复变函数第一章优质PPT.ppt
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求复数的实部,虚部和模.解:
例5:
例6注:
辐角:
向量z与实轴正向之间的夹角称为复数z的辐角,定义为:
-主值主辐角:
例7:
求解:
非零复数的三角形式与指数形式为:
-三角形式-指数形式-代数形式例8:
把复数由于例9:
将复数解:
解:
所以利用复数的指数形式作乘除法:
则注:
4、复数的乘幂与方根乘幂方根k=0,1,2,n-1可以看到,k=0,1,2,n-1时,可得n个不同的值,即z有n个n次方根,其模相同,辐角相差一个常数,均匀分布于一个圆上。
注1:
注2:
例10解方程解:
解:
5、复数在几何上的应用
(1)曲线的复数方程例11试用复数表示圆的方程:
其中,a,b,c,d是实常数。
利用11、平面点集的几个基本概念、平面点集的几个基本概念22、区域与约当曲线、区域与约当曲线第二节第二节复平面上的点集复平面上的点集一一基本概念:
2.聚点聚点:
孤立点孤立点:
外点外点:
内点内点:
边界点边界点:
集E的全部边界点所组成的集合称为E的边界,记为3.开集开集:
所有点为内点的集合;
闭集闭集:
或者没有聚点,或者所有聚点都属于它;
有界集有界集:
例例4.聚点聚点(极限点极限点)的等价说法的等价说法二二.区域与区域与Jordan曲线曲线如果平面点集如果平面点集D满足以下两个条件满足以下两个条件,则称则称它为一个它为一个区域区域.
(1)D是一个是一个开集开集;
(2)D中任何两点都可以用完全属于中任何两点都可以用完全属于D的一条折的一条折线连结起来线连结起来.1.区域区域区域区域D与它的边界一起构成与它的边界一起构成闭区域闭区域,记为记为定义定义1.5定义定义1.6以上基本概念以上基本概念的图示的图示区域区域邻域邻域边界点边界点边界边界
(1)圆环域圆环域:
(2)上半平面上半平面:
(3)角形域角形域:
(4)带形域带形域:
例例2、Jordan曲线连续曲线连续曲线C:
平面曲线的复数表示平面曲线的复数表示:
Jordan曲线曲线(简单曲线简单曲线):
没有重点的连续曲线没有重点的连续曲线C称为称为Jordan曲线曲线(简单曲线简单曲线).).换句话说换句话说,简单曲线自身不相交简单曲线自身不相交.例例解解判断下列曲线是否为简单曲线判断下列曲线是否为简单曲线?
答答案案简简单单闭闭简简单单不不闭闭不不简简单单闭闭不不简简单单不不闭闭Jordan定理定理任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地将复平面唯一地分成三个互不相交的点集分成三个互不相交的点集.内内部部外外部部边边界界
(1)彼此不交彼此不交
(2)E(C)是无界区域是无界区域(3)I(C)是有界区域是有界区域(4)若简单折线若简单折线T的一的一个端点属于个端点属于I(C),另一另一端点属于端点属于E(C),则则T必必与与C相交相交.3.曲线长度曲线长度:
定义定义1.8设连续弧设连续弧AB的参数方程为的参数方程为并且考虑弧并且考虑弧AB上对应的点列上对应的点列4光滑曲线光滑曲线:
由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线称为按段光滑曲线.注注:
按段光滑曲线是可求长的按段光滑曲线是可求长的,但简单曲线不一定可求长但简单曲线不一定可求长.复平面上的一个区域复平面上的一个区域D,如果在其中任作一如果在其中任作一条简单闭曲线条简单闭曲线,而曲线的内部总属于而曲线的内部总属于D,就称为就称为单连通域单连通域.一个区域如果不是单连通域一个区域如果不是单连通域,就称为就称为多连通域多连通域.单连通域单连通域多连通域多连通域5单连通区域满足下列条件的点集是什么满足下列条件的点集是什么,如果是区域如果是区域,指出是单连通域还是多连通域指出是单连通域还是多连通域?
例例
(1)单连通域单连通域.是多连通域是多连通域.不是区域不是区域.第三节第三节复变函数复变函数11复变函数的概念复变函数的概念22极限与连续极限与连续例例11解解解:
这一映射可以看作是下列两个映射的复合:
是关于实轴的对称映射,而映射例例2:
考虑映射把都作在同一个复平面上。
显然,映射把z映射成,其辐角与z的辐角相同,模为满足我们把中心在原点、半径为1的圆称为单位圆。
于是,映射称为关于单位圆的对称映射,对应的点称为关于单位圆的互相对称点。
w=1/z把原点以外的任何点映射为另外一个点。
把z及w表示在不同的扩充复平面,并规定则我们得到一个扩充z平面到扩充w平面的一个双射。
定理1.2证明2.复变函数极限与其实部和虚部极限关系复变函数极限与其实部和虚部极限关系:
例例33证证(一一)根据定理根据定理1.2可知可知,证证(二二)例例44证证根据定理根据定理1.2可知可知,3复变函数的连续性定理1.3定义1.17例54复变函数连续的性质定理1.7定义1.181复球面2扩充复球面上的几个概念第四节第四节复球面与无穷远点复球面与无穷远点二二.扩充复平面上的几个概念扩充复平面上的几个概念1无穷远点的邻域:
无穷远点的去心邻域:
注2在扩充复平面上单连通区域:
解例1注考虑一个无界区域是否为单连通,应看在通常的复平面上还是扩充复平面上3广义极限与广义连续广义极限广义连续例2证明由于典型例题其几何意义是三角形任意一边的长不小于其几何意义是三角形任意一边的长不小于其它两边边长之差的绝对值其它两边边长之差的绝对值.解解解解解解例例66满足下列条件的点组成何种图形满足下列条件的点组成何种图形?
是不是区是不是区域域?
若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域.解解是实数轴是实数轴,不是区域不是区域.是以是以为界的带形单连通区为界的带形单连通区域域.解解是以是以为焦点为焦点,以以3为半为半长轴的椭圆闭区域长轴的椭圆闭区域,它不是区它不是区域域.不是区域,因为图中不是区域,因为图中解解解解在圆环内的点不是内点在圆环内的点不是内点.例例77函数函数将将平面上的下列曲线变成平面上的下列曲线变成平平面上的什么曲线?
面上的什么曲线?
解解又又于是于是表示表示平面上的圆平面上的圆.
(1)解解表示表示平面上以平面上以为圆心,为圆心,为半径的圆为半径的圆.
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- 函数 第一章