常微分方程数值解法PPT格式课件下载.ppt

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4.4.什么是微分方程的数值解什么是微分方程的数值解?

虽然求解微分方程有许多解析方法,但解析方法只能够求解一些特殊类型的方程,从实际意义上来讲我们更关心的是某些特定的自变量在某一个定义范围内的一系列离散点一系列离散点上的近似值.寻找数值解的过程称为数值求解微分方程。

寻找数值解的过程称为数值求解微分方程。

把这样一组近似解称为把这样一组近似解称为微分方程在该范围内的微分方程在该范围内的数值解数值解在大量的实际方程中出现的函数起码的连续性都无法保证，更何况要求阶的导数求解数值解很多微分方程很多微分方程根本求不到根本求不到问题的解析解！

问题的解析解！

重要手段。

常微分方程的数值解法常用来求近似解根据提供的算法通过计算机通过计算机便捷地实现便捷地实现5.常微分方程数值解法的特点常微分方程数值解法的特点数值解法得到的近似数值解法得到的近似解解（含误差含误差）是一个是一个离散的函数表离散的函数表.本章主要讨论一阶常微方程的初值问题6.基本知识基本知识其中f（x,y）是已知函数，（1.2）是定解条件也称为初值条件。

初值条件。

各各种种数数值值解解法法则称f（x,y）对y满足李普希兹条件，L称为Lipschitz常数.常微分方程的理论指出：

常微分方程的理论指出：

当f（x,y）定义在区域G=（axb,y）若存在正的常数L使：

就可保证方程解的存在唯一性就可保证方程解的存在唯一性（Lipschitz）条件条件我们以下的讨论，都在满足上述条件下进行.若f（x,y）在区域G连续，关于y一阶常微分方程的初值问题的解存在且唯一问题的解存在且唯一.满足李普希兹满足李普希兹满足李普希兹满足李普希兹条件条件条件条件一阶常微分方程组常表述为：

方程组方程组方程组方程组初值条件初值条件初值条件初值条件写成向量形式为高阶常微分方程定解问题如二阶定解问题：

也就解决了高阶方程的定解问题也就解决了高阶方程的定解问题.这些解法都可以写成向量形式用于一阶常微分方程组的初值问题用于一阶常微分方程组的初值问题.简单的数值方法与基本概念简单的数值方法与基本概念1.简单简单欧拉法（欧拉法（Euler）2后退的欧拉法后退的欧拉法3梯形法梯形法4改进改进EulerEuler法法2、初值问题的数值解法、初值问题的数值解法单步法单步法1.简单的欧拉简单的欧拉（Euler）方法方法考虑模型：

在精度要求不高时通过欧拉方法的讨论弄清常微方程初值弄清常微方程初值弄清常微方程初值弄清常微方程初值问题数值解法的一问题数值解法的一问题数值解法的一问题数值解法的一些基本概念和构造些基本概念和构造些基本概念和构造些基本概念和构造方法的思路方法的思路方法的思路方法的思路.欧欧拉拉方方法法最简单而直观最简单而直观最简单而直观最简单而直观实用方法实用方法实用方法实用方法2.欧拉方法的导出欧拉方法的导出把区间a,b分为n个小区间步长为要计算出解函数y（x）在一系列节点节点处的近似值NN等分等分对微分方程（1.1）两端从进行积分右端积分用右端积分用左矩形数值左矩形数值求积公式求积公式得x0x1亦亦称为称为欧拉折线法欧拉折线法/*Eulerspolygonalarcmethod*/每步计算只用到或用向前差商近似导数依上述公式逐次计算可得：

例题3.欧拉公式有明显的几何意义依此类推得到一折线故也称Euler为单步法。

公式右端只含有已知项所以又称为显格式的单步法。

也称欧拉折线法.就是用这条折线近似地代替曲线欧拉方法欧拉方法从上述几何意义上得知，由Euler法所得的折线明显偏离了积分曲线，可见此方法非常粗糙。

非常粗糙。

4.欧拉法的局部截断误差：

在假设第i步计算是精确的前提下，考虑截断误差称为局部截断误差/*localtruncationerror*/。

若某算法的局部截断误差为O（hp+1），则称该算法有p阶精度。

Ri的的主项主项/*leadingterm*/欧拉法的局部截断误差：

欧拉法具有1阶精度。

在假设yi=y（xi），即第i步计算是精确的前提下，考虑的截断误差Ri=y（xi+1）yi+1称为局部截断误差/*localtruncationerror*/。

如果单步差分公式的局部截断误差为O（hp+1）,则称该公式为pp阶方法阶方法.这里p为非负整数.显然,阶数越高,方法的精度越高.Taylor展开式,一元函数的Taylor展开式为:

若某算法的局部截断误差为若某算法的局部截断误差为O（hp+1），则称该算法有则称该算法有p阶精度。

阶精度。

Ri的的主项主项/*leadingterm*/5.欧拉公式的改进欧拉公式的改进：

隐式欧拉法隐式欧拉法/*implicitEulermethod*/向后差商近似导数向后差商近似导数x0x1）（,（）（1101xyxfhyxy+）1,.,0（）,（111=+=+niyxfhyyiiii由于未知数由于未知数yi+1同时出现在等式的两边，不能直接得到，故同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为称为隐式隐式/*implicit*/欧拉公式，而前者称为欧拉公式，而前者称为显式显式/*explicit*/欧拉公式。

