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(2)
(2)a22ab+b2.小颖写出了如下的算式小颖写出了如下的算式小颖写出了如下的算式小颖写出了如下的算式:
(ab)2=a+(b)2(ab)2=她是怎么想的她是怎么想的她是怎么想的她是怎么想的?
利用两数和的利用两数和的利用两数和的利用两数和的完全平方公式完全平方公式完全平方公式完全平方公式推证公式推证公式推证公式推证公式(aabb)22=aa+(bb)22=22+22+22aaaa(bb)(bb)=aa2222aabbbb22.+你能继续做下去吗你能继续做下去吗你能继续做下去吗你能继续做下去吗?
的证明的证明(a+b)2=a2+2ab+b2.(ab)2=a22ab+b2.2aba2+b2(ab)2=a22ab+b2初初识识完全平方完全平方公式公式aaaabbbba2ababb2结构特征结构特征结构特征结构特征:
左边是左边是左边是左边是的平方的平方的平方的平方;
二项式二项式二项式二项式右边是右边是右边是右边是a2+b2(两数和两数和两数和两数和)(差差差差)(aa+bb)22=aa22aabbbb(aabb)=aa2222aabb+bb22.=(aabb)22aabbaabbaaaaaabbbb(aabb)bbbb(aabb)22aa22+22aabb+bb22a+bab两数的平方和两数的平方和两数的平方和两数的平方和+加上加上加上加上(减去减去减去减去)2ab这两数乘积的两倍这两数乘积的两倍这两数乘积的两倍这两数乘积的两倍.(aabb)22=aa2222aabb+bb22几几几几何何何何解解解解释释释释:
用自己的语用自己的语用自己的语用自己的语言叙述上面言叙述上面言叙述上面言叙述上面的公式的公式的公式的公式语言表述语言表述语言表述语言表述:
两数和两数和两数和两数和的平方的平方的平方的平方等于等于等于等于这两数的平方和这两数的平方和这两数的平方和这两数的平方和加上加上加上加上这两数乘积的两倍这两数乘积的两倍这两数乘积的两倍这两数乘积的两倍.22(差差差差)(减去减去减去减去)例题解析例题解析学一学学一学例例例例利用完全平方公式计算:
利用完全平方公式计算:
(1)
(1)(2(2xx3)3)22;
(2)
(2)(4(4xx+55yy)22;
(3)(3)(mnmnaa)22使用完全平方公式与平方差公式的使用一样使用完全平方公式与平方差公式的使用一样使用完全平方公式与平方差公式的使用一样使用完全平方公式与平方差公式的使用一样,注意注意注意注意先把要计算的式子与完全平方公式对照先把要计算的式子与完全平方公式对照先把要计算的式子与完全平方公式对照先把要计算的式子与完全平方公式对照,明确个是明确个是明确个是明确个是aa,哪个是哪个是哪个是哪个是b.b.第一数第一数第一数第一数22xx44xx2222xx的平方的平方的平方的平方,()()22减去减去减去减去22xx第一数第一数第一数第一数与第二数与第二数与第二数与第二数22xx33乘积乘积乘积乘积的的的的22倍倍倍倍,22加上加上加上加上+第二数第二数第二数第二数33的平方的平方的平方的平方.22=1212xx+99;
阅读阅读
(2)(3)
(2)(3).解:
解:
(1)(2(2xx3)3)22做题时要做题时要做题时要做题时要边念边写:
边念边写:
=33随堂练习随堂练习随堂练习随堂练习
(1)(x2y)2;
(2)(2xy+x)2;
计算:
(3)(n+1)2n2.(4)9.92纠纠错错练练习习指出下列各式中的错误,并加以改正:
指出下列各式中的错误,并加以改正:
(1)
(1)(2(2aa1)1)2222aa2222aa+1;
1;
(2)
(2)(2(2aa+1)1)2244aa22+11;
(3)(3)(aa1)1)22aa2222aa1.1.解解解解:
(1)
(1)
(1)
(1)第一数第一数第一数第一数被被被被平方平方平方平方时时时时,未添括号未添括号未添括号未添括号;
第一数与第二数乘积的第一数与第二数乘积的第一数与第二数乘积的第一数与第二数乘积的2222倍倍倍倍少乘了一个少乘了一个少乘了一个少乘了一个2222;
应改为应改为应改为应改为:
(2(2aa1)1)22(22aa)222222aa1+1;
1+1;
(2)
(2)
(2)
(2)少了少了少了少了第一数与第二数乘积的第一数与第二数乘积的第一数与第二数乘积的第一数与第二数乘积的2222倍倍倍倍(丢了一项丢了一项丢了一项丢了一项);
(2(2aa+1)1)22(22aa)22+2222aa11+1;
+1;
(3)(3)(3)(3)第一数平方第一数平方第一数平方第一数平方未添括号未添括号未添括号未添括号,第一数与第二数乘积的第一数与第二数乘积的第一数与第二数乘积的第一数与第二数乘积的2222倍倍倍倍错了符号错了符号错了符号错了符号;
第二数的平方第二数的平方第二数的平方第二数的平方这一项这一项这一项这一项错了符号错了符号错了符号错了符号;
(aa1)1)22(aa)2222(aa)11+1122;
拓拓展展练练习习下列等式是否成立下列等式是否成立下列等式是否成立下列等式是否成立?
