专题讲座小波变换PPT格式课件下载.ppt

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窗函数窗函数ww根据根据进行了时移，进行了时移，扩展傅里叶变换表扩展傅里叶变换表达式达式短时傅里叶变换操作示意短时傅里叶变换操作示意问题问题实际运用中处理的问题与上述描述恰好相反：

实际运用中处理的问题与上述描述恰好相反：

给定一个信号，希望能够在时域和频域上定给定一个信号，希望能够在时域和频域上定位信号发生的事件，因此时间位信号发生的事件，因此时间和频率和频率FF都是都是不确定的，即按上述的分析不可行（结果不不确定的，即按上述的分析不可行（结果不确定或有误差）确定或有误差）分析中，分辨率的损失是由于窗函数分析中，分辨率的损失是由于窗函数w（t）w（t）的的时域宽度及傅里叶变换的频率带宽所决定的；

时域宽度及傅里叶变换的频率带宽所决定的；

信号不能同时在时域和频域准确定位信号不能同时在时域和频域准确定位信号不能同时在时域和频域准确定位信号不能同时在时域和频域准确定位测不准定理测不准定理GaborGabor变换引言变换引言STFTSTFT将一个连续时间变量将一个连续时间变量tt的信号的信号x（t）x（t）变换变换为有两个连续时间变量的为有两个连续时间变量的X（X（,F）,F）意味着意味着STFTSTFT包含了很多的冗余信息包含了很多的冗余信息将频率将频率FF离散化，离散化，F=KfF=Kf00将时间离散化，在将时间离散化，在=mT=mT00采样采样Gabor变换：

变换：

Xm,k=X（mT0,kF0）GaborGabor变换变换通过通过GaborGabor变换，信号变换，信号x（t）x（t）被展开为：

被展开为：

GaborGabor变换公式：

变换公式：

小小波波变变换换是是强强有有力力的的时时频频分分析析（处处理理）工工具具，是是在在克克服服傅傅立立叶叶变变换换缺缺点点的的基基础础上上发发展展而而来来的的。

已已成成功功应应用用于于很很多多领领域域，如如信信号号处处理理、图图像像处处理理、模模式识别等。

式识别等。

小小波波变变换换的的一一个个重重要要性性质质是是它它在在时时域域和和频频域域均均具具有有很很好好的的局局部部化化特特征征，它它能能够够提提供供目目标标信信号号各各个个频频率率子子段段的的频频率率信信息息。

这这种种信信息息对对于于信信号号分分类类是非常有用的。

是非常有用的。

小小波波变变换换一一个个信信号号为为一一个个小小波波级级数数，这这样样一一个个信号可由小波系数来刻画。

信号可由小波系数来刻画。

小波变换小波变换数学显微镜数学显微镜部分小波波形部分小波波形小波基函数小波基函数将信号在这个函数系上分解，就得到连续小波变换将信号在这个函数系上分解，就得到连续小波变换小波分析小波分析小波变换通过平移母小波小波变换通过平移母小波（motherwavelet）（motherwavelet）可获可获得信号的时间信息，而通过缩放小波的宽度得信号的时间信息，而通过缩放小波的宽度（或或者叫做尺度者叫做尺度）可获得信号的频率特性。

对母小波可获得信号的频率特性。

对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波的系数，这的缩放和平移操作是为了计算小波的系数，这些系数代表小波和局部信号之间的相互关系。

些系数代表小波和局部信号之间的相互关系。

连续小波变换连续小波变换离散小波变换离散小波变换连续小波变换连续小波变换where:

where:

aa缩放因子缩放因子时间平移时间平移注意：

在注意：

在CWTCWT中，中，scalescale和和positionposition是连续变化的是连续变化的CWTCWT的变换过程的变换过程1.1.把小波把小波把小波把小波（t）（t）和原始信号和原始信号和原始信号和原始信号f（t）f（t）的开始部分进行比较的开始部分进行比较的开始部分进行比较的开始部分进行比较2.2.计算系数计算系数计算系数计算系数cc。

该系数表示该部分信号与小波的近似程。

该系数表示该部分信号与小波的近似程度。

系数度。

系数cc的值越高表示信号与小波越相似，因此系的值越高表示信号与小波越相似，因此系的值越高表示信号与小波越相似，因此系的值越高表示信号与小波越相似，因此系数数数数cc可以反映这种波形的相关程度可以反映这种波形的相关程度可以反映这种波形的相关程度可以反映这种波形的相关程度3.3.把小波向右移，距离为把小波向右移，距离为把小波向右移，距离为把小波向右移，距离为kk，得到的小波函数为，得到的小波函数为，得到的小波函数为，得到的小波函数为（t-k）（t-k），然后重复步骤然后重复步骤然后重复步骤然后重复步骤11和和和和22。

