第七章图论PPT格式课件下载.ppt
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网络里两个城市间最短通路的问题。
随着科技的发展,图论在解决运筹学、网络理论、信息随着科技的发展,图论在解决运筹学、网络理论、信息论、控制论、博弈论等问题时,发挥了巨大的作用。
论、控制论、博弈论等问题时,发挥了巨大的作用。
第七章图论第七章图论n图的基本概念图的基本概念n路与回路路与回路n图的矩阵表示图的矩阵表示n欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图1、图的定义及表示、图的定义及表示图由结点和连接两个结点之间的连线组成图由结点和连接两个结点之间的连线组成。
连线的长度和。
连线的长度和结点的位置是无关紧要的。
结点的位置是无关紧要的。
几乎每一门可以想象的学科里都有问题可以用图模型来解几乎每一门可以想象的学科里都有问题可以用图模型来解决。
可以用图来表示生态环境里不同物种的竞争;
可以决。
可以用图来表示在组织里谁影响谁,以及用图来表示比赛结果;
旅用图来表示在组织里谁影响谁,以及用图来表示比赛结果;
旅行商问题;
地球着色问题等。
行商问题;
一个简单的例子:
大城市之间的高速公路系统建模:
可以把各个城市看成结点,城市之间存在高速公路,则认可以把各个城市看成结点,城市之间存在高速公路,则认为这两个城市之间有连线,这样可以构成一个简单的图为这两个城市之间有连线,这样可以构成一个简单的图7-1图的基本概念图的基本概念2、图的表示法的表示法三三元元组表表示示G=:
V(G)-非非空空的的结点点集集合合;
E(G)-边集集合合;
G-边集集合合E到到结点点无无序序偶偶(有有序序偶偶)集集合合上上的的函函数。
数。
7-1图的基本概念图的基本概念图可图可简记为简记为G=V(G)=a,b,c,dE(G)=e1,e2,e3,e4,e5,e6G(e1)=(a,b),G(e2)=(a,c),G(e3)=(b,d),G(e4)=(b,c),G(e5)=(d,c),G(e6)=(a,d).左右为同一图形左右为同一图形3、图的一些基本概念的一些基本概念
(1)无向无向边:
与与结点无序偶关点无序偶关联的的边,用,用(a,b)表示表示有向有向边:
与与结点有序偶关点有序偶关联的的边,用,用表示;
表明是从表示;
表明是从a到到b的有向的有向边孤立孤立结点:
点:
无无邻接点的接点的结点点7-1图的基本概念图的基本概念无向边:
无向边:
(a,b),(b,c),(b,d),(c,d),(i,l),(k,l)有向边:
有向边:
(2)无向图:
无向图:
图中每一边都为无向边图中每一边都为无向边有向图:
有向图:
图中每一边都为有向边图中每一边都为有向边混合图:
混合图:
图中既有有向边,也有无向边图中既有有向边,也有无向边平凡图:
平凡图:
仅由一个孤立结点构成的图仅由一个孤立结点构成的图7-1图的基本概念图的基本概念(3)邻接点:
邻接点:
由一条有向边或一条无向边相关联的两结点由一条有向边或一条无向边相关联的两结点邻接边:
邻接边:
关联于同一结点的两条边关联于同一结点的两条边平行边:
平行边:
连接于同一对结点的多条边连接于同一对结点的多条边自回路(环):
