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一般的数学形式为:
2.2.发展简况发展简况q经典最优化理论的研究已有很久,最早可追溯到经典最优化理论的研究已有很久,最早可追溯到FermatFermat时代。
时代。
q19401940年前,对多变量函数的数值最优化方法知之年前,对多变量函数的数值最优化方法知之甚少,但当时已发现了若干最小二乘法和在物理上甚少,但当时已发现了若干最小二乘法和在物理上应用的最速下降法,多变量的牛顿法也很著名。
应用的最速下降法,多变量的牛顿法也很著名。
q4040年代与年代与5050年代:
线性规划(年代:
线性规划(LPLP)的发展。
的发展。
q二战以后,爬山法得到发展与应用(实用,粗糙)。
二战以后,爬山法得到发展与应用(实用,粗糙)。
q19591959年,年,W-W-C.DavidonC.Davidon的一个报告引入了变尺度方的一个报告引入了变尺度方法。
法。
3.3.应用领域应用领域工程设计、军事科学、自动控制、空间技术、资源工程设计、军事科学、自动控制、空间技术、资源分配、计算机科学等等。
例如:
分配、计算机科学等等。
桥梁结构设计;
运输问题;
参数拟合;
多波形信号发生仪中正弦波形逼近的优化设计,多波形信号发生仪中正弦波形逼近的优化设计,在在中找中找nn个分点,使过这些分点的折线和个分点,使过这些分点的折线和正弦函数曲线的误差最小。
正弦函数曲线的误差最小。
4.4.包含内容:
包含内容:
最优化又称数学规划:
LPLP、NLPNLP、DPDP、IPIP5.5.分类:
分类:
二二.最优化问题实例最优化问题实例例例11:
多参数曲线拟合问题:
多参数曲线拟合问题已知热电阻已知热电阻R依赖于温度依赖于温度t的函数关系为:
的函数关系为:
其中其中是待定参数。
通过试验,得到是待定参数。
通过试验,得到ittiiRRii115050347803478022555528610286103360602365023650。
151512012033073307利用最小二乘思想,可将其化为三维空间的无约束最优化利用最小二乘思想,可将其化为三维空间的无约束最优化问题,即:
问题,即:
现有现有m种资源的数量为种资源的数量为。
计划生产。
计划生产n种产种产品品11,2,2,nn。
有关数据如下,试问:
怎样安排生产可以使利润有关数据如下,试问:
怎样安排生产可以使利润达大?
达大?
产品拥有量12n资源12m单位利润令令表示第表示第j种产品的产量。
种产品的产量。
例例2.2.生产安排问题生产安排问题已知有已知有mm个生产点个生产点BBii,可供应某种物质量分别为可供应某种物质量分别为nn个销地个销地,需求量为需求量为.从从到到的单的单位运价为位运价为。
问:
应如何安排运输方案才能使总运费最小?
。
例例3.3.运输问题(运输问题(TPTP)运费销地产量12n产地12m销量在产销平衡条件下,要求得总运费最小的调运方案,可得如下在产销平衡条件下,要求得总运费最小的调运方案,可得如下模型:
模型:
设设表示从第表示从第i个产地向第个产地向第j个销地的运量,则有个销地的运量,则有三三.最优化问题及基本概念最优化问题及基本概念2.2.解法分类解法分类解析方法:
利用函数的解析性质去构造迭代公式使之收敛到最优解(如牛顿法)。
直接方法:
它对函数的解析性质如可微性没有要求,而是根据一定的数学原理来确定(如0.618法)。
1.1.模型模型3.3.全局最优解与局部最优解全局最优解与局部最优解四四.极值问题的经典方法极值问题的经典方法1.1.求驻点的方法求驻点的方法2.Lagrange2.Lagrange乘子法乘子法五.图解法等值线(面)的特点:
1.不同值的等值线不相交;
2.除极值点外,等值线是连续曲线;
3.等值线稠密处导数变化快,稀疏处变化慢;
