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把下列运算的结果都化为把下列运算的结果都化为a+bi(a、bR)的形式)的形式.2-i=;
-2i=;
5=;
0=;
3.a=0是是z=a+bi(a、bR)为纯虚数的为纯虚数的条件条件.必要但不充分必要但不充分课前复习特别地,特别地,a+bi=0.4.已知已知x、yR,
(1)若若(2x-1)+i=y-(3-y)i,则,则x=、y=;
(2)若若(3x-4)+(2y+3)i=0,则,则x=、y=.想一想想一想练一练练一练在几何上,在几何上,我们用什么我们用什么来表示实来表示实数数?
实数的几何意义实数的几何意义类比类比实数的实数的表示,可以表示,可以用什么来表用什么来表示复数?
示复数?
实数可以用实数可以用数轴数轴上的点来表示上的点来表示.实数实数数轴数轴上的点上的点(形形)(数数)一一对应一一对应复数的复数的一般形一般形式?
式?
Z=a+bi(a,bR)实部实部!
虚部虚部!
一个复数一个复数由什么唯由什么唯一确定?
一确定?
O思考思考1:
复数与点的对应复数与点的对应XY()+i;
()+i;
()i;
();
GACFOEDBH思考思考2:
点与复数的对应点与复数的对应(每个小正方格的边长为1)XY复数复数z=a+bi有序实数对有序实数对(a,b)直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,b)建立了平面直角建立了平面直角坐标系来表示复数的坐标系来表示复数的平面平面x轴轴-实轴实轴y轴轴-虚轴虚轴(数)(数)(形)(形)-复数平面复数平面(简称简称复平面复平面)一一对应一一对应z=a+bi复数的几何意义
(一)复数的几何意义
(一)(A)在复平面内,对应于实数的点都在实在复平面内,对应于实数的点都在实轴上;
轴上;
(B)在复平面内,对应于纯虚数的点都在在复平面内,对应于纯虚数的点都在虚轴上;
虚轴上;
(C)在复平面内,实轴上的点所对应的复在复平面内,实轴上的点所对应的复数都是实数;
数都是实数;
(D)在复平面内,虚轴上的点所对应的复在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数数都是纯虚数.例例1.辨辨析:
析:
1下列命题中的假命题是(下列命题中的假命题是()D3“a=0”是是“复数复数a+bi(a,bR)所所对应的点在虚轴上对应的点在虚轴上”的(的().(A)必要不充分条件必要不充分条件(B)充分不必要条件充分不必要条件(C)充要条件充要条件(D)不充分不必要条件不充分不必要条件2“a=0”是是“复数复数a+bi(a,bR)是是纯虚数纯虚数”的(的().(A)必要不充分条件必要不充分条件(B)充分不必要条件充分不必要条件(C)充要条件充要条件(D)不充分不必要条件不充分不必要条件CA例例22已知复数已知复数z=(mz=(m22+m-6)+(m+m-6)+(m22+m-2)i+m-2)i在复平面内所在复平面内所对应的点位于第二象限,求实数对应的点位于第二象限,求实数mm的取值范围的取值范围.表示复数的点所表示复数的点所在象限的问题在象限的问题复数的实部与虚部所满复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题足的不等式组的问题转化转化(几何问题几何问题)(代数问题代数问题)一种重要的数学思想:
一种重要的数学思想:
数形结合思想数形结合思想变式一:
变式一:
已知复数已知复数z=(mz=(m22+m-6)+(m+m-6)+(m22+m-2)i+m-2)i在复平面内所对应的点在直线在复平面内所对应的点在直线x-2y+4=0x-2y+4=0上,求实数上,求实数mm的值的值.解:
复数复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面在复平面内所对应的点是(内所对应的点是(m2+m-6,m2+m-2),),(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0,m=1或或m=-2.复数复数z=a+bi直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)一一对应一一对应平面向量平面向量一一对应一一对应一一对应一一对应复数的几何意义