自回路(环):
关联于同一结点的一条边(既可看作是有关联于同一结点的一条边(既可看作是有向边,也可作无向边)向边,也可作无向边)7-1图的基本概念图的基本概念(4)结点的度数点的度数图G=V,E中,与中,与结点点v关关联的的边数数为度数,度数,记为deg(v)。
一个一个环的度数的度数为2。
7-1图的基本概念图的基本概念deg(a)=2deg(b)=3deg(c)=2deg(d)=2deg(e)=5(4)结点的度数点的度数在有向在有向图中,定中,定义入度、出度的概念入度、出度的概念入度:
入度:
射入一个射入一个结点的点的边的条数,的条数,记为deg-(v);
出度:
由一个由一个结点射出的点射出的边的条数,的条数,记为deg+(v);
入度与出度之和入度与出度之和为该结点的度数:
点的度数:
deg(v)=deg+(v)+deg-(v)7-1图的基本概念图的基本概念deg+(e)=2,deg-(e)=1,deg(e)=3deg+(f)=1,deg-(f)=2,deg(f)=3deg+(g)=deg-(g)=1,deg(g)=2deg+(h)=deg-(h)=1,deg(h)=2(4)结点的度数点的度数最大度:
最大度:
最小度:
7-1图的基本概念图的基本概念(G)=5(G)=27-1图的基本概念图的基本概念定理定理:
结点度数总和等于边数的两倍结点度数总和等于边数的两倍,即,即:
证明:
每条边关联两个结点证明:
每条边关联两个结点一条边给相关的每个结点的度数为一条边给相关的每个结点的度数为1因此,在图中,结点度数总和等于边数的两倍。
因此,在图中,结点度数总和等于边数的两倍。
7-1图的基本概念图的基本概念定理定理:
度数为奇数的结点必定是偶数个度数为奇数的结点必定是偶数个证明:
明:
设V1、V2分分别为G中奇数度数点集和偶数度数点集,中奇数度数点集和偶数度数点集,则:
定理:
有向有向图中中所有所有结点的入度之和等于所有点的入度之和等于所有结点的出度之和点的出度之和(5)多重多重图:
含有平行含有平行边的的图简单图:
不含有平行不含有平行边和和环的的图完全完全图:
每一每一对结点之点之间都有都有边关关联的的简单图有向完全有向完全图:
完全完全图中每条中每条边任意确定一个方向所得的任意确定一个方向所得的图7-1图的基本概念图的基本概念定理:
n个个结点的无向(有向)完全点的无向(有向)完全图Kn的的边数数为n(n-1)/2证明:
在完全在完全图中,每个中,每个结点的度数点的度数应为n1,则n个个结点的点的度数之和度数之和为n(n-1),因此,因此|E|n(n-1)/2(6)子子图:
7-1图的基本概念图的基本概念生成子生成子图:
包含包含G中所有中所有结点的子点的子图(7)补图:
G是是G的子图,若的子图,若G=,使得,使得EE-E,且且V中仅包含中仅包含E的边所关联的结点(的边所关联的结点(V中无孤立结点),则中无孤立结点),则称称G是是G相对于相对于G的补图的补图7-1图的基本概念图的基本概念图图(c)是图是图(b)相对于图相对于图(a)的补图的补图问:
问:
若若G是是G相对于相对于G的补图,是否一定有的补图,是否一定有G是是G相对于相对于G的的补图?
即补图?
即G和和G互为补图?
互为补图?
