哈工大-组合数学讲义(2010版-新)优质PPT.ppt
- 文档编号:15559505
- 上传时间:2022-11-05
- 格式:PPT
- 页数:444
- 大小:2.86MB
哈工大-组合数学讲义(2010版-新)优质PPT.ppt
《哈工大-组合数学讲义(2010版-新)优质PPT.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《哈工大-组合数学讲义(2010版-新)优质PPT.ppt(444页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
此时,人们就可以那么会有多少种方法去实现它。
此时,人们就可以计数并将它们分类。
计数并将它们分类。
5组合数学组合数学组合数学组合数学(Combinatorics)(Combinatorics)概述概述棋盘的完美覆盖:
棋盘的完美覆盖:
考虑一张考虑一张88(8行行8列列)的的64个正方形的国际象个正方形的国际象棋棋盘,设有形状一样的多米诺牌,每张牌恰好覆盖棋盘上相邻的两棋棋盘,设有形状一样的多米诺牌,每张牌恰好覆盖棋盘上相邻的两个方格,那么,是否能够把个方格,那么,是否能够把32张多米诺牌摆放到棋盘上,使得任何两张多米诺牌摆放到棋盘上,使得任何两张多米诺牌均不重叠,每张多米诺牌覆盖两个方格,并且棋盘上的所张多米诺牌均不重叠,每张多米诺牌覆盖两个方格,并且棋盘上的所有方格都被覆盖住?
我们把这样一种排列称为棋盘的多米诺牌的完美有方格都被覆盖住?
我们把这样一种排列称为棋盘的多米诺牌的完美覆盖。
覆盖。
88棋盘棋盘完美覆盖完美覆盖1完美覆盖完美覆盖2完美覆盖数:
完美覆盖数:
12988816=24(901)2)6组合数学组合数学组合数学组合数学(Combinatorics)(Combinatorics)概述概述与上述问题同时出现的另外两种组合数学问题:
与上述问题同时出现的另外两种组合数学问题:
研究一个已知的排列:
当人们建立起满足某些指定当人们建立起满足某些指定条件的一个排列以后,可能要考察这个排列的性质条件的一个排列以后,可能要考察这个排列的性质和结构,这样的结构可能会涉及到分类问题。
和结构,这样的结构可能会涉及到分类问题。
构造一个最优的排列:
如果可能存在多于一个的排如果可能存在多于一个的排列,人们也许想要确定满足某些优化准则的一个排列,人们也许想要确定满足某些优化准则的一个排列,即找出某种规定意义下的列,即找出某种规定意义下的“最好的最好的”或或“最优最优的的”排列。
排列。
7组合数学组合数学组合数学组合数学(Combinatorics)(Combinatorics)概述概述例,设例,设S=1,2,3,4为一个集合为一个集合1)从从S中取两个不相同的元素进行排列,这样的排列有多少种中取两个不相同的元素进行排列,这样的排列有多少种2)列出所有可能的排列。
列出所有可能的排列。
3)求出两个元素之和最大的排列。
求出两个元素之和最大的排列。
组合数学是研究离散结构的存在、计数、组合数学是研究离散结构的存在、计数、分析和优化等问题的一门科学。
分析和优化等问题的一门科学。
8组合数学组合数学组合数学组合数学(Combinatorics)(Combinatorics)概述概述问题问题1.如果将棋盘变为如果将棋盘变为mn(m行行n列列),则完美覆盖是否,则完美覆盖是否存在?
存在?
问题问题2.对于什么样的对于什么样的m和和n存在完美覆盖?
存在完美覆盖?
当且仅当当且仅当m和和n中至少有一个是偶数时,中至少有一个是偶数时,mn棋盘存在棋盘存在完美覆盖。
完美覆盖。
不一定存在,不一定存在,例如,例如,3行行3列的棋盘就不存在完美覆盖。
列的棋盘就不存在完美覆盖。
9组合数学组合数学组合数学组合数学(Combinatorics)(Combinatorics)概述概述问题问题3.88的棋盘用一把剪刀剪掉棋盘一副对角上的两的棋盘用一把剪刀剪掉棋盘一副对角上的两个方格,总共剩下个方格,总共剩下62个方格,那么是否能够排列个方格,那么是否能够排列31张多张多米诺牌来得出对这幅被剪过棋盘的完美覆盖?
米诺牌来得出对这幅被剪过棋盘的完美覆盖?
不存在完美覆盖。
在一副在一副88棋盘上交替地将方格涂成黑色和白色,则其棋盘上交替地将方格涂成黑色和白色,则其中的中的32个方格是黑色,个方格是黑色,32个方格是白色。
个方格是白色。
如果我们剪掉棋盘一副对角线上的两个方格,那么我们如果我们剪掉棋盘一副对角线上的两个方格,那么我们就剪掉同样种颜色的两个方格,比如两个白色方格。
这就剪掉同样种颜色的两个方格,比如两个白色方格。
这就变成了就变成了32个黑方格和个黑方格和30个白方格。
个白方格。
但是,每张多米诺牌需要一个白方格和一个黑方格,于但是,每张多米诺牌需要一个白方格和一个黑方格,于是,是,31张不重叠的多米诺牌则覆盖住张不重叠的多米诺牌则覆盖住31个黑方格和个黑方格和31个个白方格。
因此,这幅被剪过的棋盘不存在完美覆盖。
白方格。
10组合数学组合数学组合数学组合数学(Combinatorics)(Combinatorics)概述概述问题问题4.将将mn的棋盘上的方格交替涂成黑色和白色,切的棋盘上的方格交替涂成黑色和白色,切除一些方格,得到一块被剪过的棋盘,这块棋盘什么时除一些方格,得到一块被剪过的棋盘,这块棋盘什么时候有一个完美覆盖?
