一元二次方程根的判别式、根与系数的关系.doc
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一元二次方程根的判别式、根与系数的关系
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一、
二、
一、选择题
1.B【05资阳】若关于x的方程x2+2(k-1)x+k2=0有实数根,则k的取值范围是
A. B. C. D.k≥
2.A【05杭州】若是一元二次方程的根,则判别式和完全平方式的关系是:
(A)(B)(C)(D)大小关系不能确定
3.A【05嘉兴】已知关于x的一元二次方程有实数根,则实数a的取值范围是()
A.a≤1B.a<1C.a≤-1D.a≥1
4.D【05台州】下列关于的一元二次方程中,有两个不相等的实数根的方程是()
(A)(B)
(C)(D)
5.A【05台州】若、是一元二次方程的两根,则的值是()
(A)(B)(C)(D)
6.A【05温州】已知x1、x2是方程x2-3x+1=0的两个实数根,则的值是( )
A、3 B、-3 C、 D、1
7.D【05武汉】不解方程,判别方程5-7x+5=0的根的情况是( ).
(A)有两个相等的实数根 (B)有两个不相等的实数根
(C)只有一个实数根 (D)没有实数根
8.C【05常德】已知方程x2+(2k+1)x+k2-2=0的两实根的平方和等于11,k的取值是()
A.-3或1 B.-3 C.1 D.3
9.A【05连云港】满足“两实数根之和等于3”的一个方程是
(A)(B)
(C)(D)
10.B【05无锡】一元二次方程的根为()
A、B、C、D、
11.A【05泸州】下列方程中,没有实数根的是
A.B.C. D.
12.D【05枣庄】两个不相等的实数m,n满足m2-6m=4,n2-6n=4,则mn的值为()
(A)6 (B)-6 (C)4 (D)-4
13.B【05漳州】关于x的一元二次方程的两根为那么代数式的值为()
ABC2D-2
14.B【05梅州】方程x2-5x-1=0
A、有两个相等实根B、有两个不等实根
C、没有实根D、无法确定
15.D【05东营】两个不相等的实数m,n满足,,则mn的值为
(A) 6 (B) -6
(C) 4 (D) -4
16.D【05厦门】已知:
a+b=m,ab=-4,化简(a-2)(b-2)的结果是
A.6B.2m-8C.2mD.-2m
17.C【05毕节】方程组的解是,那么方程x2+ax+b=0()
A.有两个不相等实数根B.有两个相等实数根
C.没有实数根D.有两个根为2和3
18.A【05泉州】一元二次方程的根的情况为()
A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根
C、只有一个实数根 D、没有实数根
二、填空题
1.【05内江】等腰△ABC中,BC=8,AB、AC的长是关于的方程的两根,则的值是 16或25 。
2.【05无锡】设x1、x2是方程的两个实数根,则x1+x2=__2___;x1·x2=__-2___.
3.【05上海】如果关于x的方程有两个相等的实数根,那么a= 4
4.【05泸州】若、为方程的两根,则= 3
5.【05曲靖】已知关于x的方程有两个不相等的实数根,那么m的最大整数值是1。
6.【05太原】解方程,判别方程2y2―8y+5=0的根的情况是___有两个不相等的正实数_________。
三、解答题
1.【05绵阳】已知关于x的方程kx2-2(k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根,
(1)求k的取值范围;
(2)是否存在实数k,使此方程的两个实数根的倒数和等于0?
若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
【解】.
(1)∵方程有两个不相等的实数根,∴Δ=[-2(k+1)]2-4k(k-1)>0,且k≠0,解得k>-1,且k≠0.即k的取值范围是k>-1,且k≠0.
(2)假设存在实数k,使得方程的两个实数根x1,x2的倒数和为0.
则x1,x2不为0,且,即,且,解得k=-1.
而k=-1与方程有两个不相等实根的条件k>-1,且k≠0矛盾,
故使方程的两个实数根的倒数和为0的实数k不存在.
2.【05南通】已知关于的方程有两个不相等的实数根、,且.
(1)求证:
;
(2)试用的代数式表示;
(3)当时,求的值.
【解】⑴证明:
∵关于的方程有两个不相等的实数根,
∴△=,∴.
又,∴.
⑵或
(3)当时,k=1.当时,k不存在.所求的k的值为1.
3.【05陕西】已知:
x1、x2是关于x的方程x2+(2a-1)x+a2=0的两个实数根
且(x1+2)(x2+2)=11,求a的值。
【解】∵x1、x2是方程x2+(2a-1)x+a2=0的两个实数根,
∴x1+x2=1-2a,x1﹒x2=a2
∵(x1+2)(x2+2)=11,∴x1x2+2(x1+x2)+4=11
∴a2+2(1-2a)-7=0,即a2-4a-5=0。
解得a=-1,或a=5。
又∵Δ=(2a-1)2-4a2=1-4a≥0,∴a≤。
∴a=5不合题意,舍去。
∴a=-1
4.【05北京】已知:
关于x的方程有两个不相等的实数根和,并且抛物线与x轴的两个交点分别位于点(2,0)的两旁。
(1)求实数a的取值范围;
(2)当时,求a的值。
【解】
(1)解法一:
∵关于x的方程有两个不相等的实数根
解得:
,且
设抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为、,且
∴α、β是关于x的方程的两个不相等的实数根
∴a为任意实数<2>
由根与系数关系得:
∵抛物线与x轴的两个交点分别位于点(2,0)的两旁
解得:
由<1>、<2>、<3>得a的取值范围是
解法二:
同解法一,得:
,且
∵抛物线与x轴的两个交点分别位于点(2,0)两旁,且抛物线的开口向上
∴当时,
解得:
由<1>、<2>得a的取值范围是
(2)解:
∵和是关于x的方程的两个不相等的实数根
不妨设
,即
解这个方程,得:
经检验,都是方程的根
,舍去
为所求
5.【05包头】已知关于x的一元二次方程2x2+4x+m=0。
(1)若x=1是方程的一个根,求方程的另一个根;
(2)若x1、x2是方程的两个不同的实数根,且x1和x2满足:
x12+x22+2x1x2―x12x22=0,求m的值。
【解】
(1)―3
(2)m=±4。
6.【05梅山】关于x的方程x2-(2k+1)x+k2=0。
⑴如果方程有实数根,求k的取值范围。
⑵设x1、x2是方程的两根,且,求k的值。
【解】⑴∵方程有实数根 ∴△≥0 即 [(2k+1)]2-4k2≥0
4k2+4k+1-4k2≥0 4k+1≥0 k≥
⑵解:
∵x、x2是方程的两根 ∴x1+x2=2k+1,x1·x2=k2
∵ 又∵ ∴
∴, 又∵k≥ ∴应舍去,k=
7.【05重庆课改】解方程:
x-2x-2=0
【解】方程x-2x-2=0的解为:
x==
即x=1,x=1.
另解:
由x-2x-2=0得 =3x-1=
即x=1,x=1.
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