机械工程控制基础ppt课件第5章：系统的稳定性PPT格式课件下载.ppt

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特征方程例：

特征方程D（s）=s5+7s4+3s2+2s+1，试判断系统的稳定性试判断系统的稳定性s3的系数为的系数为0，不满足劳斯判据的必，不满足劳斯判据的必要条件要条件系统不稳定系统不稳定例：

特征方程D（s）=s5+7s4+6s3+3s2+2s+1，试判断系统的稳定性试判断系统的稳定性用劳斯判据的必要条件无法判用劳斯判据的必要条件无法判定系统的稳定性定系统的稳定性1、劳斯表劳斯表闭环系统闭环系统的特征方程的特征方程D（s）=ansn+an-1sn-1+.+a1s+a0二二系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件2、Routh稳定判据稳定判据Routh表中的第一列各元的符号均为表中的第一列各元的符号均为正数，则闭环系统稳定。

正数，则闭环系统稳定。

若第一列各元的若第一列各元的符号有改变，则改变的次数等于特征方程有符号有改变，则改变的次数等于特征方程有右根的个数。

右根的个数。

+例例系统的特征方程为系统的特征方程为D（s）=s5+7s4+6s3+3s2+2s+1，试判断试判断的稳定性的稳定性11劳斯表第一列元素不劳斯表第一列元素不全为正，则系统不稳定全为正，则系统不稳定s5162s4731s2s3s1s0有两个右根有两个右根二阶二阶系统：

系统：

特征方程特征方程D（s）=a2s2+a1s+a0系统稳定的条件：

系统稳定的条件：

a20,a10,a00阶次较低的系统，阶次较低的系统，Routh判据可表示为：

判据可表示为：

劳斯阵列为：

s2a0a2s1a10s0a2三阶系统：

三阶系统：

特征方程特征方程D（s）=a3s3+a2s2+a1s+a0a30,a20,a10,a00a2a1-a3a00系统稳定的条件：

s3a3a1s2a2a0s1s0a0例：

控制系统的方框图如下，试确定当输例：

控制系统的方框图如下，试确定当输入为单位速度信号时入为单位速度信号时,系统的稳态误差系统的稳态误差ess25系统稳定时的系统稳定时的K值范围值范围系统稳定且系统稳定且ess0.2的的K的取值范围为的取值范围为2500K00K0-10（+）001-101+0三、三、Routh判据的特殊情况判据的特殊情况1、劳斯阵列表某一行中的第一列元素劳斯阵列表某一行中的第一列元素等于零，但其余各项不等于零或不全等于零，但其余各项不等于零或不全为零。

为零。

处理方法处理方法：

用用一一个个很很小小的的正正数数代代替替该该行行第第一一列列的的零零，并并据据此此计计算算出出阵阵列列中中的的其其余余各各项项。

然后令然后令0，按前述方法进行判别，按前述方法进行判别。

如如果果零零（）上上下下两两项项的的符符号号相相同同，则则系系统统存存在在一一对对虚虚根根，处处于于临临界界稳稳定定状状态态；

如如果果零零（）上上下下两两项项的的符符号号不不同同，则则表表明明有有一一个个符符号号变变化，系统不稳定。

化，系统不稳定。

例例系统的特征方程系统的特征方程s4+2s3+s2+2s+1=0，试判断系统的稳定性试判断系统的稳定性第一列元素不全为正数第一列元素不全为正数系统不稳定，有两个右系统不稳定，有两个右根根s4111s322s201s1s01+-+2、劳斯阵列表某一行全为零、劳斯阵列表某一行全为零劳斯阵列出现全零行表明系统劳斯阵列出现全零行表明系统在在s平平面有面有对称分布的根对称分布的根，即存在，即存在大小相等符大小相等符号相反的实根号相反的实根和（或）一对和（或）一对共轭虚根共轭虚根和和（或）（或）对称于实轴的两对共轭复根对称于实轴的两对共轭复根；

或；

或存在更多这种大小相等，但在存在更多这种大小相等，但在s平面位置平面位置径向相反的根。

径向相反的根。

j0-aaReIm0-jajaj0-aa-jbjb处理方法处理方法：

利利用用该该零零行行上上面面一一行行元元素素构构成成辅辅助助多多项项式式，取取辅辅助助多多项项式式导导数数的的系系数数代代替替该零行，继续计算劳斯阵列中其余各项。

该零行，继续计算劳斯阵列中其余各项。

令令辅辅助助多多项项式式等等于于零零得得到到辅辅助助方方程程，解解此此方方程程可可得得这这些些成成对对的的特特征征根根。

显显然然，辅助多项式的阶次总是偶数辅助多项式的阶次总是偶数。

例如：

闭环系统临界稳定闭环系统临界稳定系统具有两对共轭虚根系统具有两对共轭虚根5.3Nyquist稳定判据稳定判据一一幅角原理幅角原理其中：

zi-零点零点pi-极点极点令：

令：

设设F（s）在在s平面上（除有限个奇点平面上（除有限个奇点外）为单值的连续正则函数，并设外）为单值的连续正则函数，并设s平平面上解析点面上解析点s映射到映射到F（s）平面上为点平面上为点F（s），或为从原点指向此映射点的向量或为从原点指向此映射点的向量F（s）.若在若在s平面上任意选定一封闭曲线平面上任意选定一封闭曲线Ls，只要此曲线不经过只要此曲线不经过F（s）的奇点，则在的奇点，则在F（s）平面上必有一对应的映射曲线平面上必有一对应的映射曲线LF，也是一封闭曲线。