(二)复数的几何意义
(二)xyobaZ(a,b)z=a+bi小结xOz=a+biy复数的绝对值复数的绝对值(复数的模复数的模)的的几何意义几何意义:
Z(a,b)对应平面向量对应平面向量的模的模|,即,即复数复数z=z=a+bii在复平面上对应的点在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的到原点的距离距离.|z|=|小结实数绝对值的几何意义实数绝对值的几何意义:
复数的模其实是实数绝对值概念的推广复数的模其实是实数绝对值概念的推广xOAa|a|=|=|OA|实实数数a在在数数轴轴上上所所对对应应的的点点A到到原原点点O的的距离距离.xOz=a+biy|z|=|=|OZ|复数的模复数的模复数复数z=a+bi在复平在复平面上对应的点面上对应的点Z(Z(a,b)到到原点的距离原点的距离.的几何意义的几何意义:
Z(a,b)例例3求下列复数的模:
求下列复数的模:
(1)z1=-5i
(2)z2=-3+4i(3)z3=5-5i
(2)
(2)满足满足|z|=5(zC)|z|=5(zC)的的zz值有几个?
值有几个?
思考:
(1)
(1)满足满足|z|=5(zR)|z|=5(zR)的的zz值有几个?
(4)z4=1+mi(mR)(5)z5=4a-3ai(a0)这些复这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形数对应的点在复平面上构成怎样的图形?
小结xyO设设z=x+yi(x,yR)z=x+yi(x,yR)满足满足|z|=5(zC)|z|=5(zC)的的复数复数zz对应的点在对应的点在复平面上将构成怎复平面上将构成怎样的图形?
样的图形?
5555以原点为圆心以原点为圆心,半径为半径为55的的圆圆.图形图形:
5xyO设设z=x+yi(x,yR)z=x+yi(x,yR)满足满足3|z|5(zC)3|z|5(zC)的的复数复数zz对应的点在复对应的点在复平面上将构成怎样的图平面上将构成怎样的图形?
形?
55553333图形图形:
以原点为圆心以原点为圆心,半径半径33至至55的的圆环内圆环内
(1)|z
(1)|z(1+2i)|(1+2i)|
(2)|z+(1+2i)|
(2)|z+(1+2i)|例例55已知复数已知复数zz对应点对应点A,A,说明下列各说明下列各式所表示的几何意义式所表示的几何意义.点点AA到点到点(1,2)(1,2)的距离的距离点点AA到点到点(1,1,2)2)的距离的距离(3)|z(3)|z1|1|(4)|z+2i|(4)|z+2i|点点AA到点到点(1,0)(1,0)的距离的距离点点AA到点到点(0,(0,2)2)的距离的距离已知复数已知复数m=2m=23i3i,若复数若复数zz满足等式满足等式|zzmm|=1,|=1,则则zz所对应的点的集合是什么所对应的点的集合是什么图形图形?
以点以点(2,(2,3)3)为圆心为圆心,1,1为半径的圆为半径的圆.小结小结:
复数的几何意义是什么?
复数复数z=a+bi直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)一一对应一一对应平面向量平面向量一一对应一一对应一一对应一一对应复数的几何意义复数的几何意义复数还有哪复数还有哪些特征能和些特征能和平面向量类平面向量类比比?
xoyZ1(a,b)Z2(c,d)Z(a+c,b+d)符合向量加符合向量加法的平行四法的平行四边形法则边形法则.1.1.复数复数加法加法运算的几何意义运算的几何意义?
复数加减法运算的几何意义复数加减法运算的几何意义xoyZ1(a,b)Z2(c,d)复数复数z2z1向量向量Z1Z2符合向量符合向量减法的三减法的三角形法则角形法则.2.2.复数复数减法减法运算的几何意义运算的几何意义?
|z2-z1|表示什么表示什么?
