理论力学PPT推荐.ppt
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稳定约束(定常约束)稳定约束(定常约束):
随时间变化的约束,约束方程显含时间随时间变化的约束,约束方程显含时间t不随时间改变的约束,约束方程不显含时间不随时间改变的约束,约束方程不显含时间tOl例:
质点被一刚性杆和一固定点连接质点被一刚性杆和一固定点连接为稳定约束为稳定约束lcxyz若杆的上端从若杆的上端从O点开始以匀速点开始以匀速C沿沿y方向运动方向运动O为不稳定约束为不稳定约束3.按是否显含速度(坐标的时间微分)分类按是否显含速度(坐标的时间微分)分类几何约束几何约束:
运动约束(微分约束)运动约束(微分约束):
不显含速度的约束不显含速度的约束显含速度的约束显含速度的约束完整约束完整约束:
几何约束和可以积分的微分约束:
几何约束和可以积分的微分约束非完整约束非完整约束:
不能积分的微分约束:
不能积分的微分约束完整系完整系:
只受完整约束的力学体系:
只受完整约束的力学体系非完整系非完整系:
含有非完整约束的力学体系:
含有非完整约束的力学体系在本课程中我们主要关注在本课程中我们主要关注完整系完整系。
特点:
表现为约束对系统位形的限制表现为约束对系统位形的限制特点:
表现为约束对系统速度的限制,如在方程中任意指定坐标,表现为约束对系统速度的限制,如在方程中任意指定坐标,速度在指定坐标及约束条件下变化。
速度在指定坐标及约束条件下变化。
在水平面上作纯滚动的圆盘,盘面始终保持与水平面垂直在水平面上作纯滚动的圆盘,盘面始终保持与水平面垂直xzyvo解:
解:
描写盘的运动需要描写盘的运动需要4个坐标,可以选为盘心坐标个坐标,可以选为盘心坐标(x,y),盘轴与盘轴与x轴的夹角轴的夹角和盘绕自身轴和盘绕自身轴转过的角度转过的角度a因为盘作纯滚动,故盘心的速度为:
因为盘作纯滚动,故盘心的速度为:
其在其在x轴和轴和y轴投影为:
轴投影为:
或写成:
以上约束方程不能积分,无法写成形式:
如果盘沿直线作纯滚动(如果盘沿直线作纯滚动(=常数),则约束方程是可积的,积分后给出:
常数),则约束方程是可积的,积分后给出:
此时约束变为完整约束此时约束变为完整约束2.1.2广义坐标与自由度广义坐标与自由度若体系有约束存在,则若体系有约束存在,则n个坐标个坐标可能是不独可能是不独立的。
立的。
这时可取一组独立参数这时可取一组独立参数来代替它们描来代替它们描写体系的位形:
写体系的位形:
这组独立的参数叫作这组独立的参数叫作广义坐标广义坐标。
注:
广义坐标包含了约束的信息,其作用可取代约束方程。
若体系为完整系,存在若体系为完整系,存在k个完整约束:
个完整约束:
则独立坐标数为则独立坐标数为,它也是独立速度的,它也是独立速度的数目。
数目。
若体系为非完整系,假设除了若体系为非完整系,假设除了k个完整约束之外,还有个完整约束之外,还有l个非完整约束:
个非完整约束:
从以上方程还可解出从以上方程还可解出l个速度,因此独立速度的数目为:
个速度,因此独立速度的数目为:
体系的自由度体系的自由度对完整系独立坐标数等于自由度,对非完整系独立坐标数大于自由度。
对完整系独立坐标数等于自由度,对非完整系独立坐标数大于自由度。
2.1.3虚位移与虚速度虚位移与虚速度设对于质点组设对于质点组存存在完整约束:
在完整约束:
它是它是3N维空间中的一个超曲面。
在主动力和约束力作用下,体系的牛顿方程为维空间中的一个超曲面。
在主动力和约束力作用下,体系的牛顿方程为目的:
目的:
用约束条件取代约束力用约束条件取代约束力R,使,使R不出现在运动方程中不出现在运动方程中对于一大类约束,约束力矢量对于一大类约束,约束力矢量沿超曲面的法向方向沿超曲面的法向方向方法:
方法:
用切平面内的任意矢量与约束力用切平面内的任意矢量与约束力R点乘,就可消去点乘,就可消去R为得到切平面内的矢量,设想在某一时刻,体系的位形为得到切平面内的矢量,设想在某一时刻,体系的位形在约束在约束许可的条件下,发生一微小的变更许可的条件下,发生一微小的变更,使变更后的位形仍满,使变更后的位形仍满足该时刻的约束条件足该时刻的约束条件将上式在将上式在附近进行泰勒展开,保留到一级项附近进行泰勒展开,保留到一级项这种假想的,在某一固定时刻约束所许可的位置变更这种假想的,在某一固定时刻约束所许可的位置变更叫叫作作虚位移虚位移。
虚位移方程虚位移方程约束的全微分为:
约束的全微分为:
虚位移可以看作在约束的全微分中取虚位移可以看作在约束的全微分中取得到。
得到。
虚位移虚位移可以看作是将可以看作是将时间时间“凝固凝固”得到的位得到的位移。
移。
-而满足而满足式的位置变更式的位置变更叫作叫作可能位移可能位移,体系的,体系的实位移实位移是可能位移的一个。
是可能位移的一个。
当且仅当约束是稳定约束时虚位移才与可能位移相同。
虚位移可用广义坐标的虚变更表示为:
广义坐标的这种虚变更称为广义坐标的这种虚变更称为广义坐标的变分广义坐标的变分。
也可引入也可引入虚速度虚速度的概念,即在约束许可条件下,某固定时刻速度的微小变更:
的概念,即在约束许可条件下,某固定时刻速度的微小变更:
