单级旋转倒立摆系统Word文件下载.doc
- 文档编号:15502895
- 上传时间:2022-11-02
- 格式:DOC
- 页数:13
- 大小:922.78KB
单级旋转倒立摆系统Word文件下载.doc
《单级旋转倒立摆系统Word文件下载.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《单级旋转倒立摆系统Word文件下载.doc(13页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
为加在横杆上的力矩;
为摆杆质量;
为摆杆长度;
为摆杆的转动惯量;
为横杆的质量;
为横杆的长度;
为横杆的转动惯量;
为横杆在力矩作用下转动的角度;
为摆杆与垂直方向的夹角;
N和H分别为摆杆与横杆之间相互作用力的水平和垂直方向的分量。
倒立摆模型受力分析如图2所示。
图2倒立摆模型受力分析
摆杆水平方向受力平衡方程:
(—横杆的转动弧长即位移)
摆杆垂直方向受力平衡方程:
摆杆转矩平衡方程:
横杆转矩平衡方程:
考虑到摆杆在设定点附近做微小振动,对上式进行线性化,即,,,其中,近似线性化得到,
整理上式可得倒立摆的状态方程:
本文参数代入计算可得:
取状态变量如下:
故
3稳定性和能控性分析
3.1稳定性分析
判断一个系统是否稳定,只需判断该系统传递函数的极点是否都在左半平面。
编写Matlab语句可得该系统的传递函数,即
A=[0,1,0,0;
0,0,-4.642,0;
0,0,0,1;
0,0,12.379,0];
B=[0;
11.053;
0;
-9.474];
C=[1,0,0,0];
D=0;
Gss=ss(A,B,C,D);
G1=zpk(Gss)
G1=
11.053(s+2.898)(s-2.898)
--------------------------
s^2(s-3.518)(s+3.518)
Continuous-timezero/pole/gainmodel.
从结果可以看出,传递函数存在一个在复平面右半侧的极点,故该系统是不稳定的。
3.2能控性分析
判断系统是否完全能控,只需判断该系统能控性矩阵是否为满秩,即
若,则该系统是完全能控的。
根据Matlab语句中Qc=ctrb(A,B),即
Qc=ctrb(A,B);
n1=rank(Qc)
n1=
4
从结果可以看出该系统是完全能控的,可以实现任意极点的配置。
3.3能观测性分析
与判断能控性类似,只需判断该系统能观测性矩阵是否为满秩,即
若,该系统是完全能观测的。
借用Matlab语句中Qo=obsv(A,C),即
Qo=obsv(A,C);
n2=rank(Qo)
n2=
从结果可以看出该系统是完全能观测的,故可以配置状态观测器
4状态反馈分析
4.1原系统Simulink仿真及分析
根据现代控制原理,绘制原系统的状态模拟图,如图3所示。
M
-9.474
y
-4.642
12.397
11.053
图3原系统状态模拟图
运用MATLAB中的Simulink来对原系统进行仿真,首先可以得出原系统的Simulink仿真模型如下图4所示
图4原系统Simulink仿真图
通过Simulink仿真可以得到原系统的零状态响应,其中初始值,,响应曲线如下图所示
图5原系统和零状态响应曲线
从仿真波形可以看出,在初始扰动情况下,摆杆不会稳定到垂直位置,横杆会一直运动,故原系统不稳定,这与上文所述传递函数有左半平面极点符合。
4.2状态反馈分析
由于原系统是不稳定的,要使系统稳定,需要加入状态反馈,使系统的极点全部位于左半平面,状态反馈的结构图如图6所示。
图6状态反馈系统的结构图
控制系统的各种特性及其品质指标在很大程度上是由其闭环系统的零点和极点的位置决定。
极点配置问题就是通过对状态反馈矩阵的选择,使其闭环系统的极点配置在所希望的位置上,从而达到期望的性能指标的要求。
极点配置是一个非常复杂的问题,是一个工程实践与理论相结合的问题。
