课外拓展系列--一元二次方程(初一数学)PPT资料.ppt
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两实数根互为相反数,即:
x1+x2=-b/a=0。
解:
1)由题意得:
=(2k-1)2-4k20解得:
k1/4当k1/4此时,0时,即m3/4,且m2时,方程有两个不相等实根;
当=0时,即m=3/4时,方程有两个相等实根;
当0时,即m0。
本题用到了反证法,这是证明类题目常用的方法。
证明:
假设1=(2b)2-4ac02=(2c)2-4ab03=(2a)2-4bc0则1+2+3=4b2-4ac+4c2-4ab+4a2-4bc=4(a2+b2+c2-ab-bc-ac)=22(a-b)2+(b-c)2-(c-a)20又a、b、c不全相等的非零实数22(a-b)2+(b-c)2-(c-a)20所以,假设不成立,至少有一个方程有两个不等实根。
例6:
设a、b、c是不全相等的非零实数,求证:
在方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0和cx2+2ax+b=0中,至少有一个方程有两个不等实根。
拓展训练拓展训练案例题案例题例7:
若两方程a2x2+ax-1=0和x2-ax-a2=0有公共根,求a的值。
设是两方程的公共根,则:
a22+a-1=0、2-a-a2=0两式相加,得:
(a2+1)(2-1)=0a2+10,2-1=0即:
=1代入原方程,得a2+a-1=0或a2-a-1=0解得:
拓展训练拓展训练案例题案例题例8:
对于abc0,作二次方程x2-(a+b+c)x+(ab+bc+ca)=0,1)若方程有实根,求证:
a,b,c不能作为一个三角形的三边;
2)若方程两根为6,9,求正整数a,b,c【分析】讨论方程的根,需要用到判定式或韦达定理。
三角形三条边的关系为两边之和大于另一边。
方程有实根=(a+b+c)2-4(ab+bc+ca)=a2+b2+c2-2ab-2bc-2ac=(a+b+c)(a-b-c)-4bc0又abc0(a+b+c)(a-b-c)4bc0a-b-c0即ab+c所以a、b、c不能作为三角形的三边。
2)由韦达定理可知:
a+b+c=15,ab+bc+ac=54abc0,a+b+c3c,即c5满足条件的c=1,2,3,4当c=1时,a+b=14,ab=40,解得a=10,b=4拓展训练拓展训练案例题案例题例9:
设n为正整数,且n2-71的值能被7n+55的值整除,求n的值。
【分析】两个代数式存在整除关系,可以采用转化为带系数的方程问题。
7n+55|n2-71n2-71=k(7n+55)(k为整数)则n2-7kn-55k-71=0
(1)n为正整数=(7k)2-4(-55k-71)=49k2+220k+284是完全平方数又(7k+15)2=49k2+210k+22549k2+220k+28449k2+238k+289=(7k+17)2=(7k+16)2即:
(7k+16)2=49k2+220k+284解得:
k=7代入
(1),得:
n2-49n-456=0n=57或n=-8(不符合要求)所以,n的值为57.拓展训练拓展训练案例题案例题例10:
已知抛物线y=ax2-3(a+1)x+3a与直线y=1-2x至少有一个交点是整点(纵横坐标都是整数的点),试确定整数a的值,并求出对应的整点坐标。
抛物线与直线的交点的横坐标x满足方程y=ax2-3(a+1)x+3a=1-2x即:
ax2-(3a+1)x+3a-1=0=(3a+1)2-4a(3a-1)0,3a2-10a-10又a为整数,所以a=1,2,3。
当a=1时,代入原方程得:
x=当a=2时,代入原方程得:
x=1或5/2当a=3时,代入原方程得:
x=2或4/3所以,满足条件的a值有a=2或3。
当a=2时,有一个交点(1,-1),当a=3时,有一个交点(2,-3)。
拓展训练拓展训练案例题案例题例11:
甲班的m个男生和11个女生捐款总数与乙班9个男生和n个女生的捐款总数相等,都是(mn+9m+11n+145)元,已知每人捐款数相同,且都是整数元,求每人的捐款数。
【分析】从题目中要去发现隐含条件:
每班捐款总数相同,每人捐款数相同,则说明两班捐款的人数是相同的。
设每人捐款数为x元,则有:
m+11=n+9,即m=n-2又mn+9m+11n+145=(9+n)x把m=n-2代入等式,得:
n2+18n+127=(9+n)x整理得:
n2+(18-x)n+(127-9x)=0n为整数=(18-x)2-4(127-9x)=x2-184为完全平方数设=x2-184=k2(k为整数,且k0)(x+k)(x-k)=184则有:
x+k=184x+k=92x+k=46x+k=23x-k=1,x-k=2x-k=4x-k=8又x为整数,所以x=47或25
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- 课外 拓展 系列 一元 二次方程 初一 数学
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