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在频域中,可表示为:
由于Ii、Ig、hI都是强度分布,是非负实函数是非负实函数,它们的频谱一般都是复函数,但必有一个幅值很大的零频分量(直流分量),即:
下面用一个例子说明这一点余弦函数变化的强度分布:
cos(2f0x)1xFTFT决定像的清晰与否,主要在于携带有信息的高频分量决定像的清晰与否,主要在于携带有信息的高频分量的那部分光强相对于零频分量的比值有多大;
即的那部分光强相对于零频分量的比值有多大;
即Gi、Gg和和HI相对于各自零频分量的比值。
相对于各自零频分量的比值。
FTcos(2f0x)u1/2uxm因为:
所以,归一化频谱满足:
是非相干成像系统的光学传递函数(是非相干成像系统的光学传递函数(OTFOTF)。
)。
引入用零频分量归一化的频谱,引入用零频分量归一化的频谱,是在频域中描述非相干成像系统的成像特性。
是在频域中描述非相干成像系统的成像特性。
一般都复函数,可用模和幅角表示:
称为调制传递函数调制传递函数(MTFModulationTransferMTFModulationTransferFunctionFunction)。
描述系统对各频率分量对比度的传递特性。
称为相位传递函数相位传递函数(PTFPhaseTransferFunctionPTFPhaseTransferFunction)描述系统对各频率分量的相位传递特性。
下面对OTFOTF中的模及幅角的物理意义物理意义作进一步说明:
第二章讲过,对于脉冲响应是实函数的线性系统脉冲响应是实函数的线性系统,其传递函数具有厄米对称性。
即:
非相干成像系统就是这样的系统。
Ii,Ig,hI都是实函数,H是厄米对称的。
余弦函数余弦函数是这类系统的本征函数。
当输入为余弦形式的强度分布时,其输出仍为同频率余弦形式,只是对比度和相位发生变化。
而其对比度和相位的变化分别决定于MTFMTF和PTFPTF。
例如:
设输入一个余弦型光强分布:
其频谱为:
对于确定的系统,HI(0,0)是常数,对强度分布无影响,可略去。
输出像的强度分布为:
其中:
由于(u0,v0)是任意的,上式可写成一般形式,即:
此式表明:
余弦型强度分布余弦型强度分布经过成像系统后,仍然经过成像系统后,仍然是同频率的余弦分布,只是是同频率的余弦分布,只是振幅减小,相位变化振幅减小,相位变化。
还可以从条纹分布的衬比度(对比度、调制度)衬比度(对比度、调制度)变化及相位变化来说明系统的成像特性。
对比度的定义:
理想几何像的对比度:
实际像的对比度:
对比度关系式:
m(u,v)是是调制传递函数。
相位变化:
5.4.2OTF5.4.2OTF与与CTFCTF的关系的关系此式说明:
OTFOTF是CTFCTF的自相关归一化函数。
这一结论对有像差系统和无像差系统(衍射受限系统)都成立。
因为上式是在的基础上得出的;
在此没有涉及的具体形式。
5.4-15.4-1,5.4-25.4-2节的结论不仅对衍射受限系统成立,而且对有像差系统也成立。
两点说明:
5.4-35.4-3衍射受限非相干成像系统的衍射受限非相干成像系统的OFTOFT衍射受限系统相干成像的CTFCTF为:
衍射受限系统非相干成像的OTFOTF为:
因因P(di,di)是是实函数,且只有实函数,且只有0和和1取值,取值,P=P*,P=P2此此式式说说明明,衍衍射射受受限限非非相相干干成成像像系系统统的的OTFOTF是是光光瞳瞳函函数数自自相相关关的的归归一一化函数。
化函数。
OTFOTF的的几何解释几何解释:
1)1)分母分母是光瞳的总面积是光瞳的总面积S0。
2)分子分子是经过平移的中心是经过平移的中心在在(-diu,-div)的光瞳与的光瞳与原光原光瞳瞳的重叠面积的重叠面积S(u,v)。
yS0xP(x+0,y+0)yxP(x+0,y+0)P(x+diu,y+div)divdiuS(u,v)3)OTF3)OTF是光瞳重叠面积的归一化,即:
重叠面积取决于两个错开的光瞳的相对位置,与频率重叠面积取决于两个错开的光瞳的相对位置,与频率(u,v)有关。
有关。
对于不同的空间频率成分对于不同的空间频率成分(u,v),系统光瞳的位置不同系统光瞳的位置不同;
对零频成分为P(u,v),中心位于轴上原点处,(u,v)=1;
对于(u,v)不为零的成分,为P(u+diu,v+div),中心位于(-diu,-div),H(u,v)1。
也可以这样理解:
4)4)对于具有规则简单几何形状的光瞳,可以用几何方法求出归一化重叠面积的表达式,求出其OTFOTF。
从从OTFOTF的几何解释,可以了解的几何解释,可以了解OTFOTF及衍射受限非相干及衍射受限非相干成像的一些性质:
成像的一些性质:
1)由于衍射受非相干成像限系统的(u,v)是实的、是实的、非负函数非负函数,所以非相干照明衍射受限系统只改只改变各频率余弦分量的对比度,变各频率余弦分量的对比度,而不改变它们的而不改变它们的相位相位,即:
只需考虑MTFMTF而不必考虑PTFPTF。
2)零频(0,0)=1。
当u=v=0时,两个光瞳完全重叠,归一化重叠面积为11,这表明理论上系统的零频系统的零频分量无阻挡,无衰减,无相位变化,且衬比度无分量无阻挡,无衰减,无相位变化,且衬比度无变化变化。
