平面的法向量优质PPT.ppt
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设设分别是分别是的方向向量,判断的方向向量,判断的位置关系的位置关系如何用一个向量来刻画平面的如何用一个向量来刻画平面的“方向方向”呢?
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的由于垂直于同一平面的直线是互相平行的,所以,可以所以,可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向方向”。
二、平面的法向量二、平面的法向量平面的法向量:
平面的法向量:
如果表示向量如果表示向量的有向线段所在直线垂的有向线段所在直线垂直于平面直于平面,则称这个向量垂直于平面,则称这个向量垂直于平面,记作记作,如果如果,那,那么么向向量量叫做叫做平面平面的的法向量法向量.Al给定一点给定一点A和一个向量和一个向量,那么过点那么过点A,以向量以向量为法向量的平面是完全确定的为法向量的平面是完全确定的.几点注意:
几点注意:
1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;
2.一个平面的所有法向量都互相平行一个平面的所有法向量都互相平行;
3.向量向量是平面的法向量,向量是平面的法向量,向量是是与平面平行或在平面内,则有与平面平行或在平面内,则有问题探讨问题探讨1、已知(、已知(1,1,-1),(),(2,3,1),则直线),则直线的一的一个方向向量是个方向向量是;
变形:
直线的模为变形:
直线的模为1的方向向量是的方向向量是。
2、已知非零向量、及平面,若向量是平、已知非零向量、及平面,若向量是平面的法向量,则是向量所在直面的法向量,则是向量所在直线平行于或在内的()线平行于或在内的()充分必要条件充分不必要条件充分必要条件充分不必要条件必要不充分条件既不充分也不必要条件必要不充分条件既不充分也不必要条件A例例2、在正方体中,在正方体中,求证:
是平面的法向量求证:
是平面的法向量B1C1CABED1DA1xy证明:
建立如图所示的空间直角坐标系,证明:
建立如图所示的空间直角坐标系,练习练习:
例例3在空间直角坐标系内,设平面在空间直角坐标系内,设平面经过点经过点,平,平面面的法向量为的法向量为,是平面是平面内任意内任意一点,求一点,求满足的关系式。
满足的关系式。
解:
由题意得解:
由题意得因为因为是平面的法向量,所以是平面的法向量,所以从而从而即即所以满足条件的关系式为:
所以满足条件的关系式为:
得到得到平面可以平面可以用关于用关于x,y,z的三的三元一次方元一次方程来表示程来表示例题:
xyz四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施直线的方向向量为直线的方向向量为,平面的法向量为,平面的法向量为空间向量的应用空间向量的应用-求直线与平面所成的角求直线与平面所成的角设直线与平面所成的角为设直线与平面所成的角为,直线的方向向量与平面直线的方向向量与平面的法向量的夹角为的法向量的夹角为向量法向量法:
PA如如图,已知点,已知点P(x0,y0,z0),A(x1,y1,z1),平面),平面一个法向量一个法向量。
,其中,其中,例例1、已知正方形、已知正方形ABCD的边长为的边长为4,CG平面平面ABCDABCD,CG=2,ECG=2,E、FF分别是分别是ABAB、ADAD的中点,求点的中点,求点BB到平面到平面GEFGEF的距离。
的距离。
DABCGFExyz
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