不是,补图中不包含孤立结点不是,补图中不包含孤立结点(c)(b)(a)(7)补图:
图图G中由中由G中所有结点和所有能使中所有结点和所有能使G成为完全图的添加边组成为完全图的添加边组成的图是成的图是G相对于完全图的补图相对于完全图的补图,简称为,简称为G的补图的补图,记为,记为7-1图的基本概念图的基本概念(b)(a)和和G一定互为补图一定互为补图图的结点位置和连线长度可任意选择,表示不唯一图的结点位置和连线长度可任意选择,表示不唯一(8)图的同构:
的同构:
G,G=,存在一一,存在一一对应的映射的映射G:
vivi,且,且e(vi,vj)(或(或)是)是G的一条的一条边当当且且仅当当e=(g(vi),g(vj)(或(或)也是)也是G的一条的一条边,称,称G与与G同构,同构,记为GG(a)(b)(a)和和(b)同构同构7-1图的基本概念图的基本概念(c)和和(d)同构同构(c)(d)由同构的定义,易见两图同构必定满足以下条件:
(由同构的定义,易见两图同构必定满足以下条件:
(必要条件必要条件)a、结点数目相等、结点数目相等b、边数相等、边数相等c、度数相同的结点数目相同、度数相同的结点数目相同G与与G同构的充要条件同构的充要条件是:
是:
a、结点一一对应、结点一一对应b、边一一对应、边一一对应c、保持关联关系、保持关联关系以上三个条件并以上三个条件并不是两图同构的不是两图同构的充分条件,如:
充分条件,如:
(a)(b)7-1图的基本概念图的基本概念第七章图论第七章图论n图的基本概念图的基本概念n路与回路路与回路n图的矩阵表示图的矩阵表示n欧拉图与哈密尔顿图欧拉图与哈密尔顿图7-2路与回路路与回路回路:
回路:
起点和终点相等的路起点和终点相等的路迹:
迹:
所有的边都不相同的路所有的边都不相同的路通路:
通路:
所有的结点都不相同的路所有的结点都不相同的路圈:
圈:
除除v0=vn外其余结点都不相同的路外其余结点都不相同的路上图中有:
路上图中有:
路v1e2v3e3v2e3v3e4v2e6v5e7v3;
迹迹v5e8v4e5v2e6v5e7v3e4v2;
通路通路v4e8v5e6v2e1v1e2v3;
圈圈v2e1v1e2v3e7v5e6v21、路的基本概念:
、路的基本概念:
路:
图G=,设v0,v1,vnV,e1,e2,enE,其中其中ei是关是关联于于结点点vi-1,vi的的边,交替序列,交替序列设v0e1v1e2envn称为称为联结联结v0到到vn的路;
的路;
v0,vn分别称为路的起点和终点分别称为路的起点和终点7-2路与回路路与回路定理定理:
G=具有具有n个个结点,如果从点,如果从结点点vj到到结点点vk存在一存在一条路条路,则此两此两结点点间必存在一条必存在一条边不多于不多于n-1的路的路推推论:
G=具有具有n个个结点,如果从点,如果从结点点vj到到结点点vk存在一存在一条路条路,则此两此两结点点间必存在一条必存在一条边不多于不多于n-1的通路的通路证明:
设结点点vj到到vk的路上的的路上的结点序列点序列为vjvivk,结点序列中点序列中结点的个数点的个数为L+1,则这条路中有条路中有L条条边。
若。
若Ln-1,则结点序点序列中必出列中必出现重复重复结点,因而可去除重复点,因而可去除重复结点之点之间的的边,得到的,得到的仍是仍是联结vi到到vk的路。
依此的路。
依此类推,必可得到推,必可得到边不多于不多于n-1的路的路7-2路与回路路与回路2、无向图的连通性:
、无向图的连通性:
在无向图在无向图G中,若结点中,若结点u和和v之间存在一条路,则称之间存在一条路,则称u和和v是是连通的连通的。
结点之间的连通性是结点集上的等价关系结点之间的连通性是结点集上的等价关系。
自反性:
v和和v是连通的是连通的对称性:
若对称性:
若u和和v连通,则连通,则v和和u必定也是连通的必定也是连通的传递性:
传递性:
u和和v连通,连通,v和和w连通,则连通,则u和和w中也存在路,中也存在路,是连通的是连通的7-2路与回路路与回路2、无向图的连通性:
连通性对应的等价关系给出若干等价类,把结点集连通性对应的等价关系给出若干等价类,把结点集V划分为划分为V1,V2,Vm,使得两个结点,使得两个结点vi和和vj是连通的,当且仅当他们同属于是连通的,当且仅当他们同属于同一个同一个Vi。
称子图。
称子图G(V1),G(V2),G(Vm)为图为图G的的连通分支连通分支。
无向。
无向图图G的一个连通分支为的一个连通分支为G的的一个极大连通子图一个极大连通子图。
连通分支数:
W(G)连通图:
连通图:
只有一个连通分支的图。
其中的只有一个连通分支的图。
其中的任两个结点都连通任两个结点都连通连通图连通图三个连通分支的非连通图三个连通分支的
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