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定义在该连续介质上的物理性质和物理量,除了在某些孤立的点、线、面上可能奇异或间断外,在变形过程中始终保持为空间点位的连续函数有了这个假设就可利用高等数学中的微积分知识来处理连续介质问题(二二)弹性假设弹性假设4弹性体的变形与载荷在整个加卸载过程中存在一一对应的单值函数关系,且当载荷卸去后变形完全消失,弹性体恢复其初始的形状和尺寸这里的单值函数关系可以是线性的或非线性的,取决于材料性质与变形大小4为了简化,进一步引进如下辅助假设:
4物体在不同点处的弹性性质处处相同实际上,金属材料都可看作均匀的对于混凝土、玻璃钢等非均质材料,如果不细究其不同组份交界面处的局部应力,可以采用在足够大的材料试件上测得的弹性常数来简化成均匀材料但是有些新型材料例功能梯度材料是不能采用这个假设的(三三)均匀性假设均匀性假设(四四)自然状态假设自然状态假设4假设物体不受外力作用和温度的影响,其中便没有应力和变形即不考虑由制造工艺引起的残余应力和装配应力4在经典的弹性力学中还有各向同性假设即材料是各向同性的,现在一些复合材料并不是各向同性的所以就不必用各向同性这个假设了弹性力学的基本方程4弹性力学的理论是建立在几几何何方方程程、平平衡衡方方程程、本本构构方方程程三组方程和边边界条件界条件的基础上4这里给出弹性体的几何方程、平衡方程、本构方程和边界条件
(1)几何方程应变几何方程应变-位移关系位移关系应变张量分量和位移向量分量表示对独立坐标取偏导数采用张量标记时,重复下标表示在该下标的取值范围内求和,三维情况下取值范围为3,二维情况取值范围为2三维情况下的应变-位移关系为:
应变协调方程是从应变位移关系中消去位移而得出的方程,这里列出如下:
应变位移关系也可以用矩阵形式表示:
应变列阵和位移列阵式中的为工程切应变,它们与张量切应变的关系为,微分算子
(2)平衡方程平衡方程应力张量分量和体力向量分量矩阵形式表示应力列阵,体力列阵为的转置矩阵三维平衡方程可写为:
三维平衡方程可写为:
(3)材料的应力材料的应力-应变关系应变关系矩阵形式表示材料的应力-应变关系也称为本构方程,对于各向异性材料的本构方程为材料的本构矩阵本构矩阵是对称的,各向异性材料有21个材料常数正交各向异性材料的本构矩阵这时材料常数为9个各向同性材料的本构矩阵独立的材料常数只有两个:
弹性模量和泊松比各向同性材料的材料常数弹性模量和泊松比剪切模量,体积模量拉梅(Lam)常数材料常数之间的关系力的边界条件(在上)已知的外部作用力边界上外法线的方向余弦在位移边界上的边界条件给定的位移弹性体的全部边界弹性力学的变分原理弹性力学的变分原理4随着工业技术的发展,工程结构的形状也越来越复杂,很多问题得不到分析解,因而求助于数值解而变分原理则是许多数值解的基础.4弹性力学问题,在数学上就是空间连续场的确定问题变分法就是把它归结为一个泛函变分的极值问题或驻值问题应变能和应变余能对于一个弹性体,它的应变能和应变余能定义为应变能应变余能应变能密度应变余能密度二者关系对于弹性材料对于线弹性体,应变能密度和应变余能密度是相等的对于非线性材料二者是不等的此式表示和相对于全功而言是互余关系二次函数关系可以表示为应变和应力的二次函数虚位移原理和最小势能原理4凡是物体几何约束(例如,支承条件)所允许的位移就称为可能位移,取其任意微小的变化量就是虚位移,也就是几何上可能位移的变分根据能量守恒定律,外力在虚位移上所做的功(虚功)必等于物体内部应力在虚应变上所做的功,这就是虚功原理或虚位移原理:
