普宁英才届高三下学期摸底考试数学理试题 含答案.docx
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普宁英才届高三下学期摸底考试数学理试题含答案
普宁英才华侨中学2017-2018学年度第二学期摸底考试
高三数学(理科)
注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号等相关信息填写在答题卷密封线内,并在“座位号”栏内填写座位号。
2.所有题目必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
第Ⅰ卷
一、选择题:
共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)已知集合
,
,则
(A)
(B)
(C)
(D)
(2)复数z满足(1+i)z=i+2,则z的虚部为
(A)
(B)
(C)
(D)
(3)已知等差数列
的前n项和为
,且
则数列
的公差为
(A)3(B)4(C)5(D)6
(4)设D为△ABC所在平面内一点,且
则
(A)
(B)
(C)
(D)
(5)若空间四条直线a、b、c、d,两个平面
、
,满足
,
,
,
,则
(A)
(B)
(C)
(D)b与d是异面直线
(6)若命题:
“
”为假命题,则
的取值范围是
(A)
(B)
(C)
(D)
(7)函数
的大致图象是
(A)(B)(C)(D)
(8)已知
且
,函数
满足
,
,则
(A)
(B)
(C)3(D)2
(9)阅读如图1所示的程序框图,运行相应程序,输出的结果是
(A)1234(B)2018(C)2258(D)722
(10)六个学习小组依次编号为1、2、3、4、5、6,每组3人,现需从中
任选3人组成一个新的学习小组,则3人来自不同学习小组的概率为
(A)
(B)
(C)
(D)
(11)直线
与圆
交于A、B两点,O为坐标
原点,若直线OA、OB的倾斜角分别为
、
,则
=图1
(A)
(B)
(C)
(D)
(12)已知
且
,若
为
的最小值,则约束条件
所确定的平面区域内整点(横坐标纵坐标均为整数的点)的个数为
(A)29(B)25(C)18(D)16
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13~21题为必考题,每个考生都必须作答。
第22~23题为选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:
本小题共4题,每小题5分。
(13)已知菱形
的边长为
,
则
________.
(14)按照国家规定,某种大米质量(单位:
kg)必须服从正态分布
~
根据检测
结果可知
某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利,若该公司有
名职工,则分发到的大米质量在
kg以下的职工数大约为.
(15)已知
满足约束条件
若
的最大值为4,则
.
(16)在数列
中,
对所有正整数
均有
,则
.
三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)
已知△
的内角
的对边分别为
,
,
,若
,
.
(Ⅰ)求
;
(Ⅱ)若
求
.
(18)(本小题满分12分)
某产品按行业生产标准分成
个等级,等级系数
依次为
…
,其中
为标准
,
为标准
.已知甲厂执行标准
生产该产品,产品的零售价为
元/件;乙
厂执行标准
生产该产品,产品的零售价为
元/件,假定甲,乙两厂的产品都符合相
应的执行标准.
(Ⅰ)已知甲厂产品的等级系数
的概率分布列如下所示:
且
的数学期望
求
的值;
(Ⅱ)为分析乙厂产品的等级系数
,从该厂生产的产品中随机抽取
件,相应的等
级系数组成一个样本,数据如下:
用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数
的数学期望;
(Ⅲ)在(Ⅰ),(Ⅱ)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可
购买性?
说明理由.
注:
①产品的“性价比”
;②“性价比”大的产品更具可购买性.
(19)(本小题满分12分)
如图,
平面
,
平面
△
是等边三角形,
是
的中点.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)若直线
与平面
所成角的正切值为
,
求二面角
的余弦值.
(20)(本小题满分12分)
已知动圆
与圆
相切,且与圆
相内切,记圆心
的轨迹为曲线
.
(Ⅰ)求曲线
的方程;
(Ⅱ)设
为曲线
上的一个不在
轴上的动点,
为坐标原点,过点
作
的平行
线交曲线
于
两个不同的点,求△
面积的最大值.
