弹性力学-4-平面问题的极坐标解答PPT格式课件下载.ppt
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基本理论,要求理解:
11、极坐标系求解的适用对象;
、极坐标系求解的适用对象;
22、极坐标系下基本未知函数的表示方法、极坐标系下基本未知函数的表示方法及与直角坐标表示法的异同;
及与直角坐标表示法的异同;
33、极坐标系下基本方程和按应力求解方、极坐标系下基本方程和按应力求解方法,并比较与直角坐标系的基本方程和解法法,并比较与直角坐标系的基本方程和解法的异同;
的异同;
本章学习指南本章学习指南2022/11/6q极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程q极坐标中的几何方程与物理方程极坐标中的几何方程与物理方程q极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程q应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式q轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移q圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力q圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中q半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力q半平面体在边界上受分布力半平面体在边界上受分布力主要内容主要内容2022/11/6绪论绪论采用极坐标系求解的优点采用极坐标系求解的优点:
对于由由径向线或圆弧线所围成对于由由径向线或圆弧线所围成的圆形、圆环形、楔形、扇形等弹性体,由于用极坐标表示其的圆形、圆环形、楔形、扇形等弹性体,由于用极坐标表示其边界线非常方便,从而使得边界条件的表示和基本方程的求解边界线非常方便,从而使得边界条件的表示和基本方程的求解得到很大的简化,宜用极坐标求解。
得到很大的简化,宜用极坐标求解。
极坐标系中任一点用径向坐标极坐标系中任一点用径向坐标rr和和环向坐标环向坐标ff表示,与直角坐标系相比:
表示,与直角坐标系相比:
相同点:
均为正交坐标系;
不同点:
直角坐标系中两坐标线均直角坐标系中两坐标线均为直线,有固定方向,量纲均为为直线,有固定方向,量纲均为L;
而而极坐标系中径向坐标线为直线,环向坐极坐标系中径向坐标线为直线,环向坐标线则为圆弧曲线,不同点有不同方向,标线则为圆弧曲线,不同点有不同方向,量纲分别为量纲分别为L和一。
和一。
上述区别会引起弹性力学基本方程的差异。
2022/11/6绪论绪论正负号规定:
正负号规定:
正坐标面上以沿正坐标方向为正,负向为负;
负坐标面上以沿负坐标方向为正,正向为负;
径向及环向的体力分量分别用径向及环向的体力分量分别用frr和和fjj表示,以沿正坐标方向表示,以沿正坐标方向为正,负向为负。
为正,负向为负。
应力分量的定义:
选取由两条径向线和两条环向选取由两条径向线和两条环向线所围成的微分体线所围成的微分体PACB,厚度为厚度为11。
沿。
沿rr方向的正应力称为径向正方向的正应力称为径向正应力,用应力,用ssrr表示;
沿表示;
沿jj方向的正应方向的正应力称为环向正应力或切向正应力,力称为环向正应力或切向正应力,用用ssjj表示;
切应力用表示;
切应力用ttrjrj及及ttjrjr表示表示2022/11/64.1极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程考虑问题的基础知识:
平面上的静力学知识考虑问题的基础知识:
平面上的静力学知识分析问题方法:
平面力系和力矩的平衡条件分析问题方法:
平面力系和力矩的平衡条件分析手段:
微分单元体(微分)分析手段:
微分单元体(微分)意义:
平面区域内任一点的微分体的平衡条件意义:
平面区域内任一点的微分体的平衡条件2022/11/6极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程径向面径向面PB和和AC的面积不相同,的面积不相同,分别为分别为rrdf1f1和和(r+r+drr)dff11,环环向面向面PA和和BC的面积均为的面积均为drr11,但但两者不平行。
两者不平行。
与直角坐标中相似,利用与直角坐标中相似,利用级数展开,可求出各微面级数展开,可求出各微面上的应力。
上的应力。
力矩平衡条件:
由由通过中心点并平行于通过中心点并平行于Z轴的直轴的直线为转轴线为转轴,根据力矩的平衡条件,根据力矩的平衡条件,可推导出可推导出“切应力互等定理切应力互等定理”,即,即2022/11/6极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程力系平衡条件:
力系平衡条件:
将微分体所受各力分别投影将微分体所受各力分别投影到到微分体中心的径向轴和环向微分体中心的径向轴和环向轴轴上,可分别列出径向和环向上,可分别列出径向和环向的平面平衡方程,即的平面平衡方程,即2022/11/6v径向的平衡方程PB及AC的面积分别为:
PA及BC的面积为:
2022/11/6平衡微分方程:
注意事项平衡微分方程:
注意事项列平衡条件时,应力和体力应分别乘以其作用面积和体积,才能得到合力;
应用了两个基本假设:
连续性假设和小变形假设,这也是其适用的条件;
平衡微分方程表示了平面区域内任一点的平衡条件平面应力问题和平面应变问题的平衡微分方程相同2022/11/6q极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程q极坐标中的几何方程与物理方程极坐标中的几何方程与物理方程q极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程q应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式q轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移q圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力q圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中q半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力q半平面体在边界上受分布力半平面体在边界上受分布力主要内容主要内容2022/11/64.2极坐标中的几何方程与物理方程极坐标中的几何方程与物理方程极坐标系中的应变分量:
