第10课大学固体物理pptPPT资料.ppt
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解这个多电子系统是不可能的解这个多电子系统是不可能的解这个多电子系统是不可能的解这个多电子系统是不可能的!
能带理论(单电子近似理论)能带理论(单电子近似理论)能带理论(单电子近似理论)能带理论(单电子近似理论)把每个电子看成是独立的在一个等效势场中的运动!
把每个电子看成是独立的在一个等效势场中的运动!
多粒子体系多粒子体系多粒子体系多粒子体系多电子体系多电子体系多电子体系多电子体系单电子近似单电子近似单电子近似单电子近似能带理论能带理论能带理论能带理论是目前研究固体中电子运动的一个主要理论基础!
是目前研究固体中电子运动的一个主要理论基础!
-e(Za-Z)-eZeZeZaa孤立原子草图孤立原子草图孤立原子草图孤立原子草图在在在在金属中,原子核和核芯电子仍与孤立原子时相同金属中,原子核和核芯电子仍与孤立原子时相同金属中,原子核和核芯电子仍与孤立原子时相同金属中,原子核和核芯电子仍与孤立原子时相同价电子却离开该原子形成电子气价电子却离开该原子形成电子气价电子却离开该原子形成电子气价电子却离开该原子形成电子气原子核原子核原子核原子核芯芯芯芯电子电子电子电子价电子价电子价电子价电子原子核原子核原子核原子核芯芯芯芯电子电子电子电子自由电子自由电子自由电子自由电子离子实离子实离子实离子实-e(Za-Z)-e(Za-Z)-e(Za-Z)-e(Za-Z)-e(Za-Z)eZeZaaeZeZaaeZeZaaeZeZaaeZeZaa第一节第一节布洛赫(布洛赫(Bloch)定理定理一、能带理论的基本近似一、能带理论的基本近似晶体可以看成是由外壳层电子(价电子)与内壳层晶体可以看成是由外壳层电子(价电子)与内壳层电子(芯电子)和原子核组成的离子实构成!
电子(芯电子)和原子核组成的离子实构成!
是是时间的函数!
时间的函数!
晶体的定态薛定谔方程:
晶体的哈密顿晶体的哈密顿算符算符由由一切可能形式的能量算符之和构成!
一切可能形式的能量算符之和构成!
包括包括:
电子动能电子动能离子动能离子动能电子电子-电子相互作用能电子相互作用能离子离子-离子相互作用能离子相互作用能电子电子-离子相互作用能离子相互作用能离子、电子在外场中的势能离子、电子在外场中的势能多粒子体系多粒子体系多电子体系多电子体系单电子体系单电子体系周期势场中单电子态薛定谔方程:
周期势场中单电子态薛定谔方程:
单电子的本征态波函数单电子的本征态波函数单电子本征态能量单电子本征态能量布洛赫电子布洛赫电子:
这种无相互作用并在周期性势场中这种无相互作用并在周期性势场中运动的电子!
运动的电子!
布洛赫定理内容布洛赫定理内容二、二、BlochBloch定理证明:
定理证明:
当当势场具有晶格周期性时势场具有晶格周期性时,波动方程波动方程的解的解具有如下性质:
具有如下性质:
物理意义物理意义物理意义物理意义:
当当电子电子平移晶格平移晶格矢量矢量时时单电子态波函数只增加了位相因子单电子态波函数只增加了位相因子布布洛洛赫赫定定理理布洛赫函数:
被周期函数所调幅的平面波(布洛赫波)布洛赫函数:
被周期函数所调幅的平面波(布洛赫波)布洛赫函数是平面波与周期函数的乘积!
布洛赫函数是平面波与周期函数的乘积!