表示复平面上与这两个复数对应的表示复平面上与这两个复数对应的两点之间两点之间的距离的距离一、复数和复平面复数复数ZZ=aa+b+bii复平面内的点复平面内的点Z(a,b)平面向量平面向量一一对应一一对应一一对应一一对应一一对应一一对应二二.复数的模复数的模1.结论结论2.性质性质复数的加减法可以按照向量的加减复数的加减法可以按照向量的加减法法则来进行法法则来进行.二二.复数加法与减法运算的几何意义复数加法与减法运算的几何意义复数加减法的运算的几何意义复数加减法的运算的几何意义xy0QPRSZZ1ZZ2ZZxyZZ11ZZ220二二.复数加法与减法运算的几何意义复数加法与减法运算的几何意义2.2.用复数表示圆心在点用复数表示圆心在点P(a,b),半径为,半径为r的圆的的圆的方程方程:
|z-z-(a+bi)|=r1.1.用复数表示圆心在原点,半径为用复数表示圆心在原点,半径为r的圆的方程的圆的方程:
|zz|=r3.设复设复平面内的点平面内的点,分别对应复为分别对应复为,.ZZ11ZZ22则线段则线段垂直平分线的方程是:
垂直平分线的方程是:
ZZ11ZZ22ZZ11ZZ22|zz-z1|=|zz2|4.4.根据复数的几何意义及向量表示,将椭圆根据复数的几何意义及向量表示,将椭圆,双曲线分别写成复数方程的形式。
双曲线分别写成复数方程的形式。
|Z-zZ-z11|+|ZZ-z2|=2a,其中其中z1,z2为焦点为焦点二二.复数加法与减法运算的几何意义复数加法与减法运算的几何意义|Z-zZ-z11|-|ZZ-z2|=2a,其中其中z1,z2为焦点为焦点复平面上曲线方程的形式复平面上曲线方程的形式表示以表示以为圆心心,以以为半径的半径的圆的方程的方程.的垂直平分的垂直平分线的方程的方程.表示表示线段段表示以表示以为圆心心,为半径的半径的圆的内部的内部(开开圆域域).表示以表示以(6)表示以为焦点,实轴长为2的双曲线方程,表示以若为端点的两条射线的方程.为端点的端点的线段的方程段的方程.表示以表示以(5)表示以表示以为焦点为焦点,长轴为的的椭圆方程方程.复平面上曲线方程的形式复平面上曲线方程的形式例题选讲例题选讲例例1在复平面内在复平面内,求满足下列复数形式的方程求满足下列复数形式的方程的动点的动点Z的轨迹的轨迹.线段的中垂线线段的中垂线椭圆椭圆双曲线的一支双曲线的一支例题选讲例题选讲Z的轨迹是线段的轨迹是线段AB,A(0,-1),B(0,1),最小值为最小值为1.例例4已知虚数已知虚数的模是的模是,求求的最大值的最大值.xy例题选讲例题选讲例例5若复数若复数z满足满足,求求
(1)的最值的最值;
(2)的最值的最值.
(1)1,3(3)3
(2)4,20xy0CZZ2ZZ1解解:
ZZ+2-2ii=ZZ-(-2+2ii)C及其内部各点到原点的距离,要使及其内部各点到原点的距离,要使|ZZ|取得最取得最大值与最小值大值与最小值的点就是的点就是OC与圆与圆C的两个交点。
的两个交点。
满足满足|ZZ+2-2ii|1所对应的点所对应的点ZZ,组成以组成以C(-2,2)点点的内部的内部(如图如图),|ZZ|就是圆就是圆为圆心,以为圆心,以r为为半半径的圆径的圆例题选讲例题选讲例例44如果复数如果复数ZZ满足满足|ZZ+2-+2-22ii|11,求,求|ZZ|的最的最大值与最小大值与最小值及相应的复数值及相应的复数Z.解
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- 复数 几何 意义