半导体物理课件章2PPT文件格式下载.ppt
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规定k为矢量,称为波矢,波矢k的方向为波面的法线方向。
SchoolofMicroelectronics由粒子性有又由德布罗意关系因此由此可得到图2.2所示的Ek关系。
随波矢k的连续变化自由电子能量是连续的。
图2.2自由电子的Ek关系SchoolofMicroelectronics三、半导体中的电子状态与能带三、半导体中的电子状态与能带n单电子近似假设晶体中电子是在严格周期性重复排列并且固定不动的原子核势场和其它电子的平均势场中运动n因此晶体中的势场必定是一个与晶格同周期的周期性函数n那么一维条件下晶体中电子的薛定谔方程为式中s为整数,a为晶格常数。
SchoolofMicroelectronics布洛赫定理指出上式的解必有下面的形式其中n为整数,a为晶格常数。
k(x)就称为布洛赫波函数。
讨论:
1)布洛赫波函数k(x)与自由电子波函数(x)形式相似,都表示了波长是1/k、沿k方向传播的平面波;
但晶体中电子是周期性调制振幅uk(x),而自由电子是恒定振幅A;
SchoolofMicroelectronics2)自由电子|(x)(x)*|A2,即自由电子在空间等几率出现,也就是作自由运动;
而晶体中的电子|k(x)k(x)*|uk(x)uk(x)*|,是与晶格同周期的周期性函数,表明晶体中该电子出现的几率是周期性变化的。
这说明电子不再局限于某一个原子,而具有从一个原子“自由”运动到其它晶胞对应点的可能性,称之为电子在晶体中的共有化运动。
3)布洛赫波函数中波矢k也是一个量子数,不同的k表示了不同的共有化运动状态。
SchoolofMicroelectronics准自由电子近似:
准自由电子近似:
n设想把一个电子“放到”晶体中去,由于存在晶格,电子波的传播要受到格点原子的反射。
一般情况下各个反射波会有所抵消,因此对前进波不会产生重大影响。
n当满足布喇格反射条件时,就会形成驻波。
一维晶体的布喇格反射条件为k=n/2an=1,2n因此其定态一定为驻波。
SchoolofMicroelectronics由量子力学可知电子的运动可视为波包的运动,而波包的群速度就是电子运动的平均速度v。
如果波包频率为,则电子运动的平均速度v=d/dk而E=h因此电子的共有化运动速度因为定态是驻波,因此在k=n/2a(n=1,2)处v=0(dE/dk=0),得到图2.3中准自由电子的E(k)k关系。
SchoolofMicroelectronics图2.3准自由电子的E(k)k关系图中的虚线是自由电子E(k)k关系。
它表明原先自由电子的连续能量由于晶格的作用而被分割为一系列允许的和不允许的相间能带。
因此晶体中电子状态既不同于孤立原子中的电子状态,又不同于自由电子状态,晶体中电子形成了一系列相间的允带和禁带。
SchoolofMicroelectronics布里渊区与能带布里渊区与能带:
求解一维条件下晶体中电子的薛定谔方程,可以得到图2.4所示的晶体中电子的E(k)k关系,虚线是自由电子E(k)k关系。
(a)E(k)k关系(b)能带(c)第一布里渊区图2.4晶体中电子的E(k)k关系SchoolofMicroelectronics结论结论:
(1)当k=n/2a(n=1,2)时,能量不连续,形成一系列相间的允带和禁带。
允带的k值位于下列几个称为布里渊区的区域中第一布里渊区1/2ak1/2a第二布里渊区1/ak-1/2a,1/2ak1/a第三布里渊区3/2ak-1/a,1/ak3/2a第一布里渊区称为简约布里渊区,相应的波矢称为简约波矢SchoolofMicroelectronics
(2)E(k)=E(k+n/a),即E(k)是k的周期性函数,周期为1/a。
因此在考虑能带结构时只需考虑1/2ak1/2a的第一布里渊区就可以了。
推广到二维和三维情况:
二维晶体的第一布里渊区1/2a(kx,ky)1/2a三维晶体的第一布里渊区1/2a(kx,ky,kz)0K(c)简化能带图图2.7半导体的能带SchoolofMicroelectronics由上述激发过程不难看出:
受电子跃迁过程和能量最低原理制约,半导体中真正对导电有贡献的是那些导带底部附近的电子和价带顶部附近电子跃迁后留下的空态(等效为空穴)。
换言之,半导体中真正起作用的是那些能量状态位于能带极值附近的电子和空穴。
SchoolofMicroelectronics2.2半导体中的电子的半导体中的电子的E(k)k关系关系有效质量和有效质量和k空间等能面空间等能面一、一、半导体中电子的半导体中电子的E(k)k关系关系由于半导体中起作用的是能带极值附近的电子和空穴,因此只要知道极值附近的E(k)k关系就足够了。
一维情况下,设导带极小值位于k=0处(布里渊区中心),极小值为Ec,在导带极小值附近k值必然很小,将E(k)在k=0附近按泰勒级数展开,有SchoolofMicroelectronics忽略k2以上高次项,因此在k0处E(k)极小,故(dE/dk)k=0=0,因此对确定的半导体,(d2E/dk2)k=0是确定的。