4式中左边第一项是体积力在虚位移上所做的功,第二项则是边界力在虚位移上所做的功,等号右边是应力在虚应变上所做的功,也即应变能其中虚应变由下式求得:
经过推导后虚功原理可化为在内在上需使上式对一切可能的虚位移都成立,必须满足:
4所以是与外载相平衡的静力可能的应力场对问题的精确解来说,满足虚功原理和满足平衡方程与力边界条件是等价的如果仅在积分意义下满足虚功原理,而不能逐点满足平衡方程力边界条件,则为近似解用虚位移原理直接求近似解的步骤是:
4
(1)假设一个满足位移边界条件且连续的可能位移状态在的表达式中含有若干可调整的待定位移参数作为基本未知量4
(2)把代入几何方程和本构关系,求得用位移参数表示的变形可能应力的表达式4(3)把对各位移参数求变分得到相应的虚位移和虚应变4(4)把,和代入虚位移原理,按各位移参数的变分并项令各位移参数变分的系数分别等于零,得到一组虚功方程,其实质是用位移参数表示的近似平衡方程4(5)由虚功方程解出待定位移参数,代回,的表达式就得到所求问题的近似解解的精度与第
(1)步中所选的表达式有关最小势能原理弹性系统的总势能对上式取位移的一次变分根据虚位移原理总势能的二阶变分其中虚位移后的总势能可以写为其中最小势能原理4是应变分量的二次式,是正定函数因此表明系统的总势能不但是极值而且是最小值.这就证明了最小势能原理:
在满足几何约束的各类可能位移状态中在满足几何约束的各类可能位移状态中,以适合平衡以适合平衡方程和外力作用的实际位移所对应的总势能为最小方程和外力作用的实际位移所对应的总势能为最小虚应力原理和最小余能原理4虚应力原理或余虚功原理的叙述是:
位移边界处给定位移在虚反力上所做的余虚功等于应变在虚应力上的余虚功公式表示为:
4所谓虚应力是满足平衡方程和力边界条件的应力的变分(即微小的变化)显然,在力边界上,但位移边界处约束反力未定,4系统的总余能为应变余能与余势之和:
4其中的表达式为:
4应变余能为:
4系统的总余能为4总余能的变分为:
4根据余虚功原理:
4由此二式可得:
4由此可得:
4这就是说,余能的一阶变分等于零相当于弹性力学中的应变位移关系和位移边界条件在域内在上最小余能原理4用前面最小势能原理相同的办法可以证明总余能的二阶变分4因此,最小余能原理可以叙述:
在一切静在一切静力可能状态中力可能状态中,真实状态的总余能最小真实状态的总余能最小4在数学上,通常把问题用微分方程表示称为强形式(strongform),而把问题用泛函的极值来表示时称为弱形式(weakform)泛函的变分所导得的微分方程称为欧拉(Euler)方程,得到的边界条件称为自然边界条件Hellinger-Reissner变分原理4上节分别介绍了最小势能原理和最小余能原理在应用最小势能原理求解问题时,原理本身严格满足了平衡条件,在选取位移函数上,可作一些简化假设,因而可求得问题的近似解在应用最小余能原理求解问题时,原理已严格体现了变形连续条件.变分原理在选取应力函数时,可作一些简化假设,从而求得问题的近似解4这两条原理在求解时分别以位移和应力作为变量,因此又称为一类变量变分原理而且变量位移和应力都是有约束条件的4对最小势能原理,其约束条件为域内的几何方程与位移边界条件;
4对最小余能原理,其约束条件为域内的平衡方程和力的边界条件.4上述一类变量变分原理也称为泛函的条件极值原理下面要讨论的广义变分原理,就是把一类变量变分原理的条件极值化为无条件的驻值在力学中有三类变量:
