一次函数几何应用----面积专题.doc
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一次函数几何应用----面积专题
典例讲习
考点一:
由坐标引发的面积问题:
一次函数与轴交于、轴交于,则坐标三角形面积。
例1:
如图,直线y=2x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B.则的面积为.
变式:
设直线和直线(是正整数)及X轴围成的三角形的面积为,求的值。
例2、(乌鲁木齐中考)如图,在平面直角坐标系中,直线l:
分别交x轴,y轴于点A、B,将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△A′OB′.
(1)求直线A′B′的解析式;
(2)若直线A′B′与直线l相交于点C,求△A′BC的面积.
变式(宜宾中考)已知:
如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与x轴和y轴交于A、B两点,将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△A′OB′.
(1)求直线A′B′的解析式;
(2)若直线A′B′与直线AB相交于点C,求S△A´BC:
S△ABO的值.
例3:
一次函数与坐标轴交于A、C两点,与过A点的直线与一次函数交于点B,求
例4:
已知,如图,一次函数与坐标轴分别交于A、B两点。
点C为一象限内的点,且坐标为(4,2),求的面积。
变式:
(厦门)当m,n是正实数,且满足m+n=mn时,就称点P(m,)为“完美点”,已知点A(0,5)与点M都在直线y=﹣x+b上,点B,C是“完美点”,且点B在线段AM上,若MC=,AM=4,求△MBC的面积.
考点二:
由面积引发的坐标问题:
注意分类讨论。
引例:
在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,6),B(3,0),C(0,4),若点P是坐标轴上一动点,且,则点P的坐标为。
例5、如图,已知一次函数的图象经过点A(2,3),AB⊥x轴于B,连接OA.
(1)求一次函数的解析式;
(2)设点P为直线上的一点,且在第一象限内,经过P作x轴的垂线,垂足为Q.若,求点P的坐标.(思考:
若点P为一次函数上任意一点,求点P的坐标)
例6:
(太原市竞赛)如图所示,为正三角形,点B坐标为(2,0),过点C(-2,0)作直线交AO于D,交AB于E,且使和的面积相等,求直线的解析式。
变式:
(宝山区一模)如图,在平面直角坐标系中,多边形的顶点坐标为,若如图过点的直线(与y轴交于点P)将多边形分割成面积相等的两部分,则直线的函数表达式是.
例7:
如图所示,直线所示,直线与轴、轴分别交于点A、B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰,如果在第二象限内有一点,且的面积与的面积相等,求的值。
变式:
直线与x轴,y轴分别交于A,B两点,以AB为边在AB上侧作
等边△ABC,若平面内有一点P(m,),使得△ABP与△ABC的面积相等,求的值。
考点三:
由面积引发的综合探究问题
例8、(齐齐哈尔一模)如图,在平面直角坐标系中,函数y=﹣2x+12的图象分别交x轴、y轴于A、B两点,过点A的直线交y正半轴于点M,且点M为线段OB的中点.
(1)求直线AM的函数解析式.
(2)试在直线AM上找一点P,使得S△ABP=S△AOM,请直接写出点P的坐标.
(3)点C在直线AM上,在坐标平面内是否存在点D,使以A、O、C、D为顶点的四边形是正方形?
若存在,请直接写出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
例9、(苏州模拟)如图,直线y=﹣x+6分别与x轴、y轴交于A、B两点;直线y=x与AB交于点C,与过点A且平行于y轴的直线交于点D.点E从点A出发,以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动.过点E作x轴的垂线,分别交直线AB、OD于P、Q两点,以PQ为边向右作正方形PQMN,设正方形PQMN与△ACD重叠部分(阴影部分)的面积为S(平方单位),点E的运动时间为t(秒).
(1)求点C的坐标;
(2)当0<t<5时,求S与t之间的函数关系式,并求S的最大值;
(3)当t>0时,直接写出点(4,)在正方形PQMN内部时t的取值范围.
例10、如图,直线的解析式为,它与轴、轴分别相交于两点.平行于直线的直线从原点出发,沿轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动,它与轴、轴分别相交于两点,设运动时间为秒().
(1)求两点的坐标;
(2)用含的代数式表示的面积;
(3)以为对角线作矩形,记和重合部分的面积为,
①当时,试探究与之间的函数关系式;
②在直线的运动过程中,当为何值时,为面积的
三、课后练习
1、如图,在平面直角坐标系中,有A(0,5),B(5,0),C(0,3),D(3,0)且AD与BC相交于点E,连接AB,则△ABE的面积是。
2、已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1交于点C,点P是第二象限内直线BC上的动点.若△APC的面积是6,则点P的坐标为。
3、(衢州一模)在平面直角坐标系xOy中,点A1,A2,A3,…和B1,B2,B3,…分别在直线y=kx+b和x轴上.△OA1B1,△B1A2B2,△B2A3B3,…都是等腰直角三角形,如果A1(1,1),A2(),那么点An的纵坐标是.
4、(苏州一模)正方形ABCD,矩形EFGH均位于第二象限内,它们的边平行于x轴或y轴,其中点A,E在直线OM上,点C,G在直线ON上,O为坐标原点,点A的坐标为(﹣3,3),正方形ABCD的边长为1.若矩形EFGH(GF>EF)的周长为14,面积为12,则点F的坐标为.
5、(2014•高港区二模)如上2、3图,平面直角坐标系中,原点为O,点A、M的坐标分别为
(0,8)、(3,4),AM的延长线交x轴于点B.点P为线段AO上的一个动点,点P从点O沿OA方向以1个单位/秒的速度向A运动,正方形PCEF边长为2(点C在y轴上,点E、F在y轴右侧).
设运动时间为t秒.
(1)正方形PCEF的对角线PE所在直线的函数表达式为(用含t的式子表示),若正方形PCEF的对角线PE所在直线恰好经过点M,则时间t为秒.
(2)若正方形PCEF始终在△AOB内部运动,求t的范围.
(3)在条件
(2)下,设△PEM的面积为y,求y与t的函数表达式.
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