与自由电子能量作比较,令SchoolofMicroelectronics则有可见半导体中电子与自由电子的E(k)k关系相似,只是半导体中出现的是mn*,称mn*为导带底电子有效质量。
因导带底附近E(k)Ec,所以mn*0。
同样假设价带极大值在k0处,价带极大值为Ev,可以得到其中而价带顶附近E(k)Ev,所以价带顶电子有效质量mn*0。
SchoolofMicroelectronics二、半导体中电子的平均速度二、半导体中电子的平均速度引入了电子有效质量mn*后,除E(k)k关系与自由电子相似外,半导体中电子的速度与自由电子的速度表达式形式也相似,只是半导体中出现的是有效质量mn*。
SchoolofMicroelectronics三、半导体中电子的加速度三、半导体中电子的加速度在外力的作用下,半导体中电子的加速度为式中因此半导体中出现的仍然是电子的有效质量mn*。
SchoolofMicroelectronics图2.8自由电子、晶体中电子E(k)k,vk和mk关系下图分别画出了自由电子和半导体中电子的E(k)k,vk和mk关系曲线。
SchoolofMicroelectronics四、有效质量的意义四、有效质量的意义n上述半导体中电子的运动规律公式都出现了有效质量mn*,原因在于F=mn*a中的F并不是电子所受外力的总和。
n即使没有外力作用,半导体中电子也要受到格点原子和其它电子的作用。
当存在外力时,电子所受合力等于外力再加上原子核势场和其它电子势场力。
n由于找出原子势场和其他电子势场力的具体形式非常困难,这部分势场的作用就由有效质量mn*加以概括,mn*有正有负正是反映了晶体内部势场的作用。
n既然mn*概括了半导体内部势场作用,外力F与晶体中电子的加速度就通过mn*联系了起来而不必再涉及内部势场。
SchoolofMicroelectronics五、能带宽度对晶体中电子速度及有效质量五、能带宽度对晶体中电子速度及有效质量的影响的影响原子核外不同壳层电子其有效质量大小不同:
n内层电子占据了比较窄的满带,这些电子的有效质量mn*比较大,外力作用下不易运动;
n而价电子所处的能带较宽,电子的有效质量mn*较小,在外力的作用下可以获得较大的加速度。
SchoolofMicroelectronics六、六、k空间等能面空间等能面n不同半导体的E(k)k关系各不相同。
即便对于同一种半导体,沿不同k方向的E(k)k关系也不相同。
换言之,半导体的E(k)k关系可以是各向异性的。
n因为,沿不同k方向E(k)k关系不同就意味着半导体中电子的有效质量mn*是各向异性的。
SchoolofMicroelectronics如果导带底Ec位于k=0处,对于各向同性的有效质量mn*,在导带底附近当E(k)为确定值时,对应了许多个不同的(kx,ky,kz),把这些不同的(kx,ky,kz)连接起来就可以构成一个能量值相同的封闭面,称为等能面。
上式所示的E(k)k关系其等能面为球面。
结合可知,具有球形等能面的E(k)k关系其电子有效质量是各向同性的。
SchoolofMicroelectronics半导体的能带极值点不一定在k0处,沿不同k方向E(k)k关系也不同,即有效质量mn*各向异性。
设导带底极值点在k0处,极值为Ec,在晶体中选择适当的三个坐标轴,沿着kx,ky,kz轴的导带底有效质量分别为mx*,my*,mz*,用泰勒级数在k0附近展开,略去高次项得即SchoolofMicroelectronics上式是一个椭球方程,各分母等于椭球的各个半轴长的平方,这种情况下的等能面是环绕极值点k0的一系列的椭球面。
其中Si、Ge导带底附近等能面为绕长轴旋转的旋转椭球等能面,即mx*=my*=mt,mz*=ml,称mt和ml为横有效质量和纵有效质量。
将坐标原点置于旋转椭球中心,并使kz轴与旋转椭球的长轴重合,得到SchoolofMicroelectronicsKzKxKy图2.9旋转椭球等能面实验表明:
Si的导带底附近有6个长轴沿方向的旋转椭球等能面Ge的导带底附近有4个长轴沿方向的旋转椭球等能面SchoolofMicroelectronics2.3Si、Ge和和GaAs的能带结构的能带结构一、一、Si、Ge和和GaAs的导带结构的导带结构回旋共振实验表明:
回旋共振实验表明:
nSi的导带底附近等能面是由长轴沿方向的6个旋转椭球等能面构成,旋转椭球的中心位于方向上简约布里渊区中心至边界的0.85倍处。
nGe的导带底附近的等能面由长轴沿方向的8个旋转椭球等能面构成,导带极小值对应的波矢位于方向简约布里渊区的边界上,这样在简约布里渊区内有4个完整的椭球。
SchoolofMicroelectronics图2.10Si和Ge的简约布里渊区和k空间导带底附近等能面示意图nGaAs的导带极小值位于k0处,导带极小值附近具有球形等能面,mn*0.
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