说明理由说明理由说明理由说明理由
(1)
(1)(4a4a+1)1)22=(1=(14a)4a)22;
(2)
(2)(4a4a1)1)22=(4a=(4a+1)1)22;
(3)(3)(4a(4a1)(11)(14a)4a)(4a(4a1)(4a1)(4a1)1)(4a(4a1)1)22;
(4)(4)(4a(4a1)
(1)(114a)4a)(4a(4a1)(4a1)(4a+1).1).
(1)
(1)由加法交换律由加法交换律由加法交换律由加法交换律4a4a+llll4a.4a.成立成立成立成立理由理由理由理由:
(2)
(2)4a4a11(4a+1)(4a+1),成立成立成立成立(4a4a1)1)22(4a(4a+1)1)22(4a+1)(4a+1)22.(3)(3)(1(14a)4a)(11+4a)4a)不成立不成立不成立不成立即即即即(1(14a)4a)(4a(4a1)1)(4a(4a1)1),(4a(4a1)(11)(14a)4a)(4a(4a1)1)(4a(4a1)1)(4a(4a1)(4a1)(4a1)1)(4a(4a1)1)22.不成立不成立不成立不成立(4)(4)右边应为右边应为右边应为右边应为:
(4a(4a1)(4a+1).1)(4a+1).平平方方差差公公式式计算下列各题计算下列各题计算下列各题计算下列各题:
做一做做一做
(1)
(1)(xx+3)(3)(xx3)3);
(2)
(2)(1(1+22aa)
(1)(122aa);
(3)(3)(xx+44yy)()(xx44yy);
(4)(4)(yy+55zz)()(yy55zz);
=xx229;
9;
=1144aa22;
=xx221616yy22;
=yy222525zz22;
观察观察观察观察&
发现发现发现发现观察以上算观察以上算观察以上算观察以上算式及其运算结果,式及其运算结果,式及其运算结果,式及其运算结果,你发现了什么规律?
你发现了什么规律?
用自己的语用自己的语用自己的语用自己的语言叙述你的言叙述你的言叙述你的言叙述你的发现发现发现发现.=xx223322;
=1122(2(2aa)22;
=xx22(4(4y)y)22;
=yy22(5(5z)z)22.(a+b)(ab)=a2b2.两数和与这两数差的积两数和与这两数差的积两数和与这两数差的积两数和与这两数差的积,等于等于等于等于这两数的平方的差这两数的平方的差这两数的平方的差这两数的平方的差.用式子表示,即:
用式子表示,即:
初初识识平平方方差差公公式式(a+b)(ab)=x2b2
(1)
(1)
(1)
(1)公式左边两个二项式必须是公式左边两个二项式必须是公式左边两个二项式必须是公式左边两个二项式必须是相同两数的和与差相乘;
相同两数的和与差相乘;
且且且且左边两括号内的第一项相等、左边两括号内的第一项相等、左边两括号内的第一项相等、左边两括号内的第一项相等、第二项符号相反第二项符号相反第二项符号相反第二项符号相反互为相反数互为相反数互为相反数互为相反数(式式式式);
(2)
(2)
(2)
(2)公式右边是这两个数的平方差;
公式右边是这两个数的平方差;
即即即即右边是左边右边是左边右边是左边右边是左边括号内的括号内的括号内的括号内的第一项的平方第一项的平方第一项的平方第一项的平方减去第二项的平方减去第二项的平方减去第二项的平方减去第二项的平方.(3)(3)(3)(3)公式中的公式中的公式中的公式中的aa和和和和bb可以代表数,可以代表数,可以代表数,可以代表数,也可以是代数式也可以是代数式也可以是代数式也可以是代数式特征特征结构结构例题解析例题解析学一学学一学例例例例利用平方差公式计算:
利用平方差公式计算:
(1)
(1)(5(5+66xx)(5)(566xx);
(2)
(2)(xx+22yy)()(xx22yy);
);
(3)(3)(mm+nn)()(mmnn).).解解解解:
(1)
(1)(5(5+66xx)(5)(566xx)=5555第一数第一数第一数第一数aa5522平方平方平方平方66xx66xx第二数第二数第二数第二数bb平方平方平方平方要用
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