概率论与数理统计(文科)吴传生3.1节PPT推荐.ppt
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多多维维分分布布1第第三三章章多多维维随随机机变变量量及及其其分分布布2在实际问题中在实际问题中,试验结果有时需要同试验结果有时需要同时用两个或两个以上的时用两个或两个以上的r.v.来描述来描述.例如例如用温度和风力来描述天气情况用温度和风力来描述天气情况.通过对含碳、含硫、含磷量的测定来研究通过对含碳、含硫、含磷量的测定来研究需考虑多维需考虑多维r.v.及其取值规律及其取值规律多维分布多维分布.钢的成分钢的成分.要研究这些要研究这些r.v.之间的联系之间的联系,就就33.1二维随机变量及其分布定义定义设设为随机试验的样本空间为随机试验的样本空间,则称则称(X,Y)为为二维二维r.v.或或二维随机向量二维随机向量讨论:
@#@讨论:
@#@二维二维r.v.作为一个整体的概率特性作为一个整体的概率特性其中每一个其中每一个r.v.的概率特性与整体的概率特性与整体的概率特性之间的关系的概率特性之间的关系3.14二维随机变量的联合分布函数二维随机变量的联合分布函数定义定义设设(X,Y)为二维为二维r.v.对任何一对对任何一对定义了一个二元定义了一个二元实函数实函数F(x,y),称为二维称为二维r.v.(X,Y)的分布函数,即的分布函数,即(记为记为)的概率的概率实数实数(x,y),事件事件5分布函数的几何意义如果用平面上的点如果用平面上的点(x,y)表示二维表示二维r.v.(X,Y)的一组可能的取值,则的一组可能的取值,则F(x,y)表示表示(X,Y)的取值落入图所示角形区域的概率的取值落入图所示角形区域的概率.(x,y)xy6联合分布函数的性质联合分布函数的性质xy(x,y)xyF性质7xyxy8固定x,对任意的y1y2,固定y,对任意的x1x2,F(x0,y0)=F(x0+0,y0)F(x0,y0)=F(x0,y0+0)对每个变量单调不减对每个变量单调不减对每个变量右连续对每个变量右连续F(x,y1)F(x,y2)F(x1,y)F(x2,y)9F(b,d)F(b,c)F(a,d)+F(a,c)0事实上事实上对于任意对于任意ab,c2)例214解解
(1)
(2)15(3)可以将二维可以将二维r.v.及其边缘分布函数的及其边缘分布函数的概念推广到概念推广到n维维r.v.及其联合分布函及其联合分布函数与边缘分布函数数与边缘分布函数16定义定义若二维若二维r.v.(X,Y)所有可能的取值所有可能的取值为有限多个或无穷可列多个为有限多个或无穷可列多个,则称则称(X,Y)为为二维离散型二维离散型r.v.要描述二维离散型要描述二维离散型r.v.的概率特性及的概率特性及其与每个其与每个r.v.之间的关系常用其之间的关系常用其联合联合概率分布概率分布和和边缘概率分布边缘概率分布二维离散型二维离散型r.v.及其概率特性及其概率特性离散17联合分布律联合分布律设(X,Y)的所有可能的取值为则称为二维r.v.(X,Y)的联合概率分布也简称概率分布或分布律显然,18二维离散二维离散r.v.的联合分布函数的联合分布函数已知联合分布律可以求出其联合分布函数反之,由分布函数也可求出其联合分布律19二维离散二维离散r.v.的边缘分布律的边缘分布律由联合分布可确定边缘分布由联合分布可确定边缘分布,其逆不真其逆不真.20x1xiXY(X,Y)的联合分布律y1yj211x1xipip1pipjp1pjyjy1XY联合分布律联合分布律及边缘分布律及边缘分布律22的求法的求法利用古典概型直接求;@#@利用古典概型直接求;@#@利用乘法公式利用乘法公式23例例33某校新选出的学生会某校新选出的学生会6名女委员名女委员,文、文、理、工科各占理、工科各占1/6、1/3、1/2,现从中随机,现从中随机指定指定2人为学生会主席候选人人为学生会主席候选人.