黄克智版张量分析第一章习题解析PPT资料.ppt
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都正交,即:
uv=0,则矢量,则矢量v=0。
因为因为u为任意,所以可为任意,所以可取取u1,u2,u3,使得,使得由由uv=0得得因为因为detU0,所以,所以vx=vy=vz=0是唯一零解,即:
是唯一零解,即:
v=0。
1.4已知:
矢量已知:
矢量u,v,求证:
,求证:
1.5求证:
a,b线性相关。
线性相关。
即即或或故故即,即,a,b线性相关。
1.6求证:
a,b,c线性相关。
即即或或a,b,c共面。
三维空间中共面的三矢量线性相关。
共面。
1.7已知:
矢量b=2i+j-2k,c=i+2j+3k,i,j,k为笛卡儿基;
为笛卡儿基;
若将若将c分解为与分解为与b平行的矢量及垂直于平行的矢量及垂直于b的矢量的矢量a之和,即之和,即c=a+mb。
求求a;
m(其中其中ba=0)解解:
1.8利用利用证明证明gij是对称正定的。
是对称正定的。
即即gij是对称正定的。
1.9求证:
对于一组非共面的求证:
对于一组非共面的gi,存在唯一的,存在唯一的gj,gj也是非也是非共面的。
共面的。
参见:
1.2.2.4由协变基矢量求逆变基矢量由协变基矢量求逆变基矢量式(式(1.2.17)及式()及式(1.2.25)。
)。
1.10已知:
以已知:
以i,j,k表示三维空间中笛卡坐标基矢量,表示三维空间中笛卡坐标基矢量,
(1)按公式()按公式(1.2.17),求),求g1,g2,g3以以i,j,k表示的式子;
表示的式子;
(2)求)求grs。
解:
1.11根据上题结果验算公式根据上题结果验算公式:
gj=gjigi解:
1.12已知:
已知:
u=2g1+3g2-g3,v=g1-g2+g3,基矢量同上题。
运用,基矢量同上题。
运用1.11题求得的题求得的grs计算:
计算:
(1)uv;
(;
(2)u,v的协变分量。
的协变分量。
1.13已知已知:
(1)圆柱坐标系如图()圆柱坐标系如图(a),),r=x1,=x2,z=x3。
(2)球坐标系如图()球坐标系如图(b),),r=x1,=x2,=x3。
x3Ox2x1zrx3Ox2x1r求:
两种坐标系中:
求:
(1)gi通过笛卡儿基通过笛卡儿基i,j,k的表达式,画出简图。
的表达式,画出简图。
(2)求)求gi,说明,说明gi和和gi的大小与方向有何关系。
的大小与方向有何关系。
(3)由)由gi求求gij,gij,。
(1)圆柱坐标系:
圆柱坐标系:
球坐标系:
x3Ox2x1zrg1g2g3x3Ox2x1rg1g2g3
(2)圆柱坐标系:
(3)圆柱坐标系:
x3Ox2x1x3Ox2x1rzrddrdzdddrrdrdrr1.14斜圆锥面上坐标系斜圆锥面上坐标系x1=,x2=z,R,H,C为已知(如图)。
为已知(如图)。
g,g,g(,=1,2)。
yzHxOrg1g2RCz解:
动点所在圆周的半径为动点所在圆周的半径为圆心至圆心至z轴的距离轴的距离在在xy平面上,该圆以平面上,该圆以为参数的方程为为参数的方程为于是,动点的矢径为于是,动点的矢径为1.15二维空间为半径为二维空间为半径为R的半的半球面,如图,球面,如图,x1=,x2=。
用两种方法求用两种方法求g,g,g,g(,=1,2)。
zRg2g1OyRRx解:
1.16已知:
圆柱坐标系中已知:
圆柱坐标系中、球坐标系中矢量的逆变分量、球坐标系中矢量的逆变分量vi。
利用题利用题1.13结果分别求两个坐标系中的协变分量结果分别求两个坐标系中的协变分量vi。
(1)圆柱坐标系)圆柱坐标系
(2)球坐标系)球坐标系1.17求:
题求:
题1.13所示圆柱坐标和球坐标所示圆柱坐标和球坐标xi,与笛卡儿坐标,与笛卡儿坐标xj的转换系数的转换系数解:
1.18
(1)已知)已知:
笛卡儿坐标系中笛卡儿坐标系中v的分量为的分量为v1,v2,v3;
圆柱坐标中求:
圆柱坐标中v的分量的分量v1,v2,v3。
(2)已知)已知:
球坐标中求:
球坐标中v的分量的分量v1,v2,v3。
(1)
(2)1.19试求线元试求线元dxk的长度的长度dsk。
1.20试求线元试求线元dxk与与dxl的夹角的夹角kl。
1.27设一动点轨迹为设一动点轨迹为xi(t)(t0,标量),定义,标量),定义求证:
vi为矢量分量。
为矢量分量。
1.28由应变由应变ij的定义的定义出发,出发,求证:
ij是对称二阶张量的分量。
式中是对称二阶张量的分量。
式中dxi是介质的拉格是介质的拉格朗日坐标的微分。
朗日坐标的微分。
1.38在笛卡儿坐标系中,各向同性材料的弹性关系为在笛卡儿坐标系中,各向同性材料的弹性关系为
(1)利用商法则证明此式必定可以表示为一个张量的代数)利用商法则证明此式必定可以表示为一个张量的代数运算等式,写出其实体形式,说明等式中各阶张量的阶数。
运算等式,写出其实体形式,说明等式中各阶张量的阶数。
(2)将上式表示为可运用于任意坐标系的张量分量形式。
)将上式表示为可运用于任意坐标系的张量分量形式。
(3)写出任意坐标系中的协变分量)写出任意坐标系中的协变分量Dijkl用用E,及度量张量及度量张量分量表达的形式,以及分量表达的形式,以及D的并矢表达式。
的并矢表达式。
解解:
(:
(1)
(2)(3)1.39已知:
矩阵已知:
矩阵A,B,C=AB,a=detA,b=detB,c=detC。
利用置换符号证明:
。
c=ab。
或或1.40已知:
矩阵中某两列的元素成比例,例如:
中某两列的元素成比例,例如:
,k为一个实数。
利用置换符号证明为一个实数。
利用置换符号证明:
1.41质量为质量为m,绕定点,绕定点O以角速度以角速度转动的质点(如图),转动的质点(如图),其动量矩矢量的定义为其动量矩矢量的定义为L=mrv,其中,其中,r为定点为定点O至质点的至质点的矢径,矢径,v为质点的线速度。
为质点的线速度。
L=I,式中,式中I为惯性矩张量,为惯性矩张量,I=m(rr)GrrvmrO证明:
1.42求图求图1.11所示球坐标系中的面元矢量所示球坐标系中的面元矢量da1,da2,da3。
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