=36,求通项公式求通项公式an分析:
分析:
此题已知此题已知a6=12,n=6;
a18=36,n=18分别代入通分别代入通项公式项公式an=a1+(n-1)d中中,可得两个方程,都含,可得两个方程,都含a11与与dd两个两个未知数组成方程组,可解出未知数组成方程组,可解出a11与与dd。
例题讲解例题讲解试一试试一试2.2.在等差数列在等差数列an中中,已知已知a5=10=10,a1212=31,求通项公式求通项公式an分析分析:
此题已知此题已知a55=10,n=5;
a1212=31,n=12分别代入通分别代入通项公式项公式an=a1+(n-1)d中中,可得两个方程,都含,可得两个方程,都含a11与与d两个两个未知数组成方程组,可解出未知数组成方程组,可解出a11与与d。
设设an=a1+(n-1)d,则有,则有a1+4d=10,a1+11d=31a1=-2,d=3,an=-2+(n-1)3=3n-5我国古代算书孙子算经卷中第我国古代算书孙子算经卷中第2525题记题记有:
有:
“今有五等诸侯,共分橘子六十颗。
今有五等诸侯,共分橘子六十颗。
人分加三颗。
问:
五人各得几何?
”古题今解古题今解分析分析:
此题已知此题已知a1+a2+a3+a4+a5=60,d=3,a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+(a1+4d)=60,a1=6,a2=9,a3=12,a4=15,a5=18即为五等诸侯分到橘子的颗数。
即为五等诸侯分到橘子的颗数。
如果在如果在aa和和bb之间插入一个数之间插入一个数AA,使使aa、AA、bb成等差成等差数列,则数列,则AA叫做叫做aa、bb的的___。
有有__反之反之_,_,即若即若a+b=2Aa+b=2A,则则aa、AA、bb成成等差中项等差中项也成立也成立等差数列等差数列等差中项一般地,在等差数列中,从第二项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项。
即22aann=a=ann11+a+an+1n+1(n2)例例1
(1)已知数列已知数列an的通项公式是的通项公式是an=3n-1,求证:
求证:
an为等差数列;
为等差数列;
(2)已知数列已知数列an是等差数列,是等差数列,求证:
数列求证:
数列an+an+1也是等差数列也是等差数列.【小结小结】数列数列an为等差数为等差数;
证明一个数列为等差数列的方法是证明一个数列为等差数列的方法是:
.an=kn+bk、b是常数是常数.证明证明:
an+1an为一个常数为一个常数.例题分析例题分析例例2
(1)等差数列等差数列11,8,5,的第,的第19项是项是;
(2)等差数列等差数列-5,-9,-13,的第的第项是项是-307;
(3)已知已知an为等差数列,若为等差数列,若a1=3,d=,an=21,则则n=;
(4)已知已知an为等差数列,若为等差数列,若a17=,d=,则,则a10=.-499913【说明说明】在等差数列】在等差数列an的通项公式中的通项公式中a1、d、an、n任知任知个,可求个,可求.三三另外一个另外一个【说明说明】3.更一般的情形,更一般的情形,an=,d=等差数列的性质等差数列的性质11.an为等差数列为等差数列2.a、b、c成等差数列成等差数列an+1-an=dan+1=an+dan=a1+(n-1)dan=kn+b(k、b为常数)为常数)am+(n-m)db为为a、c的等差中项的等差中项2b=a+c4.在在等差数列等差数列an中,由中,由m+n=p+qam+an=ap+aq例例3.在在等差数列等差数列an中中
(1)已知已知a6+a9+a12+a15=20,求,求a1+a20例题分析例题分析
(2)已知)已知a3+a11=10,求,求a6+a7+a8分析:
由分析:
由a1+a20=a6+a15=a9+a12及及a6+a9+a12+a15=20,可得,可得a1+a20=10分析:
a3+a11=a6+a8=2a7,又已知又已知a3+a11=10,a6+a7+a8=(a3+a11)=15三数成等差数列,它们的和为三数成等差数列,它们的和为12,首尾二数的,首尾二数的积为积为12,求此三数,求此三数.已知已知an为等差数列为等差数列且且a4+a5+a6+a7=56,a4a7=187,求公差,求公差d.结论归纳结论归纳1:
数列数列an是公差为是公差为d的等差数列。
的等差数列。
数列数列a1,a3,a5,a7,是公差为是公差为等差数列等差数列数列数列a2,a4,a6,a8,是公差为是公差为等差数列等差数列数列数列ma2,ma4,ma6,ma8,是公差为是公差为等等差数列差数列数列数列a1+a2,a2+a3,a3+a4,a3+a4,是公差是公差为为等差数列等差数列2d2d2md2d等差数列中有关项的设法等差数列中有关项的设法当等差数列当等差数列an的项数为奇数时,可设中间一项为的项数为奇数时,可设中间一项为a,再以公差为再以公差为d向两边分别设项向两边分别设项;
当等差数列当等差数列an的项数为偶数时,可设中间两项分别的项数为偶数时,可设中间两项分别为为a-d,a+d,再以公差为,再以公差为2d向两边分别设项向两边分别设项对称项设法的优点:
若有对称项设法的优点:
若有n个数构成等差数列利用对个数构成等差数列利用对称项设出这个数列,则其各项和为称项设出这个数列,则其各项和为na结论归纳结论归纳2:
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