(21)(本小题满分12分)
设函数
.若曲线
在点
处的切线方程为
(
为自然对数的底数).
(Ⅰ)求函数
的单调区间;
(Ⅱ)若
,试比较
与
的大小,并予以证明.
请考生在第22~23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
(22)(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l的参数方程为
为参数
曲线
的极坐标方程为
.
(Ⅰ)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(II)设直线
与曲线C相交于
两点,当
变化时,求
的最小值.
(23)(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
已知
,不等式
的解集是
.
(Ⅰ)求
的值;
(II)若
存在实数解,求实数
的取值范围.
普宁英才华侨中学2017-2018学年度第二学期摸底考试
高三数学(理科)参考答案
一、选择题:
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
C
A
B
D
C
B
A
B
D
A
二、填空题
(13)
(14)
(15)
(16)
三、解答题
(17)解:
(Ⅰ)因为
,
,
由余弦定理得
即
.……………………2分
所以
.…………………………………………4分
由于
所以
.…………………………………………6分
(Ⅱ)法1:
由
及
得
……………………7分
即
………………………………………………………………8分
解得
或
(舍去).…………………………………………9分
由正弦定理得
…………………………………………10分
得
.………………………………………12分
法2:
由
及正弦定理得
…………………………………………7分
得
.…………………………………………8分
由于
则
则
.…………………………………………9分
由于
则
.………………………………………10分
所以
………………………………………11分
.……………………………………………………………12分
(18)解:
(Ⅰ)
即
①……………………1分
又由
的概率分布列得
②……………………2分
由①②得
…………………………………………………………4分
(Ⅱ)由已知得,样本的频率分布表如下:
………………………………………………………………5分
用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等级系数
的概率分布列如下:
………………………………………………………………6分
所以
.……………7分
即乙厂产品的等级系数的数学期望为
.……………………………………………8分
(Ⅲ)乙厂的产品更具可购买性,理由如下:
因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于
价格为
元/件,所以其性价比为
,
………………………………………………………………………………9分
因为乙厂产品的等级系数的期望等于
价格为
元/件,所以其性价比为
,
……………………………………………………………………………10分
据此,乙厂的产品更具可购买性.……………………………………………12分
(19)解:
(Ⅰ)因为△
是等边三角形,
是
的中点,
所以
.…………………………………1分
因为
平面
平面
所以
.…………………………………2分
因为
所以
平面
.……………………3分
因为
平面
所以
.……………………………4分
(Ⅱ)法1:
以点
为坐标原点,
所在直线为
轴,
所在直线为
轴,过
且与直线
平行的直线为
轴,
建立空间直角坐标系
.
因为
平面
所以
为直线
与平面
所成角.……………………………………5分
由题意得
即
…………………………………6分
从而
.
不妨设
又
则
.…………………………7分
故
.……………………………8分
于是
设平面
与平面
的法向量分别为
由
得
令
得
所以
.…………………………………9分
由
得
令
得
.
所以
.…………………………………10分
所以
.…………………………………11分
所以二面角
的余弦值为
.…………………………………12分
法2:
因为
平面
所以
为直线
与平面
所成角.…………………………………5分
由题意得
即
…………………………………6分
从而
.
不妨设
又
则
.…………………………………7分
由于
平面
平面
则
∥
.
取
的中点
连接
则
.
在Rt△
中,
在Rt△
中,
在Rt△
中,
取
的中点
连接
则
.…………………………………8分
所以
为二面角
的平面角.…………………………………9分
在Rt△
中,
在Rt△
中,
在Rt△
中,
因为
…………………………………10分
所以
.…………………………………11分
所以二面角
的余弦值为
.…………………………………12分
(20)解:
(Ⅰ)设圆
的半径为
圆心
的坐标为
,
由于动圆
与圆
相切,且与圆
相内切,
所以动圆
与圆
只能内切.…………………………………1分
所以
…………………………………2分
则
.…………………………………3分
所以圆心
的轨迹是以点
为焦点的椭圆,
且
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