计数原理与排列组合课件优质PPT.ppt

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分步记数原理针对的是分步记数原理针对的是“分步分步”问题，各步方法相问题，各步方法相互依存，只有各步都完成才互依存，只有各步都完成才能完成这件事。

能完成这件事。

排列组合定义从从n个个不同不同元素中，任取元素中，任取m（mn）个个不同不同元素按照元素按照一定顺序排成一列，叫一定顺序排成一列，叫做从做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个不同元素的一个个不同元素的一个排列排列。

从从n个个不同不同的元素中，的元素中，任取任取m（mn）个）个不不同同的元素并成一组，的元素并成一组，叫做从叫做从n个不同的元素个不同的元素中取出中取出m个不同的元个不同的元素的一个素的一个组合组合。

区别与顺序有关与顺序无关判定看取出的两个元素互换位置是否为同一种方法，看取出的两个元素互换位置是否为同一种方法，若不是，则是排列问题；

若是，则是组合。

若不是，则是排列问题；

公式3。

排列与组合4。

解排列组合问题基本思路排列组合问题有序无序排列组合分类或分步分类或分步直接法直接法间接法不易解不易解题型2可重复元素排列问题【例例2】五五名名学学生生报名名参参加加四四项体体育育比比赛，每每人人限限报一一项，报名名方方法法的的种种数数为多多少少？

五五名名学学生生争争夺四四项比比赛的的冠冠军（冠冠军不不并并列列），获得得冠冠军的的可可能能性性有有多多少少种？

种？

解答：

报报名的方法种数名的方法种数为4444445（种种）获得冠得冠军的可能情况有的可能情况有555554（种种）.方法小节：

方法小节：

解决解决“允许重复排列问题允许重复排列问题”常用常用“住店法住店法”，要，要注意区分两类元素：

注意区分两类元素：

一类元素可以重复，另一类不一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作能重复，把不能重复的元素看作“客客”，能重复的，能重复的元素看作元素看作“店店”，再利用乘法原理直接求解。

，再利用乘法原理直接求解。

基础知识梳理基础知识梳理二、题型与方法【例例3】如如图，用用5种种不不同同的的颜色色给图中中A、B、C、D四四个个区区域域涂涂色色，规定定每每个个区区域域只只涂涂一一种种颜色色，相相邻区区域域颜色色不不同同，求有多少种不同的涂色方法？

求有多少种不同的涂色方法？

题型3涂色问题解法一解法一（分步法）如题图分四个步骤来完成涂色这件事（分步法）如题图分四个步骤来完成涂色这件事需分为四步，第一步涂需分为四步，第一步涂A区有区有5种涂法；

第二步涂种涂法；

第二步涂B有有4种种方法；

第三步涂方法；

第三步涂C有有3种方法；

第四步涂种方法；

第四步涂D有有3种方法种方法（还可还可以使用涂以使用涂A的颜色的颜色），根据分步计数原理共有，根据分步计数原理共有5433180种涂色方法种涂色方法2011高考导航高考导航解法二（分类法）：

完成涂色的方法分为两类，第一类：

解法二（分类法）：

四个区域涂四种不同的颜色共有四个区域涂四种不同的颜色共有120种涂法；

种涂法；

第二类：

四个区域涂三种不同的颜色，由于第二类：

四个区域涂三种不同的颜色，由于A、D不不相邻只能是相邻只能是A、D两区域颜色一样，将两区域颜色一样，将A、D看做一个区看做一个区域，共域，共60种涂法种涂法由分类计数原理知共有涂法由分类计数原理知共有涂法12060180（种种）方法总结：

方法总结：

对涂色问题，有两种解法，法对涂色问题，有两种解法，法1是逐区图示法，注意不是逐区图示法，注意不相邻可同色相邻可同色.法法2根据用色多少分类法根据用色多少分类法.题型4排列中的“相邻”、“不相邻问题”【例例4】a1，a2，a8共共八八个个元元素素，分分别计算算满足足下下列列条件的排列数条件的排列数

（1）八八个个元元素素排排成成一一排排，且且a1，a2，a3，a4四四个个元元素素排排在在一一起；

起；

（2）八八个个元元素素排排成成一一排排，且且a1，a2，a3，a4四四个个元元素素互互不不相相邻；

（3）八八个个元元素素排排成成一一排排，且且a1，a2，a3，a4四四个个元元素素互互不不相相邻，并且，并且a5，a6，a7，a8也互不相也互不相邻；

（4）排成前后两排每排四个元素排成前后两排每排四个元素解解答答：

（1）（捆捆绑绑法法）先将a1，a2，a3，a4四四个个元元素素看看成成一一个个元元素素与与a5，a6，a7，a8排排列列一一排排，有有种种排排法法，再再排排a1，a2，a3，a4有不同排法，根据分分步步计数数原原理理知知满足足条条件件的排列数的排列数为2880.