其中其中为广义速度的虚变更,为广义速度的虚变更,称为称为广义速度的变分广义速度的变分。
2.1.4泛函及其变分泛函及其变分当把体系的广义坐标当把体系的广义坐标和广义速度和广义速度视为时间的未知隐函数时,视为时间的未知隐函数时,函数函数称为变量称为变量和和的的泛函泛函。
和和称为泛函的称为泛函的函数构成函数构成。
泛函和普通复合函数的区别:
泛函的宗量泛函的宗量和和是未知的,可以任意变化,是未知的,可以任意变化,t的作用只的作用只是一个参数。
是一个参数。
普通复合函数的宗量通常为时间的已知函数,它最终以普通复合函数的宗量通常为时间的已知函数,它最终以t为宗量。
为宗量。
设想泛函设想泛函在某一在某一固定时刻固定时刻因广义坐标和广义速度因广义坐标和广义速度的微小变更而发生一个假想的变更的微小变更而发生一个假想的变更(泛函的等时变分,泛函的等时变分,简称简称变分变分)变分的运算性质:
变分的运算性质:
另外,由于在等时变分中时间是凝固的,另外,由于在等时变分中时间是凝固的,它可以与时间的微分和积分交换顺序:
它可以与时间的微分和积分交换顺序:
证明:
变分可以与时间的微分和积分交换顺序变分可以与时间的微分和积分交换顺序证:
证:
依照变分的定义:
特例:
速度变分与坐速度变分与坐标变分的关系标变分的关系例:
证明如下两个经典拉格朗日关系证明如下两个经典拉格朗日关系证:
根据根据将上式对将上式对求偏导,求偏导,得得将将式对式对求偏导求偏导,得:
,得:
-证毕。
证毕。
2.2虚功原理虚功原理2.2.1虚功原理虚功原理虚功:
虚功:
力力F在虚位移下所作的功在虚位移下所作的功设完整系中每个质点所受的主动力和约束力分别为设完整系中每个质点所受的主动力和约束力分别为Fi和和Ri则体系的总虚功为则体系的总虚功为理想约束:
理想约束:
如果所有约束力在任意虚位移上的虚功之和为零:
说明:
虚功只具有功的量纲,并不与任何真实的能量转化过程相关。
虚功原理:
受理想约束的系统处于平衡状态的必要条件是系统全部主动力受理想约束的系统处于平衡状态的必要条件是系统全部主动力在任意虚位移中的虚功之和为零,即在任意虚位移中的虚功之和为零,即【补充补充】如果上述理想约束还是定常的,则如果上述理想约束还是定常的,则还是系统能还是系统能处于处于静平衡静平衡的充分条件的充分条件.证明:
因体系处于平衡状态,对每个质点有因体系处于平衡状态,对每个质点有理想约束理想约束证明:
如果约束是定常的,则真实位移如果约束是定常的,则真实位移是虚位移之一,则是虚位移之一,则由质点组动能定理可知:
由质点组动能定理可知:
因此,若系统初始时各质点静止,则以后也会保持静止,即处于静平衡。
得证得证注:
以上只是针对以上只是针对静平衡静平衡。
否则有反例,如小球在不可伸长的绳的约束。
否则有反例,如小球在不可伸长的绳的约束下做匀速圆周运动下做匀速圆周运动.虚功还可以用广义坐标来表示:
虚功还可以用广义坐标来表示:
定义定义广义力广义力:
(可理解为力在广义坐标轴上的投影)(可理解为力在广义坐标轴上的投影)则:
则:
因此虚功原理可用广义坐标表示为:
因为各因为各彼此独立,所以彼此独立,所以(完整系的平衡方程)(完整系的平衡方程)若体系为保守系,则若体系为保守系,则于是:
于是:
故保守系的平衡方程可写为故保守系的平衡方程可写为或或应用虚功原理处理问题主要步骤应用虚功原理处理问题主要步骤:
(1)
(1)判断约束类型是否满足虚功原理适用条件;
判断约束类型是否满足虚功原理适用条件;
(2)
(2)正确判断自由度,选择合适的广义坐标;
正确判断自由度,选择合适的广义坐标;
(3)(3)分析并图示系统受到的主动力;
分析并图示系统受到的主动力;
(4)(4)虚功原理虚功原理坐标变换方程坐标变换方程广义平衡方程;
广义平衡方程;
有势系有势系求求V坐标变换方程坐标变换方程广义平衡方程广义平衡方程(5)(5)求解广义平衡方程求解广义平衡方程虚功方程中不出现约束力,所以不能直接用它来求解约束力。
虚功方程中不出现约束力,所以不能直接用它来求解约束力。
技术处理:
有时可以把要求解的约束力有时可以把要求解的约束力当成主动力,并把相应的约束解当成主动力,并把相应的约束解除。
那么除。
那么就进入了虚功方程。
这样就可求解该约束力了。
就进入了虚功方程。
对于非理想约束体系:
只要把相应于非理想约束的约束力包括在主动力中,对于非理想约束体系:
只要把相应于非理想约束的约束力包括在主动力中,仍可用虚功原理进行研究。
仍可用虚功原理进行研究。
均匀杆均匀杆OA,重量为,重量为P1,长度为,长度为l1,能够在固定平面内绕固定铰链,能够在固定平面内绕固定铰链O转动。
转动。
此杆的此杆的A端用铰链连一重量为端用铰链连一重量为P2,长度为,长度为l2的均匀杆的均匀杆AB。
在。
在AB杆的杆的B端端加一水平力加一水平力F。
求平衡时,(。
求平衡时,
(1)此二杆与水平线所成的角度;
()此二杆与水平线所成的角度;
(2
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- 理论 力学
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