答案高一数学下第5章析及解斜三角形解析及.doc
- 文档编号:1556269
- 上传时间:2022-10-23
- 格式:DOC
- 页数:12
- 大小:263KB
答案高一数学下第5章析及解斜三角形解析及.doc
《答案高一数学下第5章析及解斜三角形解析及.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《答案高一数学下第5章析及解斜三角形解析及.doc(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高一数学下第5章《解斜三角形》解析及答案
巩固基础
一、自主梳理
1.正弦定理:
===2R,其中R是三角形外接圆半径.
2.余弦定理:
a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,cosA=.
3.S△ABC=absinC=bcsinA=acsinB,S△==Sr(S=,r为内切圆半径)=(R为外接圆半径).
4.在三角形中大边对大角,反之亦然.
5.射影定理:
a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.
6.三角形内角的诱导公式
(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos=sin,
sin=cos……
在△ABC中,熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC;
(2)A、B、C成等差数列的充要条件是B=60°;
(3)△ABC是正三角形的充要条件是A、B、C成等差数列且a、b、c成等比数列.
7.解三角形常见的四种类型
(1)已知两角A、B与一边a,由A+B+C=180°及==,可求出角C,再求b、c.
(2)已知两边b、c与其夹角A,由a2=b2+c2-2bccosA,求出a,再由余弦定理,求出角B、C.
(3)已知三边a、b、c,由余弦定理可求出角A、B、C.
(4)已知两边a、b及其中一边的对角A,由正弦定理=,求出另一边b的对角B,由C=π-(A+B),求出c,再由=求出C,而通过=求B时,可能出一解,两解或无解的情况,其判断方法,如下表:
A>90°
A=90°
A<90°
a>b
一解
一解
一解
a=b
无解
无解
一解
a
a>bsinA
两解
无解
无解
a=bsinA
一解
a 无解 8.用向量证明正弦定理、余弦定理,关键在于基向量的位置和方向. 9.三角形的分类或形状判断的思路,主要从边或角两方面入手. 二、点击双基 1.在△ABC中,A=60°,a=43,b=4,则B等于() A.45°或135°B.135°C.45°D.以上答案都不对 解析: sinB===,又∵b 答案: C 2.△ABC中,a=2bcosC,则此三角形一定是() A.等腰三角形B.直角三角形 C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形 解析: 由正弦定理得sinA=2sinBcosC, 即sin(B+C)=2sinBcosC. ∴sin(B-C)=0. 又∵-π 答案: A 3.设A是△ABC最小内角,则sinA+cosA的取值范围是() A.(-,)B.[-,]C.(1,)D.(1,] 解析: ∵0° ∴sinA+cosA=sin(A+45°)∈(1,]. 答案: D 4.(2006山东潍坊检测)在△ABC中,cos2=(a、b、c分别为角A、B、C的对边),则△ABC的形状为() A.正三角形B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形 解析: ∵cos2=,∴=,即cosA=. 又∵cosA=,∴=,即a2+b2=c2.∴△ABC为直角三角形.故选B. 答案: B 5.已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则∠A=_________________________. 解析: 由已知得(b+c)2-a2=3bc,∴b2+c2-a2=bc.∴=.∴∠A=. 答案: 训练思维 6、△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c,如果a2=b(b+c),求证: A=2B. 剖析: 研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角,二是角化边. 证明: 用正弦定理,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入a2=b(b+c)中,得 sin2A=sinB(sinB+sinC)sin2A-sin2B=sinBsinC -=sinBsin(A+B) (cos2B-cos2A)=sinBsin(A+B) sin(A+B)sin(A-B)=sinBsin(A+B). 因为A、B、C为三角形的三内角,所以sin(A+B)≠0.所以sin(A-B)=sinB.所以只能有A-B=B,即A=2B. 讲评: 利用正弦定理,将命题中边的关系转化为角间关系,从而全部利用三角公式变换求解. 链接·聚焦 7、 (1)该题若用余弦定理如何解决? 解: 利用余弦定理,由a2=b(b+c),得cosA== =,cos2B=2cos2B-1=2()2-1=-1=. 所以cosA=cos2B.因为A、B是△ABC的内角,所以A=2B. (2)该题根据命题特征,能否构造一个符合条件的三角形,利用几何知识解决? 