（2）（插插空空法法）先先排排a5，a6，a7，a8四四个个元元素素排排成成一一排排，有有种种排排法法；

再再将将元元素素a1，a2，a3，a4插插入入由由a5，a6，a7，a8间间隔隔及及两两端端的的五五个个位位置置中中的的四四个个，有有种种排排法法，根根据据分分步计数原理知：

满足条件的排列数为步计数原理知：

满足条件的排列数为2880.（3）先先排排a5，a6，a7，a8，；

共共有有种种排排法法；

然然后后排排a1，a2，a3，a4排排在在或或中中的的共共有有2种种排排法法；

根根据据分分步步计数数原原理理共共有有21152种排法种排法（4）前前排排有有种种排排法法，后后排排有有种种排排法法，由由分分步步计数数原原理知共有理知共有8！

种排法！

种排法方法总结

（1）若某些元素必须相邻，常用捆绑法，即先把这几个相邻元素捆在一起看成一个元素，再与其他元素全排列，最后再考虑这几个相邻元素的顺序。

（2）若某些元素不相邻，常用插空法，即先将普通元素全排列，然后再从排就的每两个元素之间及两端选出若干个空挡插入这些特殊元素。

（3）前后排问题，直排法.变式变式44个男个男同学，同学，3个女同学站成一排个女同学站成一排

（1）3个女同学必个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？

排在一起，有多少种不同的排法？

（2）任任何何两两个个女女同同学学彼彼此此不不相相邻，有有多多少少种种不不同同的的排排法？

法？

（3）其其中中甲甲、乙乙两两同同学学之之间必必须恰恰有有3人人，有有多多少少种种不不同的排法？

同的排法？

（4）甲甲、乙乙两两人人相相邻，但但都都不不与与丙丙相相邻，有有多多少少种种不不同的排法？

（5）女女同同学学从从左左到到右右按按高高矮矮顺序序排排，有有多多少少种种不不同同的的排排法？

（3个女生身高互不相等个女生身高互不相等）解解答答：

（1）3个个女女同同学学是是特特殊殊元元素素，我我们先先把把她她们排排好好，共共有有种种排排法法；

由由于于3个个女女同同学学必必须排排在在一一起起，我我们可可视排排好好的的女女同同学学为一一整整体体，再再与与男男同同学学排排队，这时是是5个个元元素素的的全全排排列列，应有有种种排排法法，由由分分步步计数数的的原原理理,有有720种不同排法种不同排法

（2）先先将将男男生生排排好好，共共有有种种排排法法，再再在在这4个个男男生生的的中中间及及两两头的的5个个空空档档中中插插入入3个个女女生生有有种种方方案案，故故符符合合条条件的排法共有件的排法共有1440种不同排法种不同排法（3）甲甲、乙乙2人人先先排排好好，有有种种排排法法，再再从从余余下下5人人中中选3人人排排在在甲甲、乙乙2人人中中间，有有种种排排法法，这时把把已已排排好好的的5人人视为一一整整体体，与与最最后后剩剩下下的的2人人再再排排，又又有有种种排排法法，这样总共有共有720种不同排法种不同排法（4）先排甲、乙和丙先排甲、乙和丙3人以外的其他人以外的其他4人，有人，有种排法；

由种排法；

由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有种排法；

最后种排法；

最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的人的空档中有空档中有种排法这样，总共有种排法这样，总共有960种不同种不同排法排法（5）从从7个位置中个位置中选出出4个位置把男生排好，个位置把男生排好，则有有种排法种排法然后再在余下的然后再在余下的3个空位置中排女生，由于女生要按身个空位置中排女生，由于女生要按身体高矮排列，故体高矮排列，故仅有一种排法有一种排法这样总共有共有840种种不同排法不同排法.