根据布洛赫定理根据布洛赫定理,波函数可表示为波函数可表示为:
引入平移对称操作算符引入平移对称操作算符TT11,TT22,TT33BlochBloch定理证明:
它们的定义是:
对于任意函数,有:
其中其中为晶格三个矢量为晶格三个矢量任何两个平移算符是相互对易的(与次序无关)任何两个平移算符是相互对易的(与次序无关)平移算符与晶体中布洛赫电子的哈密顿量(具平移算符与晶体中布洛赫电子的哈密顿量(具有晶格周期性)可以对易有晶格周期性)可以对易两个小结论:
两个小结论:
证明:
任何两个平移算符是相互对易的(与次序无关)任何两个平移算符是相互对易的(与次序无关)证明:
平移算符与晶体中布洛赫电子的哈密顿量(具平移算符与晶体中布洛赫电子的哈密顿量(具有晶格周期性)可以对易有晶格周期性)可以对易:
拉普拉斯算子(微商算符):
只表示相应的:
只表示相应的中变量中变量x,y,z改变一个常数值改变一个常数值由量子力学的基本定理:
由量子力学的基本定理:
两个算符具有完全的共同本征函数系的充分条件两个算符具有完全的共同本征函数系的充分条件:
这两个算符可以对易(这两个算符可以对易(与与有共同的本征函数系)有共同的本征函数系)对于此本征函数系的任意本征态,有:
对于此本征函数系的任意本征态,有:
为三个基本算符的本征值为三个基本算符的本征值为确定本征值为确定本征值引入周期性边界条件引入周期性边界条件波恩波恩-卡曼边界条件卡曼边界条件(Born-VonKarman)其中其中分别表示分别表示沿晶格基矢沿晶格基矢方向的原胞数目方向的原胞数目Born-VonKarman边界条件对作了边界条件对作了严格的限制:
严格的限制:
=l11是任意整数是任意整数其中其中l1,l2,l3为整数为整数如果引入矢量如果引入矢量:
根据倒格子基矢的定义:
(根据倒格子基矢的定义:
(i,j=1,2,3)利用利用?
代入代入:
由此得证:
三、波矢三、波矢k的意义的意义不同的不同的k对应着电对应着电子不同的状态!
子不同的状态!
布洛赫布洛赫函数的波矢函数的波矢描述电子状态的量子数描述电子状态的量子数是自由电子动是自由电子动量的本征值量的本征值若晶格常数为若晶格常数为a的一维晶体中,电子的波函数为:
的一维晶体中,电子的波函数为:
试求电子在该状态下的波矢试求电子在该状态下的波矢k?
解:
根据布洛赫定理解:
根据布洛赫定理,波函数可表示为波函数可表示为:
在一维周期势场中运动的电子波函数满足:
算符:
在量子力学中,所谓微观体系有确定的状态在量子力学中,所谓微观体系有确定的状态是指:
是指:
各种力学量取所有可能值的几率完全各种力学量取所有可能值的几率完全确定,引入新的数学工具确定,引入新的数学工具算符算符可反映以上所述的特点可反映以上所述的特点通俗的讲,通俗的讲,算符就是一种运算符号算符就是一种运算符号。
若某一物理量若某一物理量A的算符的算符A作用于某一状态函数作用于某一状态函数$,等等于某一常数于某一常数a乘以乘以$,即即A$=a$
(1)。
对对$所描述的这个微观体系的状态,物理量所描述的这个微观体系的状态,物理量A具有确具有确定的数值定的数值a,a称为物理量算符称为物理量算符A的本征值,的本征值,$称为称为A的本征态或本征波函数。
(的本征态或本征波函数。
(1)式称为)式称为A的本征的本征方程。
方程。
本征波函数本征波函数课堂测试课堂测试1.写出周期势场中单电子态薛定谔方程写出周期势场中单电子态薛定谔方程(2分)分)2.写出写出布洛赫定理数学表达式布洛赫定理数学表达式布洛赫定理数学表达式布洛赫定理数学表达式(22分)分)分)分)3.3.证明证明证明证明(33分)分)分)分)4.4.最后例题最后例题最后例题最后例题(55分)分)分)分)
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