广东省惠州市2011届高三第三次调研考试(文科数学)(参考答案及评分标准).doc
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惠州市2011届高三第三次调研考试
数学试题(文科)
本试卷共6页,21小题,满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
参考公式:
锥体的体积公式,其中是锥体的底面积,是锥体的高.
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,满分50分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求.
1.已知复数,,则z=在复平面上对应的点位于()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知向量,且,则向量与的夹角为()
A.B.C.D.
3.在等比数列中,则()
A.3B.C.3或D.或
4.设表示平面,表示直线,给定下列四个命题:
①;②;
③;④.
其中正确命题的个数有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
5.是()
A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数
C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数
6.命题“”的否命题是()
A.B.若,则
C.D.
7.若方程在内有解,则的图象是()
8.设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同,离心率为,则此椭圆的方程为()
A. B. C. D.
9.已知定义域为(-1,1)的奇函数又是减函数,且则a的取值范围是()
A.(3,)B.(2,3)C.(2,4) D.(-2,3)
10.对任意实数,定义运算,其中是常数,等式右边的运算是通常的加法和乘法运算。
已知,并且有一个非零常数,使得对任意实数
,都有,则的值是()
A. B. C. D.
正视图
俯视图
侧视图
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,满分20分.其中14~15题是选做题,考生只需选做其中一题,两题全答的,只以第一小题计分.)
(一)必做题:
第11、12、13题为必做题,每道试题都必须做答。
11.已知函数,则_____________.
12.已知点P(x,y)满足条件的最大值为8,则k=_____________.
13.如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为2的
等腰三角形,俯视图是半径为1的半圆,则该几何体
的体积是_____________.
(二)选做题(14—15题,考生只能从中选做一题)
14.(坐标系与参数方程选做题)已知直线与圆,
则上各点到的距离的最小值为_____________.
15.(几何证明选讲选做题)如图,已知⊙O的割线PAB交⊙O于A,B
两点,割线PCD经过圆心,若PA=3,AB=4,PO=5,则⊙O的半径为_____________.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.
(★请在答题卷的指定区域内作答,否则该题计为零分.)
16.(本小题满分12分)
如图某河段的两岸可视为平行,为了测量该河段的宽度,在河段的一岸边选取两点A、B,观察对岸的点C,测得,,且米。
(1)求;
(2)求该河段的宽度。
17.(本题满分12分)
某高校在2010年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如下左图所示.
(1)请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据,再在答题纸上完成下列频率分布直方图;
(2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试,求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?
(3)在
(2)的前提下,学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试,
求第4组至少有一名学生被考官A面试的概率?
组号
分组
频数
频率
第1组
5
0.050
第2组
①
0.350
第3组
30
②
第4组
20
0.200
第5组
10
0.100
合计
100
1.000
频率分布表
18.(本题满分14分)如图,己知中,,,且
(1)求证:
不论为何值,总有
(2)若求三棱锥的体积.
19.(本题满分14分)已知动圆过定点,且与定直线相切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程;
(2)若是轨迹的动弦,且过,分别以、为切点作轨迹的切线,设两切线交点为,证明:
.
20.(本题满分14分)已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)若过点可作曲线的三条切线,求实数的取值范围.
21.(本题满分14分)已知函数的图象经过点和,记
(1)求数列的通项公式;
(2)设,若,求的最小值;
(3)求使不等式对一切均成立的最大实数.
惠州市2011届高三第三次调研考试
数学试题(文科)答案
一.选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
B
C
C
D
A
B
A
1.【解析】∵zl·z2=3-i,故选D。
2.【解析】由=cos=,故,选B。
3.【解析】或
或,故选C。
4.【解析】考虑的情形,则排除①③,故正确命题有②、④,故选B。
5.【解析】=,故选C。
6.【解析】由原命题与否命题的关系易得正确答案为C。
7.【解析】方程在内有解,即故选D。
8.【解析】抛物线的焦点为(2,0),∴椭圆焦点在x轴上且半焦距为2,
∴,∴,∴椭圆的方程为故选A。
9.【解析】由条件得f(a-3)<f(a2-9),即∴a∈(2,3)故选B。
10.【解析】由定义有对任意实数x恒成立,且m0,令
∴5x-mx=x对任意实数x恒成立,∴m=4.故选A。
二.填空题(本大题每小题5分,共20分,把答案填在题后的横线上)
11.8;12.k=-6;13.;14.;15.2。
11.【解析】。
12.【解析】画图,联立方程组得,代入
13.【解析】由三视图知几何体的直观图是半个圆锥,。
14.【解析】圆方程为,∴,∴距离最小值为。
15.【解析】设圆的半径为R,由得解得R=2。
三、解答题:
本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.解:
(1)
………………4分
(2)∵,
∴,
由正弦定理得:
∴………………7分
如图过点B作垂直于对岸,垂足为D,则BD的长就是该河段的宽度。
在中,∵,………………9分
∴=
=(米)………………12分
17.解:
(1)由题可知,第2组的频数为人,………………1分
第3组的频率为,………………2分
频率分布直方图如下:
………………5分
(2)因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:
第3组:
人,………6分第4组:
人,………7分
第5组:
人,………8分所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人。
(3)设第3组的3位同学为,第4组的2位同学为,第5组的1位同学为,
则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下:
……………10分
第4组至少有一位同学入选的有:
9种可能。
所以其中第4组的2位同学为至少有一位同学入选的概率为…………12分
18.
(1)证明:
因为AB⊥平面BCD,所以AB⊥CD,
又在△BCD中,∠BCD=900,所以,BC⊥CD,又AB∩BC=B,
所以,CD⊥平面ABC,…………3分
又在△ACD,E、F分别是AC、AD上的动点,
且
所以,不论为何值,EF//CD,总有EF⊥平面ABC:
………7分
(2)解:
在△BCD中,∠BCD=900,BC=CD=1,所以,BD=,
又AB⊥平面BCD,所以,AB⊥BD,
又在Rt△ABD中,∴AB=BDtan。
………………10分
由
(1)知EF⊥平面ABE,
所以,三棱锥A-BCD的体积是………………14分
19.解:
(1)依题意,圆心的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线上……3分
因为抛物线焦点到准线距离等于4,所以圆心的轨迹是………………6分
(2)………………8分
,, ………11分
抛物线方程为 所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是
,。
………12分
………13分
所以,………14分
20.解:
(1)………2分
∴曲线在处的切线方程为,即………4分
(2)过点向曲线作切线,设切点为
则
则切线方程为………………6分
将代入上式,整理得。
∵过点可作曲线的三条切线
∴方程(*)有三个不同实数根.……………8分
记,=.
令或1.……………10分
则的变化情况如下表
递增
极大
递减
极小
递增
当有极大值有极小值.…………12分
由题意有,当且仅当即时,
函数有三个不同零点.
此时过点可作曲线的三条不同切线。
故的范围是…………14分
21.解:
(1)由题意得,解得,…………2分
…………4分
(2)由
(1)得,①
②①-②得
.,…………
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