运筹学-胡运权-线性规划与单纯形法PPT推荐.ppt
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V=(a-2x)2x用微积分中求极值的古典用微积分中求极值的古典方法解决,古典方法不是方法解决,古典方法不是规划问题。
只处理简单的规划问题。
只处理简单的表达式和简单的约束条件。
表达式和简单的约束条件。
ax2【例例2】某厂生产两种产品,下表给出了单位产品所需某厂生产两种产品,下表给出了单位产品所需资源及单位产品利润。
资源及单位产品利润。
问:
应如何安排生产计划,才能使总利润最大?
计划期可用能力计划期可用能力设备设备A(h)2212设备设备B(h)128设备设备C(h)4016设备设备D(h)0412利润利润(元元)233解:
用数学的语言进行描述解:
用数学的语言进行描述:
1.决策变量:
设产品决策变量:
设产品I、II的产量分别为的产量分别为x1、x22.目标函数:
问题要求获取利润最大,该公司获取目标函数:
问题要求获取利润最大,该公司获取利润为利润为2x1+3x2,令令z=2x1+3x2,则,则maxz=2x1+3x2,maxz是该公司获取利润的目标是该公司获取利润的目标值,它是变量值,它是变量x1、x2的函数,称为目标函数。
的函数,称为目标函数。
3.约束条件:
两种产品受设备制造能力的限制,可约束条件:
两种产品受设备制造能力的限制,可用不等式表示为用不等式表示为2x1+2x212x1+2x28s.t.s.t.4x1164x212x1,x204综合例2的数学模型可表示为:
maxz=2x1+3x2这是一个典型的利润最大化的生产计划问题。
其中,“Max”是英文单词“Maximize”的缩写,含义为“最大化”;
“s.t.”是“subjectto”的缩写,表示“满足于”。
因此,上述模型的含义是:
在给定条件限制下,求使目标函数z达到最大的x1,x2的取值。
2x1+2x212x1+2x28s.t.s.t.4x1164x212x1,x2052、线性规划研究的主要问题,可以归纳为两类:
、线性规划研究的主要问题,可以归纳为两类:
一类是已有一定数量的资源(人力、物质、一类是已有一定数量的资源(人力、物质、时间等),研究如何充分合理地使用它们,才能时间等),研究如何充分合理地使用它们,才能使完成的任务量为最大。
使完成的任务量为最大。
另一类是当一项任务确定以后,研究如何统另一类是当一项任务确定以后,研究如何统筹安排,才能使完成任务所耗费的资源量为最少。
筹安排,才能使完成任务所耗费的资源量为最少。
实际上,上述两类问题是一个问题的实际上,上述两类问题是一个问题的两个不同的方面,都是求问题的最优解(两个不同的方面,都是求问题的最优解(max或或min)。
)。
6【例例3】某厂生产三种药物,某厂生产三种药物,这些药物可以从四种不同的这些药物可以从四种不同的原料中提取。
下表给出了单原料中提取。
下表给出了单位原料可提取的药物量位原料可提取的药物量要求:
生产要求:
生产A种药物至少种药物至少160单位;
单位;
B种药物恰好种药物恰好200单位,单位,C种药物不超过种药物不超过180单位,且单位,且使原料总成本最小。
使原料总成本最小。
解:
设四种原决策变量:
设四种原料的使用量分别为:
料的使用量分别为:
x1、x2、x3、x42.目标函数:
设总成本为目标函数:
设总成本为z,则有:
,则有:
minz=5x1+6x2+7x3+8x43.约束条件:
约束条件:
x1+2x2+x3+x41602x1+4x3+2x42003x1x2+x3+2x4180x1,x2,x3,x40药物药物原料原料ABC单位成本单位成本(元吨)(元吨)甲甲1235乙乙2016丙丙1417丁丁12287二、线性规划问题的数学模型二、线性规划问题的数学模型
(一)
(一)LP问题数学模型由三个要素组成问题数学模型由三个要素组成1、变变量量,或或称称为为决决策策变变量量,是是问问题题中中要要确确定定的的未未知知量量。
表表示示规规划划中中要要采采取取的的方方案案、措措施施,可可由由决决策策者者决决定定和和控控制。
制。
2、目目标标函函数数:
实实现现的的目目标标,是是决决策策变变量量的的函函数数,按按照照优化目标加上最大或者最小。
优化目标加上最大或者最小。
3、约约束束条条件件:
是是变变量量取取值值时时受受到到的的各各种种资资源源条条件件的的限限制。
通常表达为含决策变量的线性等式或线性不等式。
所谓线性的是指:
目标函数与约束条件均为一次的。
8
(二)
(二)LP的条件或的条件或LP数学模型的特点数学模型的特点n1.数学模型由变量、目标函数和约束条件三部分组数学模型由变量、目标函数和约束条件三部分组成成;
n2.决策变量为可控的连续变量决策变量为可控的连续变量;
n3.目标函数和约束条件都是线性的。
目标函数和约束条件都是线性的。