也是一封闭曲线。

当解析点当解析点s按顺时针沿按顺时针沿Ls变化一周时，变化一周时，向量向量F（s）将按顺时针方向旋转将按顺时针方向旋转N周，即周，即F（s）以原点为中心顺时针旋转以原点为中心顺时针旋转N周，这就等于曲周，这就等于曲线线LF顺时针包围原点顺时针包围原点N次。

次。

LsjsReImF（s）s1F（s1）LFs2F（s2）若若令：

Z为包围于为包围于Ls内的零点数，内的零点数，P为包围为包围于于Ls的极点数，则：

的极点数，则：

N=Z-P向量向量F（s）的相位角为：

的相位角为：

假设假设Ls内只包含了一个零点内只包含了一个零点zi，其他零极点其他零极点均位于均位于Ls之外。

之外。

jziz2p1p2s-zis-p1sLs当当s沿沿Ls按顺时针移动一周时按顺时针移动一周时:

向量向量（s-zi）的相位角变化了的相位角变化了-2，而其他各，而其他各向量的相位角变化为向量的相位角变化为0。

即向量即向量F（s）的相位角总的变化量为的相位角总的变化量为-2.jziz2p1p2s-z1s-p1ImReF（si）sF（s）LsLF若若s平面上的封闭曲线包围着平面上的封闭曲线包围着F（s）的的Z个零点个零点，则在，则在F（s）平面上的映射曲平面上的映射曲线线LF将将绕原点顺时针转绕原点顺时针转Z圈圈。

若若s平面上的封闭曲线包围着平面上的封闭曲线包围着F（s）的的P个极点个极点，则在，则在F（s）平面上的映射曲线平面上的映射曲线LF将将绕原点逆时针转绕原点逆时针转P圈圈。

若若Ls包围了包围了F（s）的的Z个零点和个零点和P个极点个极点，则在则在F（s）平面上的映射曲线平面上的映射曲线LF将将绕原点绕原点顺时针转顺时针转N=Z-P圈。

圈。

二、二、Nyquist稳定判据稳定判据1、开环、闭环传函零、极点与、开环、闭环传函零、极点与F（s）函数之函数之间关系间关系G（s）H（s）-Xi（s）X0（s）开环传函的表达形式为开环传函的表达形式为GK（s）=G（s）H（s）闭环传函为闭环传函为令辅助函数令辅助函数F（s）=1+GK（s）GB（s）F（s）GK（s）零点零点极点极点零点零点极点极点零点零点极点极点相同相同相同相同2、Nyqusit稳定判据稳定判据js+j0-jL1L2R=设设F（S）在在s右半平面有右半平面有Z个零点和个零点和P个极个极点时，当点时，当s沿沿s平面上的平面上的Nyquist轨迹移动一轨迹移动一周时，在周时，在F平面上的影射曲线平面上的影射曲线LF顺时针包围顺时针包围原点原点N=（Z-P）圈）圈系统稳定的条件：

Z=0N=-P即系统稳定时，即系统稳定时，F平面上的曲线逆时平面上的曲线逆时针包围原点针包围原点P圈圈ReImFF（s）=1+G（s）H（s）G（s）H（s）=F（s）-1F（s）ImReGH（-1,j0）GK（s）Nyquist稳定判据：

稳定判据：

当当由由-到到+时，若时，若GH平面上平面上的开环频率特性的开环频率特性GK（j）逆时针方向逆时针方向包围（包围（-1，j0）点点P圈，则闭环系统稳圈，则闭环系统稳定。

定。

P为为GK（s）在右半平面的极点数。

在右半平面的极点数。

（若（若由由0到到+时，则为时，则为P/2圈）圈）注意：

由由-到到从从0的的Nyquist轨迹与轨迹与由由0到到+的的Nyquist轨迹互为以实轴为轨迹互为以实轴为对称轴的对称曲线对称轴的对称曲线表述表述1：

开环稳定的系统，闭环稳定的开环稳定的系统，闭环稳定的充要条件是：

系统的开环充要条件是：

系统的开环Nyquist轨轨迹不包围（迹不包围（-1.j0）点。

点。

P=0开环稳定开环稳定由由N=Z-P得：

得：

N=0例例1：

一个开环稳定的系统的：

一个开环稳定的系统的Nyquist曲线如曲线如图所示，试判断闭环系统的稳定性图所示，试判断闭环系统的稳定性Nyquist曲线不包围（曲线不包围（-1,j0）点点闭环系统稳定闭环系统稳定（-1,j0）0ImRe-（-1,j0）闭环系统不稳定闭环系统不稳定-Nyquist曲线顺时针包围（曲线顺时针包围（-1，j0）点点2圈圈例例2：

0ImReP=0若：

开环不稳，存在着右极点，数量为若：

开环不稳，存在着右极点，数量为P闭环稳定的条件是：

闭环稳定的条件是：

Z=0由由N=Z-P，得到闭环稳定的条件：

得到闭环稳定的条件：

N=-P表述表述2开环不稳定时，系统稳定的充要开环不稳定时，系统稳定的充要条件是：

开环条件是：

开环Nyquist曲线逆时针包围曲线逆时针包围（-1,j0）点点P圈（圈（P为开环正极点个数）为开环正极点个数）开环不稳，有一个正极点（开环不稳，有一个正极点（P=1）Nyquist曲线逆时针包围曲线逆时针包围（-1,j0）点点1圈圈闭环系统稳定闭环系统稳定0（-2,j0）-ImRe（-1,j0）开环不稳，有一个正极点（开环不稳，有一个正极点（P=1）-Nyquist曲线顺时针包围曲线顺时针包围（-1,j0）点点1圈圈闭环系统不稳定闭环系统不稳定0（-2,j0）ImRe（-1,j0）-Nyquist曲线逆时针包围曲线逆时针包围（-1,j0）点点1圈