我们这里采用一种工程实践中经常用到的简便方法-主导极点法,其基本思路是先根据期望的性能指标和经验公式确定一对主导闭环极点,然后将另外的非主导极点放在复平面上远离主导极点的位置设倒立摆控制系统期望的性能指标为:
阻尼系数
ξ=0.6,调节时间
ts=2s。
亦即控制系统在任意给定的初始条件下,能够以适当的阻尼
ξ=0.6
(大约
10%的超调),在
2s
钟内将摆杆恢复到垂直平衡位置。
根据控制理论的经验公式得到无阻尼自然频率为:
ωn=4/(ts•ξ)=4/1.2=3.33
P=wn•ξ
由上述条件的很容易构建一个二阶系统,其两个极点为:
p1=-2.0000+2j
p2=-2.0000-2j
它们就是需要的主导极点,控制系统的性能主要由这两个主导极点决定。
另外两个非主导极点(为简化取两个实数极点)经过反复试验整定,分别取距离两个主导极点4倍和5倍的远处,即:
p3=-8.0000
p4=-10.0000
本文设计的状态反馈要求系统期望的特征值为:
-10;
-8;
-2+j;
-2-j。
手算求解状态反馈阵K有待定系数法和直接法,由于矩阵A阶数较高,本文使用Matlab中K=place(A,B,P1),求解K。
P1=[-10;
-2+2j;
-2-2j];
K=place(A,B,P1)
K=
-6.8931-4.9957-26.2369-8.1525
状态反馈
运用MATLAB中的Simulink来对原系统进行仿真,得到状态反馈模型仿真图如下图7所示。
图7状态反馈Simulink仿真图
同理可得,初始值,的零状态响应,响应曲线如图8所示。
图8状态反馈系统和零状态响应曲线
从响应曲线可以看出,在,的初始扰动下,经过3s左右的时间,摆杆回到垂直的位置,这说明加入状态反馈后可以使原系统达到稳定状态。
5带状态观测器状态反馈系统分析
5.1状态观测器的设计
由于在系统建模时状态变量并不是都是能直接测量,因此人为地构建一个系统来实现状态重构也即状态观测。
状态观测器的结构图如下,即
图9状态观测器的结构图
观测器的状态方程为:
显然选择观测器的系数矩阵的特征值均具有负复数,就可以使状态估计逐渐逼近状态的真实值。
本文设计全维状态观测器的特征值为:
-10,-8,-2+2j,-2-2j,同理根据语句G=place(A’,C’,P2)可得
5.2带状态观测器状态反馈分析
带观测器的状态反馈系统由3个部分组成,即原系统,观测器和状态反馈。
图10综合后Simulink仿真图
初始值,的零状态响应曲线如下
图11综合后零状态响应曲线
从上面响应曲线可以看出,加入观测器后系统在3s左右达到稳定,这是因为观测器后极点特征值的实部更加偏离原点,极点离远点越近,达到稳定的时间越短。
此外,综合后超调量略有增加。
综合后阶跃响应如图12所示。
图12综合后阶跃响应曲线
从响应曲线可以看出,加入阶跃M=1后,摆杆发生左右来回振荡,振荡幅度较大,最终摆杆处于垂直位置,横杆位于一个具体位置。
6总结
单倒立摆是一个非线性系统,通过近似线性变化,得到一个单输入单输出的线性定常系统。
选择一组状态变量,,,,线性定常系统做稳定性,能控性和能观测性分析,得出原系统是不稳定,完全能控的,完全能观测的。
原系统在参考输入为零的情况下,系统状态在初始扰动的响应不能衰减至零,加入状态反馈后能够衰减至零。
利用状态观测器构成的状态反馈闭环系统零输入响应与直接进行状态反馈的闭环系统相比,暂态过程持续时间较长,这与极点的位置有关。
综合后的阶跃响应达到稳定时间较长,还有剧烈的震荡,这符合实际情况。
7感想
本次课程设计利用现代控制理论建立空间状态变量以及状态反馈的方法,实现单级旋转倒立摆的理论模型,在过程中遇到比较大的问题是关于任意极点配置,如何配置极点能使系统响应速度较快且振荡较小,经过思考和参考文献,选取主导极点法,设定阻尼系数ξ=0.6的一定的调节时间,得到一组主导极点,而另一组极点则利用4~5倍关系求出,最后顺利完成设计。
不足之处在于,响应的时间还是不够快,与实际情况有一定差异,课后我们小组会继续关注这个问题,寻求更好的办法实现。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 旋转 倒立 系统