一元二次方程解法及其经典练习题.doc
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一元二次方程解法及其经典练习题
方法一:
直接开平方法(依据平方根的定义)
平方根的定义:
如果一个数的平方等于a(),那么这个数叫做a的平方根
即:
如果那么注意;x可以是多项式
一、用直接开平方法解下列一元二次方程。
1.2、3、4.
5.(2x+1)2=(x-1)2.6.(5-2x)2=9(x+3)2.7.
方法二:
配方法解一元二次方程
1.定义:
把一个一元二次方程的左边配成一个,右边为一个,然后利用开平方数求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
2.配方法解一元二次方程的步骤:
(1)
(2)
(3)4)(5)
二、用配方法解下列一元二次方程。
1、.2、3、
4、5、6、
方法三:
公式法
1.定义:
利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法
2.公式的推导:
用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)
解:
二次项系数化为1,得,
移项,得,
配方,得,
方程左边写成平方式,
∵a≠0,∴4a20,有以下三种情况:
(1)当b2-4ac>0时,,
(2)当b2-4ac=0时,。
(3)b2-4ac<0时,方程根的情况为。
3.由上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定,因
(1)式子叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的,通常用字母“△”表示。
当△0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根;
当△0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根;
当△0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)实数根。
(2)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当≥0时,将a、b、c代入式子就得到方程的根.这个式子叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.
4.公式法解一元二次方程的步骤:
(1)
(2)(3)
(4)(5)
二、用公式解法解下列方程。
1、2、3、
4、5、6、
7.x2+4x-3=0. 8.
方法四:
因式分解法
1.定义:
当一元二次方程的一边为,而另一边易于分解成两个时,然后令每一个因式为零分别解之,从而得到一元二次方程解的方法叫做因式分解法
2.步骤:
(1)
(2)(3)
(4)(5)
3.因式分解的方法:
(1)提公因式法:
(3)公式法:
平方差:
完全平方:
(3)十字相乘法:
②③
二、用因式分解法解下列一元二次方程。
1、2、3、
4、5、6、
三、用适当的方法解下列一元二次方程。
(选用你认为最简单的方法)
1、2、3、4.
5、6、7.x2+4x-12=08.
9、10、11、
12、13、14、
15.16、17、
18、19、20、
解答题:
类型一;知道根的情况,利用判别式列不等,求参数的取值范围
1、已知一元二次方程.
(1)若方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围.
(2)若方程有两个相等的实数根,求此时方程的根
2.k为何值时,方程kx2-6x+9=0有:
(1)不等的两实根;
(2)相等的两实根;(3)没有实根.
3、已知方程2(m+1)x2+4mx+3m=2,根据下列条件之一求m的值.
(1)方程有两个相等的实数根;
(2)方程的一个根为0.
4.如果关于x的一元二次方程2x(ax-4)-x2+6=0没有实数根,求a的最小整数值.
5.若方程(a-1)x2+2(a+1)x+a+5=0有两个实根,求正整数a的值
类型二:
证明一元二次方程根的情况。
1、无论为何值时,方程总有两个不相等的实数根吗?
给出答案并说明理由
2.求证:
不论k取任何值,方程(k2+1)x2-2kx+(k2+4)=0都没有实根.
3.已知方程x2+2x-m+1=0没有实根,求证:
方程x2+mx=1-2m一定有两个不相等的实根.
4.已知关于x的一元二次方程mx2-(m2+2)x+2m=0.
(1)求证:
当m取非零实数时,此方程有两个实数根;
(2)若此方程有两个整数根,求m的值.
6
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- 一元 二次方程 解法 及其 经典 练习题