六六.梯度与梯度与Hesse阵阵1.梯度梯度性质性质1:
函数在某点的梯度若不为:
函数在某点的梯度若不为0,则必与过该点的等值线则必与过该点的等值线(面)垂直。
(面)垂直。
x0Lf(X)=f(X0)f(X0)X0L性质性质2:
梯度方向是函数值具有最大变化率的方向,即函数值上:
梯度方向是函数值具有最大变化率的方向,即函数值上升最快的方向。
升最快的方向。
2.方向导数和下降(上升)方向方向导数和下降(上升)方向
(1)方向导数方向导数:
函数函数在点在点处沿着方向处沿着方向p的方向导数。
的方向导数。
(2)给定函数)给定函数和方向和方向p,如果存在实数如果存在实数,使得对,使得对于任意的于任意的,都有,都有,则称,则称p为为在在点点处的下降方向。
处的下降方向。
(3)性质性质(a).(b)p是下降方向是下降方向;
(c)p是下降方向。
是下降方向。
p是上升方向。
(4)常用梯度公式)常用梯度公式3.Hesse矩阵矩阵
(1)雅可比矩阵:
设雅可比矩阵:
设,
(2)海赛(海赛(Hesse)矩阵矩阵:
(3)其它七七.Taylor展开式展开式八八.凸集与凸函数凸集与凸函数1.凸集凸集
(1)凸组合:
已知凸组合:
已知任取k个点,如果存在常数,使得,则称为的凸组合。
的凸组合。
(2)凸集:
设集合)凸集:
设集合,如果中任意两点的凸组合仍然属于,则称为凸集。
2.凸函数凸函数设设,任取任取,如果如果,有有,则称则称为为X上的(严格)上的(严格)凸函数。
凸函数。
例子:
水平集水平集:
是凸函数是凸函数。
性质:
水平集一定是凸集。
3.凸函数的性质凸函数的性质定理定理.凸函数的局部极小点就是全局极小点。
凸函数的局部极小点就是全局极小点。
4.凸函数的判断条件凸函数的判断条件定理定理1.是凸集是凸集X上的凸函数的充要条件是上的凸函数的充要条件是,有,有.定理定理2.设设在凸集在凸集X上有二阶连续偏导数,则上有二阶连续偏导数,则是凸是凸函数的充要条件是函数的充要条件是,有,有半正定。
半正定。
例:
正定二次函数例:
正定二次函数,其中,其中是正定矩阵。
是正定矩阵。
是凸函数。
5.凸规划凸规划
(1)其中其中是凸函数,是凸函数,是凸集。
是凸集。
(2)其中其中是线性函数是线性函数.是凸函数是凸函数,6.二次规划二次规划九九.极小点的判定条件极小点的判定条件
(1)必要条件:
)必要条件:
(2)充分条件:
)充分条件:
(3)两个结论两个结论函数在极小点附近的等值线为近似的同心椭圆。
函数在极小点附近的等值线为近似的同心椭圆。
十十.算法及相关概念算法及相关概念1、迭代算法、迭代算法集合集合D上的迭代算法上的迭代算法A:
(1)初始点)初始点;
(2)按照某种规则)按照某种规则A产生下一个迭代点产生下一个迭代点。
(i)如果点列如果点列收敛于最优解收敛于最优解,则称算法,则称算法A收敛。
收敛。
(ii)如果如果,则称算法,则称算法A为为下降迭代算法。
下降迭代算法。
.2.下降迭代算法步骤下降迭代算法步骤
(1)给出初始点)给出初始点,令,令;
(2)按照某种规则确定下降搜索方向)按照某种规则确定下降搜索方向;
(3)按照某种规则确定搜索步长)按照某种规则确定搜索步长,使得,使得;
(4)令)令,;
(5)判断)判断是否满足停止条件。
是则停止,否则转第是否满足停止条件。
是则停止,否则转第2步。
步。
搜索步长确定方法:
称称。
为最优步长,且有为最优步长,且有十一十一.终止条件终止条件2.4.1.3.xkxk+1xkxk+1x*十二十二.收敛速度收敛速度则称则称的收敛阶为的收敛阶为。
1.设算法设算法A所得的点列为所得的点列为,如果,如果2.2.
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- 机械 优化 设计