有限元法基础-5等参元与数值积分PPT格式课件下载.ppt

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5.1等参变换的概念有限元法基础9l例：

一维例：

一维2节点单元节点单元5.1等参变换的概念有限元法基础10l例：

二维例：

二维3节点单元节点单元5.1等参变换的概念有限元法基础11l例：

平面例：

平面4节点单元节点单元5.1等参变换的概念有限元法基础12l单元矩阵的变换单元矩阵的变换等参变换单元矩阵的变化等参变换单元矩阵的变化：

等参变换等参变换单元矩阵的变化：

单元矩阵的变化：

B、K、d、5.1等参变换的概念有限元法基础13由于插值函数使用自然坐标，涉及到求导和积分的变由于插值函数使用自然坐标，涉及到求导和积分的变换，如换，如B矩阵的偏微分计算，矩阵的偏微分计算，K矩阵的积分计算。

矩阵的积分计算。

5.1等参变换的概念有限元法基础141）导数之间的变换）导数之间的变换由复合函数求导规则有由复合函数求导规则有写成矩阵形式写成矩阵形式J称为称为Jacobi矩阵矩阵5.1等参变换的概念有限元法基础15J的伴随矩阵的伴随矩阵5.1等参变换的概念有限元法基础16l由坐标变换求得由坐标变换求得Jacobi矩阵中的元素矩阵中的元素5.1等参变换的概念有限元法基础172）体积微元的变换）体积微元的变换5.1等参变换的概念有限元法基础18单元刚度矩阵单元刚度矩阵等效体积力等效体积力5.1等参变换的概念有限元法基础193）面积微元的变换）面积微元的变换以以为例，为例，5.1等参变换的概念有限元法基础20边界面力的变换边界面力的变换以以为例，为例，5.1等参变换的概念有限元法基础214）对二维问题）对二维问题u面元面元u线元线元5.1等参变换的概念有限元法基础225）面积坐标）面积坐标直边三角形时：

直边三角形时：

5.1等参变换的概念有限元法基础236）体积坐标）体积坐标5.2等参变换的条件与收敛性有限元法基础24l等参变换的条件等参变换的条件等参变换中，需计算等参变换中，需计算Jacobi矩阵的逆矩阵的逆是否存在？

是否存在？

存在的条件是存在的条件是这是两个坐标系间一对一变换的条件这是两个坐标系间一对一变换的条件5.2等参变换的条件与收敛性有限元法基础25l以二维情况为例说明以二维情况为例说明1）子单元与母单元的单元节点编号顺序相反，）子单元与母单元的单元节点编号顺序相反，顺序相同，顺序相同2）若子单元与母单元同样是凸的，即各节点处若子单元与母单元同样是凸的，即各节点处5.2等参变换的条件与收敛性有限元法基础26l畸变单元举例畸变单元举例节点节点1节点节点2节点节点3由于由于是连续函数，故在是连续函数，故在1-2边至到边至到2-3边时边时必有一点必有一点，不具备等参变换条件。

，不具备等参变换条件。

5.2等参变换的条件与收敛性有限元法基础27l畸变单元举例畸变单元举例边边1-2退化为一个节点退化为一个节点在该点处在该点处，也不具备，也不具备等参变换条件。

等参变换条件。

实际计算单元刚度矩阵是用数值积分，实际计算单元刚度矩阵是用数值积分，并不会出现奇异性，应用中仍可使用；

并不会出现奇异性，应用中仍可使用；

四边形退化为三角形单元的积分精度较差。

5.2等参变换的条件与收敛性有限元法基础28l等参单元的收敛性等参单元的收敛性弹性力学问题的收敛性包括完备性和协调性：

弹性力学问题的收敛性包括完备性和协调性：

完备性：

场插值至少一阶完备，能正确反映刚体位移场插值至少一阶完备，能正确反映刚体位移和常应变。

和常应变。

协调性：

单元内部位移连续且满足几何方程，单元间单元内部位移连续且满足几何方程，单元间的位移场是连续的。

的位移场是连续的。

5.2等参变换的条件与收敛性有限元法基础29l完备性完备性设单元内任一点设单元内任一点ii的位移场为的位移场为代入位移插值函数代入位移插值函数5.2等参变换的条件与收敛性有限元法基础30注意到等参变换注意到等参变换5.2等参变换的条件与收敛性有限元法基础31只要只要Ni满足形函数性质，完备性就得到满足，满足形函数性质，完备性就得到满足，插值函数能够反映刚体位移和常应变。

插值函数能够反映刚体位移和常应变。

5.2等参变换的条件与收敛性有限元法基础32l协调性协调性单元间边界上的位移场：

单元间边界上的位移场：

具有相同的节点和相同的节点数具有相同的节点和相同的节点数插值函数相同，有连续的位移场插值函数相同，有连续的位移场插值函数满足插值函数满足5.等参元与数值积分有限元法基础33l练习题：