径向线应变er:
径向线段的线应变环向线应变ej:
环向线段的线应变切应变grj:
径向和环向两线段间直角的改变极坐标系中的位移分量:
径向位移ur:
径向方向的位移环向位移uj:
环向方向的位移为了推导方便,先分别考虑只有径向位移和只有环向位移的情形,然后根据弹性力学的叠加原理,得到径向和环向位移都发生时极坐标系中的几何方程。
2022/11/6极坐标中的几何方程极坐标中的几何方程首先,假定只有径向位移,图中P、A和B点的位移分别为:
径向线段PA的线应变和转角分别为环向线段PB的线应变和转角分别为切应变为2022/11/6极坐标中的几何方程极坐标中的几何方程其次,假定只有环向位移,图中P、A和B点的位移分别为:
径向线段PA的线应变和转角分别为环向线段PB的线应变和转角分别为切应变为2022/11/6极坐标中的几何方程极坐标中的几何方程根据叠加原理,当同时发生径向和环向位移时,极坐标中的几何方程为上述两种情形结果的叠加:
(4-2)应用了两个基本假设:
2022/11/6极坐标中的物理方程极坐标中的物理方程由于本构方程是弹性体弹性参数的反映,与坐标系的选择无关。
对于直角坐标系和极坐标系,因为它们都是正交坐标系,因此两坐标系下的物理方程具有相同的形式。
物理方程:
应力与应变的关系对于理想弹性体,平面应力问题的物理方程2022/11/6极坐标中的物理方程极坐标中的物理方程对于理想弹性体,将直角坐标系的物理方程中下标作相应的替换,可得极坐标中平面应力问题的物理方程如下:
将平面应力问题物理方程中的E和m作如下替换,可得平面应变问题的物理方程(4-4)(4-3)2022/11/6极坐标中的边界条件极坐标中的边界条件1、对于由径向线和环向线所围成的弹性体,其边界面通常均为坐标面,即r面(r为常数)和f面(f为常数),使边界的表示变得十分简单,所以边界条件也十分简单。
2、对于应力边界条件,通常给定径向和切向面力值,可直接与对应的应力分量建立等式(注意符号规定)极坐标系中边界条件的处理:
应力边界条件:
2022/11/6极坐标中的边界条件极坐标中的边界条件3、对于位移边界条件,所给定的约束条件通常是径向位移值和环向位移值,可直接由ur和uj建立等式2022/11/6例题例题例例11、写出习题、写出习题4499的应力边界条件的应力边界条件例例22、写出习题、写出习题441212的应力边界条件的应力边界条件在在y轴正半轴上(正轴正半轴上(正ff面):
面):
在在y轴负半轴上(负轴负半轴上(负ff面):
在在左边界左边界上(正上(正ff面):
在在右边界右边界上(负上(负ff面):
2022/11/6q极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程q极坐标中的几何方程与物理方程极坐标中的几何方程与物理方程q极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程q应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式q轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移q圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力q圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中q半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力q半平面体在边界上受分布力半平面体在边界上受分布力主要内容主要内容2022/11/64.3极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程极坐标系中的一切公式,可以如同直角坐标系中一样从极坐标系中的一切公式,可以如同直角坐标系中一样从头导出,但是也可以简化公式的推导,直接通过坐标变换头导出,但是也可以简化公式的推导,直接通过坐标变换关系,将直角坐标系中的各种物理量和公式转换到极坐标关系,将直角坐标系中的各种物理量和公式转换到极坐标系中。
系中。
变换变换11:
坐标变量的变换:
反之:
2022/11/6极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程变换变换2-2-函数的变换:
函数的变换:
只需将上述坐标变换式(只需将上述坐标变换式(aa)或(或(bb)代入函代入函数即可。
数即可。
变换变换33位移的变换:
位移的变换:
如图,通过投影的方法,可得位移的坐标变如图,通过投影的方法,可得位移的坐标变换式如下:
换式如下:
2022/11/6极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程变换变换44导数的变换:
导数的变换:
由坐标变量的变换由坐标变量的变换,可得导数的变可得导数的变换式换式2022/11/6极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程变换变换55应力函数的一阶导数的变换:
由复合函数的求导应力函数的一阶导数的变换:
由复合函数的求导法则法则变换变换66应力函数的二阶导数的变换可从一阶导数得出,应力函数的二阶导数的变换可从一阶导数得出,因为:
因为:
同理,即可得出教材中的同理,即可得出教材中的(a)-a)-(cc)式)式2022/11/6极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程(4-5)应力分量表达式应力分量表达式由左图可知,当由左图可知,当x轴和轴和y轴分别转轴分别转到到rr轴和轴和jj轴轴时,有时,有j=0j=0,由直角由直角坐标中应力分量的表达式,当不计坐标中应力分量的表达式,当不计体力时,极坐标中应力分量可由应体力时,极坐标中应力分量可由应力函数表达如下:
力函数表达如下:
2022/11/6极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程将教材中的将教材中的(a)a)和和(bb)式相加,得到应力函数的拉普拉式相加,得到应力函数的拉普拉斯算
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