二重积分的概念和性质PPT推荐.ppt
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第九章第九章数量值函数的积分学数量值函数的积分学一一、二重积分、二重积分二二、三重积分、三重积分三三、对弧长的曲线积分、对弧长的曲线积分四、第一类曲面积分积分四、第一类曲面积分积分五、数量值函数积分学的应用五、数量值函数积分学的应用第九章第九章第一节第一节二二重重积积分分本节的主要内容本节的主要内容一、问题的提出;@#@一、问题的提出;@#@二、二重积分的定义;@#@二、二重积分的定义;@#@三、二重积分的性质三、二重积分的性质.曲顶柱体体积曲顶柱体体积=?
@#@特点特点:
@#@曲顶:
@#@曲顶.求曲顶柱体的体积求曲顶柱体的体积柱体体积柱体体积=底面积底面积高高特点特点:
@#@平顶:
@#@平顶.一、问题的提出一、问题的提出一、问题的提出一、问题的提出播放播放求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、分割、近似、求和、取极限求和、取极限”的方法,如下动画演示的方法,如下动画演示步骤如下:
@#@步骤如下:
@#@(3)用若干个小平顶柱体用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体积之和近似表示曲顶柱体的体积体的体积:
@#@曲顶柱体的体积为曲顶柱体的体积为:
@#@
(1)先把曲顶柱体的底区域先把曲顶柱体的底区域D任意分割为任意分割为n个小区域个小区域求平面薄片的质量求平面薄片的质量
(2)取任意小块,将其近似看作均匀薄片,取任意小块,将其近似看作均匀薄片,(3)所有小块质量之和近似所有小块质量之和近似等于薄片总质量等于薄片总质量
(1)将薄片分割成若干小块将薄片分割成若干小块,区域区域D分割为分割为n区域区域:
@#@dd二、二重积分的定义二、二重积分的定义二、二重积分的定义二、二重积分的定义积积积积分分分分区区区区域域域域积积积积分分分分和和和和被被被被积积积积函函函函数数数数积积积积分分分分变变变变量量量量被被被被积积积积表表表表达达达达式式式式面面面面积积积积元元元元素素素素对二重积分定义的说明:
@#@对二重积分定义的说明:
@#@二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数小于零时,二重当被积函数小于零时,二重积分是柱体的体积的负值积分是柱体的体积的负值物理意义物理意义:
@#@平面薄板的质量平面薄板的质量.在直角坐标系下用平在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划行于坐标轴的直线网来划分区域分区域D,故二重积分可写为故二重积分可写为DD则面积元素为则面积元素为思考题思考题:
@#@根据二重积分的几何意义计算积分根据二重积分的几何意义计算积分xyzo性质性质当当为常数时为常数时,性质性质(二重积分与定积分有类似的性质)(二重积分与定积分有类似的性质)(性质(性质1、2称为积分的线性性质)称为积分的线性性质)三、二重积分的性质三、二重积分的性质三、二重积分的性质三、二重积分的性质性质性质对区域具有对区域具有可加性可加性性质性质若若为为D的面积,的面积,性质性质若在若在D上上特殊地特殊地则有则有(不等式性质)(不等式性质)推论:
@#@推论:
@#@性质性质(二重积分估值不等式)(二重积分估值不等式)性质性质(二重积分中值定理)(二重积分中值定理)DOxyo性质性质88DD1解解解解解解解解解解
(1)先画出积分区域的图形)先画出积分区域的图形xy1-11OD0xy-1110小结二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质二重积分的性质二重积分的几何意义二重积分的几何意义(曲顶柱体的体积)(曲顶柱体的体积)(和式的极限)(和式的极限)二重积分的物理意义二重积分的物理意义(平面薄板的质量)(平面薄板的质量)思考题思考题将二重积分定义与定积分定义进行比较,将二重积分定义与定积分定义进行比较,找出它们的相同之处与不同之处找出它们的相同之处与不同之处.定积分与二重积分都表示某个和式的极限定积分与二重积分都表示某个和式的极限值,且此值只与被积函数及积分区域有关不值,且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间,被积函数为同的是定积分的积分区域为区间,被积函数为定义在区间上的一元函数,而二重积分的积分定义在区间上的一元函数,而二重积分的积分区域为平面区域,被积函数为定义在平面区域区域为平面区域,被积函数为定义在平面区域上的二元函数上的二元函数思考题解答思考题解答由于由于练习题练习题答案练习题答案
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- 二重积分 概念 性质