练习题：

1.1.什么是等参元满足有限元收敛准则的条件？

同样什么是等参元满足有限元收敛准则的条件？

同样条件可否适用于次参和超参单元？

条件可否适用于次参和超参单元？

2.2.证明边界为直线的三角形和平行四边形的二维单证明边界为直线的三角形和平行四边形的二维单元的元的JacobiJacobi矩阵是常数矩阵。

矩阵是常数矩阵。

3.3.证明面积坐标的幂函数的积分公式。

证明面积坐标的幂函数的积分公式。

（提示：

利用面积坐标之和等于（提示：

利用面积坐标之和等于11的关系消去被积的关系消去被积函数中的一个坐标，并注意积分上下限设置。

）函数中的一个坐标，并注意积分上下限设置。

）5.3弹性力学中等参单元的一般列式方法有限元法基础34有限元方程为有限元方程为单元刚度矩阵为单元刚度矩阵为5.3弹性力学中等参单元的一般列式方法有限元法基础3511）母单元为）母单元为自然坐标系列自然坐标系列坐标变换坐标变换位移插值位移插值JacobiJacobi矩阵矩阵应变的计算应变的计算求求BB时需建立时需建立5.3弹性力学中等参单元的一般列式方法有限元法基础36单元矩阵计算时单元矩阵计算时5.3弹性力学中等参单元的一般列式方法有限元法基础3722）母单元为体积坐标系列）母单元为体积坐标系列取取LL11、LL22和和LL33为独立变量，为独立变量，LL44=1-=1-LL11-LL22-LL33单元矩阵计算单元矩阵计算5.3弹性力学中等参单元的一般列式方法有限元法基础3822）母单元为体积坐标系列）母单元为体积坐标系列取取LL11、LL22和和LL33为独立变量，为独立变量，LL44=1-=1-LL11-LL22-LL33单元矩阵计算单元矩阵计算5.3弹性力学中等参单元的一般列式方法有限元法基础39l例：

无限元例：

无限元11）一维问题：

）一维问题：

22节点单元节点单元通常通常uu22是已知的。

是已知的。

5.3弹性力学中等参单元的一般列式方法有限元法基础40l例：

无限元22）二维问题：

）二维问题：

44节点单元节点单元5.3弹性力学中等参单元的一般列式方法有限元法基础41坐标变换坐标变换反映了反映了1-21-2边的变化率。

边的变化率。

位移插值函数依然与传统单元一样。

通常节点通常节点22和节点和节点33的量是已知的。

的量是已知的。

5.4数值积分方法有限元法基础42l数值积分的基本思想数值积分的基本思想关键在求积系数和求积点的确定！

关键在求积系数和求积点的确定！

求积系数求积系数求积点求积点误差误差5.4数值积分方法有限元法基础4311）NewtonNewtonCotesCotes积分方案积分方案将积分区域将积分区域a,bna,bn等分等分构造近似被积函数构造近似被积函数在取样点上在取样点上5.4数值积分方法有限元法基础44使用使用nn阶多项式构造近似函数阶多项式构造近似函数为为Lagrange插值函数。

插值函数。

积分系数积分系数5.4数值积分方法有限元法基础45积分系数积分系数与选取的积分点个数有关与选取的积分点个数有关与积分点位置有关与积分点位置有关与积分域与积分域a,b有关有关被积函数形式无关被积函数形式无关5.4数值积分方法有限元法基础46采用规范化的区域（采用规范化的区域（00，11），），n+1n+1个等距坐标为个等距坐标为称为称为Cotes系数。

系数。

这种积分具有这种积分具有n次的代数精度，即对次的代数精度，即对n次多项式能精次多项式能精确积分。

确积分。

5.4数值积分方法有限元法基础47例：

一维问题例：

一维问题n=1（梯形公式梯形公式）5.4数值积分方法有限元法基础48n=2（Simpson公式公式）5.4数值积分方法有限元法基础49lNewtonCotes积分特点积分特点积分取样点等距分布积分取样点等距分布有有n+1n+1个积分点，若被积函数是个积分点，若被积函数是nn次多项式，代次多项式，代数积分是精确的数积分是精确的5.4数值积分方法有限元法基础5022）GaussGauss积分方案积分方案l特点特点积分取样点非等间距分布，通过优化积分点积分取样点非等间距分布，通过优化积分点的位置，提高了积分精度，的位置，提高了积分精度，nn个积分点可达个积分点可达2n-12n-1次精度。

次精度。

5.4数值积分方法有限元法基础51在积分域内构造多项式在积分域内构造多项式由条件由条件确定积分点的位置。

确定积分点的位置。

5.4数值积分方法有限元法基础52的性质：

的性质：

（11）在积分点上）在积分点上（22）在积分域（）在积分域（a,ba,b）内与）内与正交。

正交。

被积函数被积函数可由可由2n-12n-1次多项式近似次多项式近似5.4数值积分方法有限元法基础53上式在形式上与上式在形式上与NewtonCotes积分是一样的，但是积分是一样的，但是近似函数是近似函数是2n-1次，积分点是非均匀的分布。

次，积分点是非均匀的分布。

为了方便积分，一般积分限（为了方便积分，一般积分限（a，b）（）（-1，1）。

）。

5.4数值积分方法有限元法基础54例：

两点例：

两点GaussGauss积分积分积分点位置：

积分点位置：

i=0i=0i=1i=15.4数值积