满足以上三个条件的数学模型称为线性满足以上三个条件的数学模型称为线性规划规划9(三)线性规划数学模型的几种形式(三)线性规划数学模型的几种形式n个变量个变量xj(j=1,2,3n),xj一般非一般非负,从数,从数学意学意义上可以有上可以有xj0,这时xj的取值为(的取值为(-,+),称),称xj取取值不受不受约束或无束或无约束;
束;
价价值系数系数cj;
资源系数资源系数bi(i=1,2,3m)(资源源拥有量,有量,xj受受m项资源的限制源的限制);
工艺系数(约束系数)工艺系数(约束系数)aij表示表示xj取值一个单位时取值一个单位时消耗的或所含有的第消耗的或所含有的第j种资源的数量,由技术条件种资源的数量,由技术条件决定。
决定。
101、一般形式、一般形式n目标函数:
目标函数:
max(min)Z=c1x1+c2x2+c3x3+cnxnn约束条件:
na11x1+a12x2+a13x3+a1nxn(=)b1a21x1+a22x2+a23x3+a2nxn(=)b2am1x1+am2x2+am3x3+amnxn(=)bmx10,x20,xn0112.简写形式简写形式3.向量形式向量形式4.矩阵形式矩阵形式系数矩阵系数矩阵(工艺系数)(工艺系数)决策变量决策变量价值系数价值系数常数项常数项(资源系数)(资源系数)12三、三、线性规划的标准形式线性规划的标准形式maxZ=cjxjaijxj=bii=1,2,mxj0j=1,2,n可以看出,线性规划的标准形式有如下四个特点:
可以看出,线性规划的标准形式有如下四个特点:
目标最大化、约束条件全为等式、决策变量均非负、目标最大化、约束条件全为等式、决策变量均非负、右端项非负。
右端项非负。
对于各种非标准形式的线性规划问题,我们总对于各种非标准形式的线性规划问题,我们总可以通过以下变换,将其转化为标准形式可以通过以下变换,将其转化为标准形式:
131)目标函数极小化转为极大化:
)目标函数极小化转为极大化:
minZ=max(Z),一个,一个数的极小化等价于其相反数的极大化。
令数的极小化等价于其相反数的极大化。
令Z=Z,则则Z=cjjxjj于是转化为:
于是转化为:
maxZ=cjjxjj,约束条件不变;
约束条件不变;
2)约束为不等式,可利用添加松弛变量,变为等式:
约束为不等式,可利用添加松弛变量,变为等式:
不等式约束的转化:
aijijxjjbii加入非负的松弛变量加入非负的松弛变量aijijxjjbii减去非负的剩余变量减去非负的剩余变量松弛变量和剩余变量在目标函数中的系数均为松弛变量和剩余变量在目标函数中的系数均为0;
3)取值无约束的变量,即)取值无约束的变量,即x无约束无约束,变为两个变量的差变为两个变量的差即令即令x=xx,其中,其中x0,x0;
4)变量)变量xjj0,令,令xjj=xjj,则则xjj=xjj代入即可;
代入即可;
5)bii0,该约束条件两边同乘以该约束条件两边同乘以1。
14练习题:
练习题:
将下列问题化成标准型将下列问题化成标准型将下列问题化成标准型将下列问题化成标准型:
1.minZ=x11+2x22-3x33x11+x22+x339-x11-2x22+x3323x11+x22-3x33=-5x110,x220,x33无约束无约束2.MinZ=-x2.MinZ=-x11+2x+2x22-3x-3x33xx11+x+x22+x+x3377xx11-x-x22+x+x3322-3x-3x11+x+x22+2x+2x33=5=5xx11,x,x220,x0,x33无非负限制无非负限制无非负限制无非负限制15解:
maxZ=x112x22+3(x33x33)+0x44+0x55x11+x22+x33x33+x44=9x112x22+x33x33x55=23x11x22+3(x33x33)=5x110,x220,x330,x330,x440,x55016MaxZ=xMaxZ=x11-2x-2x22+3x+3x33-3x-3x33+0x0x44+0x+0x55s.t.xs.t.x11+x+x22+x+x33-x-x33+x+x44=7=7xx11-x-x22+x+x33-x-x33-x-x55=2=2-3x-3x11+x+x22+2x+2x33-2x-2x33=5=5xx11,x,x2,2,xx33,x,x33,x,x44,x,x5500第一节小结:
建立模型;
三个组成要素;
四种形式;
第一节小结:
化为标准形(化为标准形(化为标准形(化为标准形(44个条件个条件个条件个条件55点)点)点)点)1722线性规划图解法线性规划图解法图解法简单、直观,有利于理解图解法简单、直观,有利于理解LP求解的基本原理(基本思求解的基本原理(基本思路)。
缺点:
只适合两个变量。
路)。
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- 关 键 词:
- 运筹学 胡运权 线性规划 单纯