中值定理证明题20141229PPT文档格式.ppt
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B单调增加,在P1822目录上页下页返回结束例例1.
(2)目录上页下页返回结束(3)(3)证证:
目录上页下页返回结束例例2.设函数设函数在在上有三阶导数,且上有三阶导数,且,又函数又函数,证明在,证明在内至少存在一点内至少存在一点,使得使得证证由条件知函数由条件知函数在区间在区间上三阶可导,因上三阶可导,因故故存在点存在点,使得,使得,由此得由此得,所以存在,所以存在,使得,使得目录上页下页返回结束又又,得,得,由此得由此得,使得,使得目录上页下页返回结束例例3.设函数设函数在在上连续,在上连续,在内二阶可内二阶可导,且导,且,证明:
至少存在一点证明:
至少存在一点,使得,使得证证由拉格朗日中值定理知,存在由拉格朗日中值定理知,存在,使得,使得同理,存在同理,存在,使得,使得在在区间区间上再一次使用拉格朗日中值定理,知存在上再一次使用拉格朗日中值定理,知存在,使得,使得目录上页下页返回结束例例4.证证分析分析问题转化为证目录上页下页返回结束例例4.设在内可导,且证明至少存在一点使上连续,在证证:
问题转化为证设辅助函数显然在0,1上满足罗尔定理条件,故至使即有少存在一点目录上页下页返回结束例例4.设在内可导,且证明至少存在一点使上连续,在分析分析问题转化为证设辅助函数卸磨杀驴,脱掉对数函数.目录上页下页返回结束例例5.设函数设函数在在上连续上连续,在在内可内可导,且导,且证明:
至少存在一点,使得,使得设辅助函数则由零点定理证证:
问题转化为证至少存在一点至少存在一点知存在目录上页下页返回结束例例5.设函数设函数在在上连续上连续,在在内二阶可内二阶可导,且导,且证明:
至少存在一点,使得,使得分析分析结论转化为设辅助函数知存在最大值点则由费马引理得目录上页下页返回结束例例5.设函数设函数在在上连续上连续,在在内二阶可内二阶可导,且导,且证明:
至少存在一点,使得,使得设辅助函数知存在最大值点则由费马引理得证证:
问题转化为证至少存在一点至少存在一点目录上页下页返回结束设设,函数函数在在上连续上连续,在在内可导内可导,试证在试证在内至少存在一点内至少存在一点使使成立成立.分析:
将所证等式变形为将所证等式变形为或或可见,应对可见,应对与与在在上上应用应用证明证明:
设设由题设知由题设知,与与在在上满足上满足柯西中值定理的条件。
由柯西中值定理可知,柯西中值定理的条件。
由柯西中值定理可知,柯西中值定理柯西中值定理.P1828例例6.目录上页下页返回结束总结:
利用中值定理证明相关命题,关键是根据题总结:
利用中值定理证明相关命题,关键是根据题目的特点,寻找合适的定理及相应的辅助函数。
步目的特点,寻找合适的定理及相应的辅助函数。
步骤如下:
骤如下:
(11)构造辅助函数;
构造辅助函数;
(22)确定区间;
)确定区间;
(33)验证定理条件。
)验证定理条件。
亦即亦即在在内至少存在一点内至少存在一点,使使即即目录上页下页返回结束例例7.设在上可导,且证明f(x)至多只有一个零点.证证:
设则故在上连续单调递增,从而至多只有一个零点.又因因此也至多只有一个零点.思考思考:
若题中改为其他不变时,如何设辅助函数?
目录上页下页返回结束例例8.设在上存在,且单调递减,有证证:
设则所以当令得即所证不等式成立.证明对一切目录上页下页返回结束例例9证证不妨设不妨设目录上页下页返回结束例例10.证明证明:
从而f(x)在内单调增加因此当时f(b)f(a)0即即目录上页下页返回结束例例10.证明证明:
目录上页下页返回结束例例11.设实数满足下述等式证明方程在(0,1)内至少有一个实根.证证:
令则可设且由罗尔定理知存在一点使即目录上页下页返回结束3.已知函数内可导,且证证:
(1)令故存在使即(2005考研)目录上页下页返回结束内可导,且
(2)根据拉格朗日中值定理,存在使3.已知函数目录上页下页返回结束阶导数,且存在相等的最大值,并满足4.设函数证证:
据泰勒定理,存在使由此得即有(2007考研)情形情形1.则有内具有二目录上页下页返回结束阶导数,且存在相等的最大值,并满足情形情形2.因此据零点定理,存在即有则有4.设函数应用罗尔定理得内具有二目录上页下页返回结束例例1.设函数在内可导,且证明在内有界.证证:
取点再取异于的点对为端点的区间上用拉氏中值定理,得(定数)可见对任意即得所证.目录上页下页返回结束例例3.且试证存在证证:
欲证因f(x)在a,b上满足拉氏中值定理条件,故有将代入,化简得故有即要证目录上页下页返回结束例例5.设函数f(x)在0,3上连续,在(0,3)内可导,且分析:
所给条件可写为(2003考研)试证必存在想到找一点c,使证证:
因f(x)在0,3上连续,所以在0,2上连续,且在0,2上有最大值M与最小值m,故由介值定理,至少存在一点由罗尔定理知,必存在目录上页下页返回结束例例8.证明在上单调增加.证证:
令在x,x+1上利用拉氏中值定理,故当x0时,从而在上单调增.得目录上页下页返回结束例例1设在设在上,上,证,证明函数明函数在在上是单调增加的上是单调增加的证证当当时,有时,有根据拉格朗日中值定理根据拉格朗日中值定理是单调增加的因而是单调增加的因而故故目录上页下页返回结束故故在在上是单调增加的上是单调增加的目录上页下页返回结束例例1设在设在上,上,证,证明函数明函数在在上是单调增加的上是单调增加的证证当当时,有时,有因而因而故故是单调增加的因而是单调增加的因而在在上是单调增加的上是单调增加的目录上页下页返回结束证明:
存在使设可导,且在连续,证证:
设辅助函数因此至少存在显然在上满足罗尔定理条件,即使得练习练习目录上页下页返回结束例例5.设至少存在一点使证证:
问题转化为证设则在0,1上满足柯西中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点,使即证明目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束证证:
因为中值定理条件,因为A,B,C三点在一条直线上,所以由因此应有满足罗尔定理的条件,由罗尔定理知至少存在一点使例例5.设证明在(a,b)内至少存在一点使得的图形与联结A(a,f(a),B(b,f(b)两点的弦交于点C(c,f(c)目录上页下页返回结束2.设且在内可导,证明至少存在一点使提示提示:
由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设目录上页下页返回结束例例5.试证至少存在一点使证证:
法法1用柯西中值定理.则f(x),F(x)在1,e上满足柯西中值定理条件,令因此即分析分析:
目录上页下页返回结束例例5.试证至少存在一点使法法2令则f(x)在1,e上满足罗尔中值定理条件,使因此存在
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