欧拉公式。

一般先用显式计算一个初值，再一般先用显式计算一个初值，再迭代迭代求解。

求解。

隐式隐式欧拉法的局部截断误差：

欧拉法的局部截断误差：

即即隐式欧拉公式具有隐式欧拉公式具有1阶精度。

6.梯形公式梯形公式/*trapezoidformula*/显、隐式两种算法的显、隐式两种算法的平均平均注：

注：

的确有局部截断误差的确有局部截断误差，即梯形公式具有即梯形公式具有2阶精度，比欧拉方法有了进步。

阶精度，比欧拉方法有了进步。

但注意到该公式是但注意到该公式是隐式隐式公式，计算时不得不用到公式，计算时不得不用到迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。

迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。

中点欧拉公式中点欧拉公式/*midpointformula*/中心差商近似导数中心差商近似导数x0x2x1假设假设，则可以导出，则可以导出即中点公式具有即中点公式具有2阶精度。

需要需要2个初值个初值y0和和y1来启动递推来启动递推过程，这样的算法称为过程，这样的算法称为双步法双步法/*double-stepmethod*/，而前面的三种算法都是而前面的三种算法都是单步法单步法/*single-stepmethod*/。

方方法法显式欧拉显式欧拉隐式欧拉隐式欧拉梯形公式梯形公式中点公式中点公式简单简单精度低精度低稳定性最好稳定性最好精度低精度低,计算量大计算量大精度提高精度提高计算量大计算量大精度提高精度提高,显式显式多多一个初值一个初值,可能影响精度可能影响精度改进欧拉法改进欧拉法/*modifiedEulersmethod*/Step1:

先用先用显式显式欧拉公式作欧拉公式作预测预测，算出，算出）,（1iiiiyxfhyy+=+Step2:

再将再将代入代入隐式隐式梯形公式的右边作梯形公式的右边作校正校正，得到，得到1+iy）,（）,（2111+=iiiiiiyxfyxfhyy注：

此法亦称为此法亦称为预测预测-校正法校正法/*predictor-correctormethod*/。

可以证明该算法具有可以证明该算法具有2阶精度，同时可以看到它是个阶精度，同时可以看到它是个单单步步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单简单。

后面将。

后面将看到，它的看到，它的稳定性高稳定性高于显式欧拉法。

于显式欧拉法。

3龙格龙格-库塔法库塔法/*Runge-KuttaMethod*/考察改进的欧拉法，可以将其改写为：

考察改进的欧拉法，可以将其改写为：

斜率斜率一定取一定取K1K2的的平均值平均值吗？

吗？

步长一定是一个步长一定是一个h吗吗？

单步递推法的单步递推法的基本思想基本思想是从是从（xi,yi）点出发，以点出发，以某一斜某一斜率率沿直线达到沿直线达到（xi+1,yi+1）点。

欧拉法及其各种变形所点。

欧拉法及其各种变形所能达到的最高精度为能达到的最高精度为2阶阶。

建立高精度的单步递推格式。

首先希望能确定系数首先希望能确定系数1、2、p，使得到的算法格式有使得到的算法格式有2阶阶精度，即在精度，即在的前提假设下，使得的前提假设下，使得Step1:

将将K2在在（xi,yi）点作点作Taylor展开展开将将改进欧拉法推广为：

改进欧拉法推广为：

）,（）,（12122111phKyphxfKyxfKKKhyyiiiiii+=+=+Step2:

将将K2代入第代入第1式，得到式，得到Step3:

将将yi+1与与y（xi+1）在在xi点点的的泰勒泰勒展开作比较展开作比较要求要求，则必须有：

，则必须有：

这里有这里有个未知个未知数，数，个方程。

个方程。

32存在存在无穷多个解无穷多个解。

所有满足上式的格式统称为。

所有满足上式的格式统称为2阶龙格阶龙格-库库塔格式塔格式。

注意到，注意到，就是改进的欧拉法。

就是改进的欧拉法。

Q:

为获得更高的精度，应该如何进一步推广？

其中其中i（i=1,m），i（i=2,m）和和ij（i=2,m;

j=1,i1）均为待均为待定系数，确定这些系数定系数，确定这些系数的步骤与前面相似。

的步骤与前面相似。

）.,（.）,（）,（）,（.1122112321313312122122111+=+=+=+=mmmmmmimiiiiiimmiihKhKhKyhxfKhKhKyhxfKhKyhxfKyxfKKKKhyy最常用为四级最常用为四级4阶阶经典龙格经典龙格-库塔法库塔法/*ClassicalRunge-KuttaMethod*/：

龙格龙格-库塔法库塔法的主要运算在于计算的主要运算在于计算Ki的值，即计算的值，即计算f的的值。

值。

Butcher于于1965年给出了计算量与可达到的最高精年给出了计算量与可达到的最高精度阶数的关系：

度阶数的关系：

753可可达到的最高精度达到的最高精度642每步须算每步须算Ki的的个数个数由于龙格由于龙格-库塔法的导出基于泰勒展开，故精度主要受库塔法的导出基于泰勒展开，故精度主要受解函数的光滑性影响。

对于光滑性不太好的解，最好解函数的光滑性影响。

对于光滑性不太好的解，最好采用采用低阶算法