解: 由题设a2=b(b+c),得=,① 做出△ABC,延长CA到D,使AD=AB=c,连结BD.①式表示的即是=,所以△BCD∽△ABC.所以∠1=∠D. 又AB=AD,可知∠2=∠D,所以∠1=∠2. 因为∠BAC=∠2+∠D=2∠2=2∠1, 所以A=2B. 讲评: 近几年的高考题中,涉及到三角形的题目,重点考查正弦、余弦定理,考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷. 8、(2004全国高考卷Ⅱ)已知锐角△ABC中,sin(A+B)=,sin(A-B)=. (1)求证: tanA=2tanB; (2)设AB=3,求AB边上的高. 剖析: 有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式,结合图形,以 (1)为铺垫,解决 (2). (1)证明: ∵sin(A+B)=,sin(A-B)=, ∴=2. ∴tanA=2tanB. (2)解: <A+B<π,∴sin(A+B)=. ∴tan(A+B)=-, 即=-.将tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B-4tanB-1=0,解得tanB=(负值舍去).得tanB=,∴tanA=2tanB=2+. 设AB边上的高为CD,则AB=AD+DB=+=. 由AB=3得CD=2+,∴AB边上的高为2+. 讲评: 本题主要考查三角函数概念,两角和与差的公式以及应用,分析和计算能力. 9、如图,有两条相交成60°角的直路EF、MN,交点是O.起初,阿福在OE上距O点3千米的点A处;阿田在OM上距O点1千米的点B处.现在他们同时以4千米/时的速度行走,阿福沿EF的方向,阿田沿NM的方向. (1)求起初两人的距离; (2)用包含t的式子表示t小时后两人的距离; (3)什么时候他们两人的距离最短? 解: (1)∵AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos60°=7, ∴起初他们两人的距离是7千米. (2)设他们t小时后的位置分别是P、Q,则AP=4t,BQ=4t. 下面分两种情况讨论: 当0≤t≤时,PQ2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60°.① 当t>时,PQ2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)cos120°.② 由①②综合得PQ2=48t2-24t+7,即PQ=. (3)∵PQ2=48t2-24t+7=48(t-)2+4, ∴当t=时,即在第15分钟时他们两人的距离最短. 链接·拓展 本题还可以转化为坐标运算,从而避免分类讨论. 提示: 以O为坐标原点,OE所在直线为x轴建立坐标系,则t时刻P(3-4t,0),Q((1+4t),(1+4t)). 状元训练 复习篇 10.在△ABC中,下列三式·>0,·>0,·>0中能够成立的不等式个数() A.至多1个B.有且仅有1个C.至多2个D.至少2个 解析: 原条件可转化为cosA>0,cosB>0,cosC>0.而A、B、C是三角形的内角,∴A+B+C=π最多一个钝角. 答案: D 11.在△ABC中,a=80,b=100,A=45°,则此三角形解的情况是() A.一解B.两解C.一解或两解D.无解 解析: ∵bsinA=50,∴a>bsinA. 答案: B 12(理)在△ABC中,若A=60°,b=1,S△ABC=,则的值为() A.B.C.D. 解析: ∵S△ABC=bcsinA,∴bcsinA=. ∴c=4.∴a2=b2+c2-2bccosA=13.∴a=. ∴===. 答案: B 13、(文)(2004浙江高考)在△ABC中,“A>30°”是“sinA>”的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 解析: 在△ABC中,A>30°0<sinA<1sinA>;sinA>30°<A<150°A>30°. 答案: B 14.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若三角形的面积S=(a2+b2-c2),则∠C的度数是_______________________. 解析: 由S=(a2+b2-c2)得absinC=·2abcosC.∴tanC=1.∴C=45°. 答案: 45° 15.在△ABC中,若∠C=60°,则+=____________________. 解析: += =.(*) ∵∠C=60°,∴a2+b2-c2=2abcosC=ab.∴a2+b2=ab+c2. 代入(*)式得=1. 答案: 1 16.在△ABC中,c=2,a>b,∠C=,且有tanA·tanB=6,试求a、b以及此三角形的面积. 思路分析: 由已知可求出tanA+tanB,这样便可求得tanA和tanB的值,只要求出sinA、sinB利用正弦定理可求得a、b. 解: ∵tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB) =-tanC(1-tanAtanB) =-tan(1-6)=5, 又∵tanA·tanB=6且a>b,则tanA>tanB.∴tanA=3,tanB=2. 而0 ∴sinA=,sinB=. 由正弦定理得a==, b===, S△ABC=absinC=. 17.(2006北京海淀模拟)(理)△ABC中,角A、
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 答案 数学 下第 三角形 解析