实际上,像面光强度总是弱于物面。
3)(u,v)D/di时,重叠面积为0,(u,0)=0相干照明下,该系统的截止频率为显然OFT的截止频率(即非相干照明下的截止频率)是相干照明下的截止频率的2倍。
对于光瞳为圆形的系统,(u,0)可在极坐标下表示为(u,v)(,)Huvvv2ccuu2cc例如图所示的衍射受限成像系统,光阑缝宽l=2cm,透镜焦距f=5cm,照明光波长10-4cm,成像倍率M=1。
物体是强度透过率强度透过率的理想光栅,周期d=0.01mm,求非相干照明下像的强度分布dil解:
首先确定系统的OTF。
截止频率2f0=l/(di)=200/mm,故采用单位强度的平面波垂直照明光栅,几何光学理想像的强度分布Ig就等于物体的强度透光率,即输入的归一化强度频谱为归一化输出频谱为像面光强分布为:
5.55.5有像差系统的传递函数有像差系统的传递函数先回顾前面讲过的无像差系统的内容。
相干照明下(相干照明下(CTFCTF):
是非负实函数非负实函数,且只有11、00两种取值。
对截止频率c以内的成分,完全通过,无畸变变化和相移;
对c以上的成分完全被挡掉。
非相干照明下(非相干照明下(OTFOTF):
是光瞳函数的自相关归一化函数,也是非负实函数非负实函数。
在截止频率(一般为2c)以内,取值在0011之内变化,对不同的频率(u,v)取值不同,系统改变各种成分的对比度,但不产生相位的相对变化。
有像差系统:
由于像差的影响,相干照明下的H(u,v)和非相干照明下的(u,v)一般是复函数一般是复函数,系统对各种频率成分的相位会产生影响。
仍然采用讨论衍射受限系统的思路,即:
只是把系统像差归并到光瞳函数中去,引入广义广义光瞳函数:
光瞳函数:
P(x,y)是不考虑像差时的系统的光瞳函数,是实函数;
W(x,y)是光瞳处有像差时的波面与无像差时的波面之间的光程差函数称为波像差函数;
kW(x,y)是由波像差引起的相位函数;
物理意义是:
把系统像差对波面的影响归并到光瞳函数中去,认为像差引起光瞳函数的相位变化。
是广义光瞳函数。
对于无像差系统,物面上物点发出的球面波,经过系统后近似是一个以理想像点为会聚中心的傍轴近似下的会聚球面波,在出瞳处的波面是近似的球面,用00表示;
对于有像差系统,由于各种像差的影响,出射光波偏离球面波,在出瞳处的波面不再是近似的球面,用11表示。
像面出瞳S0S1若无像差,则11与0重合。
有像差时,在相应点(x,y)处,11与00之间的光程差就是波像差函数W(x,y)。
AA:
球差系数;
BB:
慧差系数;
CC:
像散系数:
DD:
离焦系数;
EE:
yy方向倾斜;
FF:
xx方向倾斜.相干照明下:
相干照明下:
有像差系统的相干点扩散函数:
对于有像差系统,相干脉冲响应(点扩散函数)不再单纯是孔径的FTFT(夫朗和费衍射),还有波像差的影响。
有像差系统的相干传递函数(CTFCTF):
由此式可以看出:
(11)有像差系统的通频带范围及截止频率仍由光瞳孔径大小决定,截止频率与无像差时相同即为c,cc,2c。
(22)像差的影响是在通频带内引入与频率有关的相位畸变,使像质变坏。
非相干照明下:
有像差系统的非相干点扩散函数(强度点扩散函数):
对于有像差系统,其非相干点扩散函数(强度点扩散函数)也不再单纯是孔径的FTFT的模的平方(夫朗和费衍射图样的强度分布),还有波像差的影响。
有像差系统的非相干传递函数(光学传递函数OTFOTF):
它是广义光瞳函数的自相关的归一化函数,即:
因为所以由此式可以看出:
11)有像差系统的OTFOTF与像差引起的相位畸变直接有关。
当波像差W(x,y)=0时,就是衍射受限系统的OTF。
当波像差W(x,y)0时,OTF一般是复函数;
波像差不为零,不仅影响各频率成分的对比度,而且也产生相应的相位畸变。
22)通频带的范围及截止频率仍由光瞳孔径大小决定,截止频率与无像差时相同,2c,2c2c,4c。
像差的影响是在通频带内引起对比度的降低、引入与频率有关的相位畸变,使像质变坏。
33)此外(a)(a)利用施瓦兹不等式,可以证明:
说明像差使像质变坏。
(b)hI(xi,yi)总是实函数,无论有无像差,H(u,v)都厄米对称的,总有(u,v)=*(-u,-v),即m(u,v)=m(-u,-v),是偶函数;
(u,v)=(-u,-v),是奇函数。
离焦引起的像差对传递函数的影响。
设光瞳是圆形孔径,只有离焦像差,W(x,y)可表示为W(x,y)=D(x2+y2),D表示离焦的程度。
出瞳S1S0SSdidi理想像面离焦像面在正确聚焦的情况下,出瞳平面到理想像面的距离为di,来自出瞳的球面波向位于理想像面上的理想像点SS会聚,出瞳平面上的相位分布函数为:
在离焦情况下,来自出瞳的球面波向距离出瞳平面di的像点S会聚,此时出瞳平面上的相位分布函数为:
这个结果可以理解为:
本应该向SS点会聚的球面波,由于在出瞳平面上引入了一个相位板而聚向了S点,即有:
从而有:
相应的相干传递函数(CTF):
截止频率为:
与无像差时相同5.65.6相干与非相干成像的比较相干与非相干成像的比较相干成像和非相干成像,哪种情况更好?
要视具体情况而定,不仅与系统结构有关,而且与照明光的相干性及物的结构有关。
下面从三个方面
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