候有一个完美覆盖?
必要条件。
这块被剪过的棋盘必须具有相等的黑方格数必要条件。
这块被剪过的棋盘必须具有相等的黑方格数和白方格数。
和白方格数。
该条件不是充分条件。
45棋盘棋盘11组合数学组合数学组合数学组合数学(Combinatorics)(Combinatorics)概述概述nB-牌:
牌:
设设b是一个正整数,我们用是一个正整数,我们用b个个11的方格并排的方格并排连接成的连接成的1b的方格条来代替多米诺牌,这些方方格条的方格条来代替多米诺牌,这些方方格条称为称为b-牌。
牌。
一张一张5-5-牌牌一张一张2-2-牌牌(多米诺牌)(多米诺牌)nmn棋盘被棋盘被B-牌的完美覆盖:
牌的完美覆盖:
b-牌在牌在mn棋盘上没有棋盘上没有两张重叠,每一条两张重叠,每一条b-牌盖住棋盘上的牌盖住棋盘上的b个方格,并且盘上个方格,并且盘上的所有方格都被覆盖住。
的所有方格都被覆盖住。
12组合数学组合数学组合数学组合数学(Combinatorics)(Combinatorics)概述概述问题问题5.mn棋盘何时具有棋盘何时具有b-牌的完美覆盖?
牌的完美覆盖?
当且仅当当且仅当b是是m的一个因子或者的一个因子或者b是是n的一个因子的一个因子充分性。
充分性。
如果如果b是是m的一个因子或者的一个因子或者b是是n的一个因子,的一个因子,则则mn棋盘存在棋盘存在b-牌完美覆盖。
牌完美覆盖。
如果b是m的一个因子,我们就可以对n列的每一列用m/b个b-牌覆盖并进而完成对mn棋盘的完美覆盖。
如果b是n的一个引子,我们就可以对m行的每一行用n/b个b-牌覆盖并进而完成对mn棋盘的完美覆盖。
13组合数学组合数学组合数学组合数学(Combinatorics)(Combinatorics)概述概述必要性。
必要性。
如果如果mn棋盘存在棋盘存在b-牌完美覆盖,则牌完美覆盖,则b或者是或者是m一个因子或者是一个因子或者是n的一个因子。
的一个因子。
我们需要证明m和n除以b的余数至少有一个是零。
设b除以m和n得到商p和q以及余数r和s,m=pb+r(0rb-1)n=qb+s(0sb-1)我们不妨设rs,因此,我们需要证明r=0。
采用反证法,设r0。
14组合数学组合数学组合数学组合数学(Combinatorics)(Combinatorics)主要内容主要内容n概述概述n鸽巢原理鸽巢原理n排列与组合排列与组合n生成排列和组合生成排列和组合n二项式系数二项式系数n容斥原理及应用容斥原理及应用n递推关系和生成函数递推关系和生成函数n特殊计数序列特殊计数序列n二分图匹配二分图匹配nPolya计数法计数法15组合数学组合数学组合数学组合数学(Combinatorics)(Combinatorics)鸽巢原理鸽巢原理n鸽巢原理:
简单形式鸽巢原理:
简单形式定理定理1.如果如果n+1个物体被放进个物体被放进n个盒子中,那么至少有一个盒个盒子中,那么至少有一个盒子包含两只或更多的物体。
子包含两只或更多的物体。
其它表述形式:
如果如果n+1只鸽子被放进只鸽子被放进n个鸽巢中,那么至少有一个鸽巢包含个鸽巢中,那么至少有一个鸽巢包含两只或更多的鸽子。
两只或更多的鸽子。
如果如果n+1个物体用种颜色涂色,那么必然有两个物体被涂成相个物体用种颜色涂色,那么必然有两个物体被涂成相同的颜色。
同的颜色。
16组合数学组合数学组合数学组合数学(Combinatorics)(Combinatorics)鸽巢原理鸽巢原理4个物体个物体3个盒子个盒子存放存放1234517组合数学组合数学组合数学组合数学(Combinatorics)(Combinatorics)鸽巢原理鸽巢原理p例题:
例题:
例例1:
在在13个人中存在两个人,他们的生日在同一个月份里个人中存在两个人,他们的生日在同一个月份里。
考虑12个盒子,每个盒子对应一个月份,将13个人放到12个盒子中,则至少有一个盒子包含两个或两个以上的人,即,这在13个人中存在两个人,他们的生日在同一个月份里。
例例2:
设有设有n对已婚夫妇。
为保证能够有一对夫妇被选出,至对已婚夫妇。
为保证能够有一对夫妇被选出,至少要从这少要从这2n个人中选出多少人。
个人中选出多少人。
应至少选择n+1个人。
考虑n个盒子,每个盒子对应一对夫妇。
如果我们选择n+1个人并把他们中的每一个人放到他们对偶所在的那个盒子中去,那么就有同一个盒子含有两个人,也就是说,我们选择了一对已婚夫妇。
如果选择n个人,可以只选择所有丈夫或只选择所有的妻子。
18组合数学组合数学组合数学组合数学(Combinatorics)(Combinatorics)鸽巢原理鸽巢原理p与鸽巢原理相关的原理与鸽巢原理相关的原理定理定理2:
如果将如果将n个物体放入个物体放入n个盒子并且没有一个盒子是空的,个盒子并且没有一个盒子是空的,那么每个盒子恰好包含一个物体。
那么每个盒子恰好包含一个物体。
定理定理3:
如果将如果将n个物体放入个物体放入n个盒子且没有一个盒子被放入多个盒子且没有一个盒子被放入多于一个物体,那么每个盒子里有一个物体。
于一个物体,那么每个盒子里有一个物体。
19组合数学组合数学组合数学组合数学(Combin
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 哈工大 组合 数学 讲义 2010