函数的极值与导数PPT推荐.ppt
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条件。
二、例题选讲二、例题选讲:
例例1:
求求y=x3/3-4x+4的极值的极值.解解:
令令,解得解得x1=-2,x2=2.当当x变化时变化时,y的变化情况如下表的变化情况如下表:
x(-,-2)-2(-2,2)2(2,+)y+0-0+y极大值极大值28/3极小值极小值-4/3因此因此,当当x=-2时有极大值时有极大值,并且并且,y极大值极大值=28/3;
而而,当当x=2时有极小值时有极小值,并且并且,y极小值极小值=-4/3.求函数极值(极大值,极小值)的一般步骤:
求函数极值(极大值,极小值)的一般步骤:
(1)确定函数的定义域)确定函数的定义域
(2)求方程)求方程f(x)=0的根的根(3)用方程)用方程f(x)=0的根,顺次将函数的定义域分成的根,顺次将函数的定义域分成若干个开区间,并列成表格若干个开区间,并列成表格(4)由)由f(x)在方程在方程f(x)=0的根左右的符号,来判断的根左右的符号,来判断f(x)在这个根处取极值的情况在这个根处取极值的情况若若f(x)左正右左正右负,则f(x)为极大极大值;
若若f(x)左左负右正,右正,则f(x)为极小极小值+-x0-+x0求导求导求极点求极点列表列表求极值求极值x(-,-1)-1(-1,0)(0,1)1(1,+)+0-0+所以,当所以,当x=-1是,函数的极大值是是,函数的极大值是-2,当,当x=1时,函数的时,函数的极小值是极小值是2导函数的正负是交替出现的吗?
不是不是-22思考:
思考:
已知函数已知函数在在处取得极值。
处取得极值。
(1)求函数)求函数的解析式的解析式
(2)求函数)求函数的单调区间的单调区间练习练习1:
已知函数已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在在x=1处有极值为处有极值为10,求求a、b的值的值.解解:
=3x2+2ax+b=0有一个根有一个根x=1,故故3+2a+b=0.又又f
(1)=10,故故1+a+b+a2=10.由由、解得解得或或当当a=-3,b=3时时,此时此时f(x)在在x=1处处无无极值极值,不合题意不合题意.当当a=4,b=-11时时,-3/11x1时时,此时此时x=1是是极极值点值点.从而所求的解为从而所求的解为a=4,b=-11.练习练习2:
求函数求函数的极值的极值.解解:
令令=0,解得解得x1=-1,x2=1.当当x变化时变化时,y的变化情况如下的变化情况如下表表:
x(-,-1)-1(-1,1)1(2,+)y-0+0-y极大值极大值-3极小值极小值3因此因此,当当x=-1时有极大值时有极大值,并且并且,y极大值极大值=3;
而而,当当x=1时有极小值时有极小值,并且并且,y极小值极小值=-3.练习练习3:
已知函数已知函数f(x)=-x3+ax2+b.
(1)若函数若函数f(x)在在x=0,x=4处取得极值处取得极值,且极小值为且极小值为-1,求求a、b的值的值.
(2)若若,函数函数f(x)图象上的任意一点的切线斜图象上的任意一点的切线斜率为率为k,试讨论试讨论k-1成立的充要条件成立的充要条件.解解:
(1)由由得得x=0或或x=4a/3.故故4a/3=4,a=6.由于当由于当x0时时,故当故当x=0时时,f(x)达到极小值达到极小值f(0)=b,所以所以b=-1.
(2)等价于当等价于当时时,-3x2+2ax-1恒成立恒成立,即即g(x)=3x2-2ax-10对一切对一切恒成立恒成立.由于由于g(0)=-10,故只需故只需g
(1)=2-2a0,即即a1.反之反之,当当a1时时,g(x)0对一切对一切恒成立恒成立.所以所以,a1是是k-1成立的充要条件成立的充要条件.例例4:
已知已知f(x)=ax5-bx3+c在在x=1处有极值处有极值,且极大值且极大值为为4,极小值为极小值为0.试确定试确定a,b,c的值的值.解解:
由题意由题意,应有根应有根,故故5a=3b,于是于是:
(1)设设a0,列表如下列表如下:
x-1(-1,1)1+00+f(x)极大值极大值极小值极小值由表可得由表可得,即即.又又5a=3b,解得解得a=3,b=5,c=2.
(2)设设a2时时,;
当当x2,由条件由条件可知可知,即即:
当当时时,x20,故故有不相等的两实根有不相等的两实根、,设设.又设又设g(x)=-ax2-2bx+a,由于由于-a0).当当x变化时变化时,f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:
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- 函数 极值 导数