令令X,Y分分别为候选人中来自文、理科的人数别为候选人中来自文、理科的人数.解解X与与Y的可能取值分别为的可能取值分别为0,1与与0,1,2.求求(X,Y)的联合分布律和边缘分布律的联合分布律和边缘分布律.例3由乘法公式由乘法公式24或由古典概型或由古典概型相仿有相仿有25故联合分布律与边缘分布律为010123/156/151/153/152/150XYpipj1/32/316/158/151/1526例例44二元两点分布XYpijpjpi1010p00qpqpq1p+q=1,0p1例427作业P64习题123习题28二维连续二维连续r.v.及其概率特性及其概率特性定义定义设二维设二维r.v.(X,Y)的分布函数为的分布函数为F(x,y),若存在非负可积函数若存在非负可积函数f(x,y),使得对于任意实数使得对于任意实数x,y有有则称则称(X,Y)为为二维连续型二维连续型r.v.f(x,y)为为(X,Y)的的联合概率密度函数联合概率密度函数简称简称概率密度函数概率密度函数简记简记p.d.f.连续29联合密度与联合分布函数的性质联合密度与联合分布函数的性质除除d.f.的一般性质外还有下述性质的一般性质外还有下述性质从而有从而有f性质12对每个变元连续对每个变元连续,在在的连续点处的连续点处330P(X=a,-Y+)=0P(-X+,Y=a)=0若若G是平面上的区域,则是平面上的区域,则P(X=a,Y=b)=0431边缘分布函数与边缘边缘分布函数与边缘d.f.与离散型相同,已知联合分布可以求得边缘分布;@#@反之则不能唯一确定.32例5设r.v.(X,Y)的联合d.f.为其中k为常数.求
(1)常数k;@#@
(2)P(X+Y1),P(X0.5);@#@(3)联合分布函数F(x,y);@#@(4)边缘d.f.与边缘分布函数例533y=x10xy解解令D
(1)34x+y=1y=x10xy
(2)0.5x+y=1y=x10xyy=x10xy0.535的分段区域y=x10xyD36当0x1,0yx时,1(3)当x0或y0时,F(x,y)=0当0x1,xy1时,v=u10uv37当0x1,y1时,v=u10uv138当x1,0y1时,v=u10uv1当x1,y1时,39F(x,y)=0,x0或y0y4,0x1,0yx,2x2y2y4,0x1,xy1,2x2x4,0x1,y1,y4,x1,0y1,1,x1,y1,40(4)=0,x0,2x2x4,0x1,1,x10,y0y4,0yX2);@#@(3)(X,Y)在平面上的落点到(4)y轴距离小于0.3的概率.例6求47解解
(1)y=x10xy1G
(2)y=x248(3)y=x10xy10.349若r.v.(X,Y)的联合为则称(X,Y)服从参数为1,12,2,22,的正态分布,记作(X,Y)N(1,12;@#@2,22;@#@)其中1,20,-1-2.869,1.790,0.110,AspectRatio-0.6,PlotPoints-30;@#@51二维正态分布图二维正态分布图5253二维正态分布剖面图二维正态分布剖面图54正态分布的边缘分布仍为正态分布正态分布的边缘分布仍为正态分布55令令B为正定矩阵再令则二维正态联合d.f.为推广推广56本节结束57每周一题7第第77周周问问题题某中外合资公司准备通过考试招某中外合资公司准备通过考试招工工200名,其中名,其中180名正式工,名正式工,20名临名临时工时工.报考人数为报考人数为1684名名,考试满分为考试满分为300分分.阅卷后人事部门公布如下信息:
@#@阅卷后人事部门公布如下信息:
@#@平均成绩是平均成绩是178分,分,270以上的高分有以上的高分有32名名.考生小王的成绩是考生小王的成绩是233分,他能分,他能否被录取?
@#@如被录取能否是正式工?
@#@否被录取?
@#@如被录取能否是正式工?
@#@58
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