概率论第四章第五章第一次课PPT文档格式.ppt
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20天中天中,平均每天乘客数为平均每天乘客数为这里这里2/20,4/20是是“乘客数为乘客数为390人人”“乘客数为乘客数为400人人”的的频率频率,若将其视为相应的若将其视为相应的概率概率,则可建立如下模型则可建立如下模型(X表示日乘客数表示日乘客数):
=3902/20+4004/20+4107/20+4205/20+4301/20+4401/20=411一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望乘客数乘客数390400410420430440天数天数247511X390400410420430440pk2/204/207/205/201/201/20征征=数数字字特特4定义定义11设离散型设离散型r.vXr.vX的分布律为:
的分布律为:
若级数若级数绝对收敛,则称级数的和为绝对收敛,则称级数的和为r.vX的的数学期望,数学期望,简称简称期望或均值期望或均值,记为,记为E(X),即,即
(1)
(1)(3)注注
(1)
(2)与求和顺序无关。
与求和顺序无关。
同时保证了同时保证了收敛,收敛,绝对收敛,不仅保证了绝对收敛,不仅保证了级数级数E(X)pxpxkkkkkk=11(4)E(X)反映了随机变量反映了随机变量取值的平均水平取值的平均水平.征征=数数字字特特5设两人的日产量相等设两人的日产量相等,问谁的技术更好问谁的技术更好?
故乙的技术好。
例例1:
甲、乙两工人在一天生产中出现废品的概率分别是:
解:
E(X1)=00.4+10.3+20.2+30.1=1E(X2)=00.3+10.5+20.2+30=0.9例例2:
令m=k-1工人工人甲甲乙乙X1X2废品数废品数01230123概率概率pk0.40.30.20.10.30.50.20征征=数数字字特特6例例3:
设设X服从几何分布,即服从几何分布,即解解求和与求导求和与求导交换次序交换次序等比级数求和等比级数求和注:
注:
E(X)不存在的例子:
不存在的例子:
若若E(X)E(X)存在,则是一个确定的实数存在,则是一个确定的实数.发散发散X2482npk1/21/41/81/2n征征=数数字字特特7P91例例5在一个人数很多的团体中普查某种疾病在一个人数很多的团体中普查某种疾病,为此要抽验为此要抽验N个人个人的血的血,可以用两种方法进行可以用两种方法进行:
如果混合血液呈阴性反应如果混合血液呈阴性反应,就说明就说明k个人的血都呈阴性反应个人的血都呈阴性反应,若呈阳性若呈阳性,则对这则对这k个人的血液再分别进行化验个人的血液再分别进行化验,这样这样k个人个人征征=数数字字特特8解解:
由此可知由此可知,征征=数数字字特特9这时就能得到最好的分组方法这时就能得到最好的分组方法.例如例如,则按第二种方法平均只需化验则按第二种方法平均只需化验这样平均来说这样平均来说,征征=数数字字特特10二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望设连续型设连续型r.vX的概率密度为的概率密度为f(x),若广义积分若广义积分绝对收敛绝对收敛,则称此积分的值为则称此积分的值为r.vXr.vX的的数学期望数学期望,记为记为E(X),即即E(X)=)=
(2)
(2)11、定义、定义2222、重要分布的期望值、重要分布的期望值:
二项分布二项分布泊松分布泊松分布均匀分布均匀分布正态分布正态分布指数分布指数分布要求要求:
能熟练验证能熟练验证;
熟记结果熟记结果.征征=数数字字特特11P89例例2有两个相互独立工作的电子装置有两个相互独立工作的电子装置,它们的寿命它们的寿命Xk(k=1,2)服从同一指服从同一指数分布数分布,其概率密度为其概率密度为若将这两个电子装置串联联接成整机若将这两个电子装置串联联接成整机,求整机寿命求整机寿命(小时小时)N的数学期望的数学期望解解征征=数数字字特特12三、随机变量的函数的数学期望三、随机变量的函数的数学期望离散型离散型r.vX的分布律为:
PX=xk=pkk=1,2连续型连续型r.vX的概率密度为的概率密度为f(x)11、已知已知一维一维r.vXX的分布的分布,求其函数求其函数Y=g(X)Y=g(X)的期望的期望:
(4)(4)(3)(3)说明说明:
该公式的重要性在于该公式的重要性在于:
当我们求当我们求Eg(X)时时,不必不必知道知道g(X)的分布,而只需知道的分布,而只需知道X的分布就可以了的分布就可以了.这给计这给计算算r.v函数的期望带来很大方便函数的期望带来很大方便.简单函数简单函数可列表运算可列表运算征征=数数字字特特13例例44:
某车间生产的圆盘直径在某车间生产的圆盘直径在(a,b)上服从均匀分布,试求上服从均匀分布,试求圆盘面积的数学期望。
圆盘面积的数学期望。
解解:
设设XX为某车间生产的圆盘直径,依题意,为某车间生产的圆盘直径,依题意,XXUU(aa,bb)XX的概率密度为的概率密度为设圆盘面积为设圆盘面积为YY,则则上述基本公式,可推广到两个或两个以上上述基本公式,可推广到两个或两个以上r.v的情况。
的情况。
说明:
征征=数数字字特特14(22)连续型)连续型r.v(X,Y)的概率密度为的概率密度为f(x,y),则有则有(6)(6)22、已知、已知二维二维r.v(X,Y)的分布,求的分布,求Z=g(X,Y)的数学期望的数学期望(11)离散型)离散型r.v(X,Y)的分布律为:
(5)(5)绝对收敛绝对收敛征征=数数字字特特15P94例例9解:
征征=数数字字特特16PP9494例例10某公司计划开发一种新产品市场,并试图确定该产某公司计划开发一种新产品市场,并试图确定该产品的产量品的产量.他们估计出售一件产品可获利他们估计出售一件产品可获利m元,而积压一件产元,而积压一件产品导致元的损失品导致元的损失.再者再者,他们预测销售量他们预测销售量Y(件件)服从指数分布服从指数分布,其其概率密度为概率密度为问若要获得利润的数学期望最大问若要获得利润的数学期望最大,应生产多少件产品应生产多少件产品(m,n,已知已知)解解征征=数数字字特特17又又且可知这也是最大值且可知这也是最大值.令令得得征征=数数字字特特181.设设C是常数,则是常数,则E(C)=C;
4.设设X、Y独立独立,则,则E(XY)=E(X)E(Y);
2.若若C是常数,则是常数,则E(CX)=CE(X);
3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);
(诸(诸Xi独立时)独立时)注意注意:
由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y独立独立推论:
推论:
E(E(X)=E(X)四、数学期望的性质四、数学期望的性质征征=数数字字特特19证:
证:
(33)E(X+Y)=E(X)+E(Y)特别地,特别地,设二维设二维r.v(X,Y)r.v(X,Y)概率密度函数为概率密度函数为f(x,y)f(x,y)征征=数数字字特特20例例5把数字把数字1,2,n任意地排成一列,如果数字任意地排成一列,如果数字k恰好出现在恰好出现在第第k个位置上,则称为一个巧合,求巧合个数的数学期望个位置上,则称为一个巧合,求巧合个数的数学期望.由于由于E(Xk)=P(Xk=1)解解:
设巧合个数为设巧合个数为X,则则故故引入引入五、数学期望性质的应用五、数学期望性质的应用征征=数数字字特特21解:
记记Xi=“=“在第在第i站客车的停车次数站客车的停车次数”,则有则有i=1=1,210210。
由期望的性质有由期望的性质有方法思想:
方法思想:
把复杂把复杂r.vX分解为数个简单随机变量分解为数个简单随机变量Xi之和,之和,再利用性质求期望再利用性质求期望.i=1,2,10.=1,2,10.2020人都不在此站下人都不在此站下P97例例12:
客车载有客车载有20位乘客位乘客,开出后有开出后有10个车站可下车个车站可下车,每位旅每位旅客在各站下车是等可能的客在各站下车是等可能的,且各乘客是否下车是相互独立的且各乘客是否下车是相互独立的.若若在一个站没人下车在一个站没人下车,则不停则不停,记记X为总停车次数为总停车次数,求求E(X).征征=数数字字特特22练习练习:
已知随机变量已知随机变量XX的概率密度为的概率密度为求求的期望的期望解:
征征=数数字字特特23游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光,电梯于每个整点的游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光,电梯于每个整点的第第5分钟,分钟,25分钟,和分钟,和55分钟从底层起行。
假设一游客在分钟从底层起行。
假设一游客在早早8点的第点的第X分钟到达底层候梯处,且分钟到达底层候梯处,且X在在0,60上均匀上均匀分布,求该游客等候时间的数学期望分布,求该游客等候时间的数学期望(97考研题)考研题)解:
因因X在在0,60上服从均匀分布上服从均匀分布,其概密为其概密为设设Y是游客等候电梯的时间,则是游客等候电梯的时间,则Y是其到达时刻是其到达时刻X的函数,有的函数,有征征=数数字字特特24随机变量的数学期望,反映了随机变量随机变量的数学期望,反映了随机变量取值的平均取值的平均水平水平,是随机变量的一个重要的数字特征,是随机变量的一个重要的数字特征.对这六个基本公式要理解并会用。
对这六个基本公式要理解并会用。
小结:
另:
征征=数数字字特特25作业作业P1112、6、7、9
(1)、)、15下次课,我们将学习随机变量另一个重要的数字下次课,我们将学习随机变量另一个重要的数字特征:
特征:
方差方差请预习请预习第二节第二节:
方差方差
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- 关 键 词:
- 概率论 第四 第五 第一次