再把小波向右移，得到小波。

再把小波向右移，得到小波（t-（t-2k）2k），重复步骤，重复步骤，重复步骤，重复步骤11和和和和22。

按上述步骤一直进行下去，直到。

按上述步骤一直进行下去，直到信号信号信号信号f（t）f（t）结束结束结束结束4.4.扩展小波扩展小波扩展小波扩展小波（t）（t），例如扩展一倍，得到的小波函数为，例如扩展一倍，得到的小波函数为，例如扩展一倍，得到的小波函数为，例如扩展一倍，得到的小波函数为（t/2）（t/2）5.5.重复步骤重复步骤重复步骤重复步骤1414CWTCWT的变换过程图示的变换过程图示CWTCWT小结小结小波的缩放因子与信号频率之间的关系可以这小波的缩放因子与信号频率之间的关系可以这样来理解。

缩放因子小，表示小波比较窄，度样来理解。

缩放因子小，表示小波比较窄，度量的是信号细节，表示频率量的是信号细节，表示频率ww比较高；

相反，比较高；

相反，缩放因子大，表示小波比较宽，度量的是信号缩放因子大，表示小波比较宽，度量的是信号的粗糙程度，表示频率的粗糙程度，表示频率ww比较低。

比较低。

离散小波变换离散小波变换在计算连续小波变换时，实际上也是用离在计算连续小波变换时，实际上也是用离散的数据进行计算的，只是所用的缩放因散的数据进行计算的，只是所用的缩放因子和平移参数比较小而已。

不难想象，连子和平移参数比较小而已。

不难想象，连续小波变换的计算量是惊人的。

续小波变换的计算量是惊人的。

为了解决计算量的问题，缩放因子和平移为了解决计算量的问题，缩放因子和平移参数都选择参数都选择2j（j02j（j0的整数的整数）的倍数。

的倍数。

使用这样的缩放因子和平移参数的小波变使用这样的缩放因子和平移参数的小波变换叫做双尺度小波变换换叫做双尺度小波变换（dyadicwavelet（dyadicwavelettransform）transform），它是离散小波变换，它是离散小波变换（discrete（discretewavelettransformwavelettransform，DWT）DWT）的一种形式。

的一种形式。

离散小波变换定义离散小波变换定义需要强调指出的是，这一离散化都是针对连续需要强调指出的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数和连续平移参数的，而不是针对时的尺度参数和连续平移参数的，而不是针对时间变量间变量tt的。

的。

使用离散小波分析得到的小波系数、缩放因子使用离散小波分析得到的小波系数、缩放因子和时间关系如图所示。

和时间关系如图所示。

图图（a）（a）是是2020世纪世纪4040年代使用年代使用GaborGabor开发的短时傅立叶开发的短时傅立叶变换变换（shorttimeFouriertransform（shorttimeFouriertransform，STFT）STFT）得到的时得到的时间间-频率关系图频率关系图图图（b）（b）是是2020世纪世纪8080年代使用年代使用MorletMorlet开发的小波变换得开发的小波变换得到的时间到的时间-缩放因子缩放因子（反映频率反映频率）关系图。

关系图。

离散小波变换分析图离散小波变换分析图DWTDWT变换方法变换方法执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器该方法是该方法是MallatMallat在在19881988年开发的，叫做年开发的，叫做MallatMallat算法算法这种方法实际上是一种信号的分解方法，在数字信这种方法实际上是一种信号的分解方法，在数字信号处理中称为双通道子带编码号处理中称为双通道子带编码用滤波器执行离散小波变换的概念如图所示用滤波器执行离散小波变换的概念如图所示SS表示原始的输入信号，通过两个互补的滤波器产表示原始的输入信号，通过两个互补的滤波器产生生AA和和DD两个信号两个信号AA表示信号的近似值表示信号的近似值（approximations）（approximations）DD表示信号的细节值表示信号的细节值（detail）（detail）在许多应用中，信号的低频部分是最重要的，而高在许多应用中，信号的低频部分是最重要的，而高频部分起一个频部分起一个“添加剂添加剂”的作用。

的作用。

比如声音，把高频分量去掉之后，听起来声音确实比如声音，把高频分量去掉之后，听起来声音确实是变了，但还能够听清楚说的是什么内容。

相反，是变了，但还能够听清楚说的是什么内容。

相反，如果把低频部分去掉，听起来就莫名其妙。

如果把低频部分去掉，听起来就莫名其妙。

在小波分析中，近似值是大的缩放因子产生的系数，在小波分析中，近似值是大的缩放因子产生的系数，表示信号的低频分量。

而细节值是小的缩放因子产表示信号的低频分量。

而细节值是小的缩放因子产生的系数，表示信号的高频分量。

生的系数，表示信号的高频分量。

双通道滤波过程双通道滤波过程离散小波变换可以被表示成由低通滤波器和高离散小波变换可以被表示成由低通滤波器和高通滤波器组成的一棵树通滤波器组成的一棵树原始信号通过这样的一对滤波器进行的分解叫做一原始信号通过这样的一对滤波器进行的分解叫做一级分解级分解信号的分解过程可以叠代，也就是说可进行多级分信号的分解过程可以叠代，也就是说可进行多级分解。

解。

如果对信号的高频分量不再分解，而对低频分量连如果对信号的高频分量不再分解，而对低频分量连续进行分