位移,应力和应变因此就产生了两类变量广义变分原理和三类变量广义变分原理4两类变量广义变分原理最早是由Hellinger于1914年提出的,后来由Reissner于1950年加以完善的因此,通常称为Hellinger-Reissner变分原理,亦称混合变分原理两类变量变分原理可以通过Lagrange乘子法将最小余能原理中的两个变分约束关系(即平衡方程和外力已知条件)解除而建立起来的4最小余能原理的变分约束条件是:
4
(1)平衡方程4
(2)外力边界条件在内在上4现在引用两个待定的拉格朗乘子和可解除变分的约束条件,这样最小余能原理的泛函可写为:
4现在将此式对,进行变分,当达到驻值时,有即:
利用格林公式(散度定理)于是可得:
因为变分,在域内,在上都是独立的,因此有在上在上在内在内在内从第3,4两个方程可以看出与相同,就是位移.将前式中的拉格朗日乘子改为位移就得到两类变量的泛函,它是一个以位移和应力为变量的两类变量的泛函,它的变分可以导出四个方程.在内在内在上在上后三个方程相当于平衡方程,位移边界条件,力的边界条件第一个方程可以有两种力学解释,第一种解释是把方程的左边看作应变,也即已经满足了应力应变关系,则方程就是几何方程,这是原来的最小余能理的解释,另一种解释是把方程的右边看作应变,也即已经满足应变位移关系,那么此方程就是应力应变关系4利用格林公式对两类变量的泛函中的第二项的第一部分进行变换将上式代入两类变量的泛函中,冠以负号便得到与等价的泛函:
现在将此式对,进行变分,当达到驻值时,有:
4由此可以得到与前面相同的四组方程,在中的用代入就是原来Reissner提出的形式4很容易证明和存在着下列关系从力学上看,是系统的总势能的一种推广形式,可称为两类变量的广义势能,是系统的总余能的一种推广的算式,可称为两类变量的广义余能胡海昌-鹫津久一朗变分原理4固体力学中有三类变量,有了两类变量变分原理以后,人们很自然地就想到了三类变量变分原理三类变量的广义变分原理是由我国的学者胡海昌和在美国麻省理工学院的日本学者鹫津久一朗提出的所以,通常称为胡-鹫变分原理(H-W变分原理)4最小势能原理的变分约束条件是:
4现在引入两个待定的拉格朗日乘子和,把变分约束条件式吸收到势能表达式中在内在上4把,作为独立变量,的变分驻值条件给出:
4上式可化为:
4由于,在内,在上,和在上都是独立的,所以得出6个自然条件在上在上在内4由此可见,两个拉格朗日乘子为:
4把拉格朗日乘子代回到前面的中,就得到以,为变量的无条件的广义变分原理的泛函,4将上式进行变分,当达到驻值时即:
4由此可得4在内4在上4在上这就是弹性力学的所有方程和边界条件4采用两类变量变分原理中相同的办法,把的方程冠以负号再对第二项的体积分进行变换可得到与等价的泛函,4将上式进行变分,当达到驻值时,有即:
4由此可得4由此也可得到弹性力学的三组方程和位移及力的边界条件用分部积分的办法,也可以证明4钱伟长把上面所述的两类变量变分原理称为不完全的广义变分原理,因为它们均有约束方程,把三类变量变分原理称为完全的变分原理此外他还给出了其他的各级不完全广义变分原理参数变分原理4前面用拉格朗日乘子法从最小余能原理推导Hellinger-Reissner两变量变分原理的泛函,从最小势能原理推导胡-鹫的三变量变分原理的泛函但是,用拉格朗日乘子法却不能从最小势能原理的泛函直接得到两变量原理的泛函,也不能从最小余能原理的泛函直接导出三变量原理的泛函4为了解决这个矛盾问题,龙驭球,Liu,S和Jiang,Z,荣廷玉,Felippa先后提出了参数变分原理的概念,虽然他们提出的参数变分原理的泛函形式有所不同,但是,思路是一致的,即
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- 计算 固体 01 精品 文档