二次函数综合(定值)问题与解析文档格式.doc
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所以,抛物线的解析式为y=x2﹣1;
(2)证明:
设点A的坐标为(m,m2﹣1),
则AO==m2+1,
∵直线l过点E(0,﹣2)且平行于x轴,
∴点M的纵坐标为﹣2,
∴AM=m2﹣1﹣(﹣2)=m2+1,
∴AO=AM;
(3)解:
①k=0时,直线y=kx与x轴重合,点A、B在x轴上,
∴AM=BN=0﹣(﹣2)=2,
∴+=+=1;
②k取任何值时,设点A(x1,x12﹣1),B(x2,x22﹣1),
则+=+==,
联立,
消掉y得,x2﹣4kx﹣4=0,
由根与系数的关系得,x1+x2=4k,x1•x2=﹣4,
所以,x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1•x2=16k2+8,
x12•x22=16,
∴+===1,
∴无论k取何值,+的值都等于同一个常数1.
点评:
本题是二次函数综合题型,主要考查了待定系数法求二次函数解析式,勾股定理以及点到直线的距离,根与系数的关系,根据抛物线上点的坐标特征设出点A、B的坐标,然后用含有k的式子表示出+是解题的关键,也是本题的难点,计算量较大,要认真仔细.
【例二】.如图,在平面直角坐标系xOy中,△OAB的顶点A的坐标为(10,0),顶点B在第一象限内,且=3,sin∠OAB=.
(1)若点C是点B关于x轴的对称点,求经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式;
(2)在
(1)中,抛物线上是否存在一点P,使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形?
若存在,求出点P的坐标;
若不存在,请说明理由;
(3)若将点O、点A分别变换为点Q(-2k,0)、点R(5k,0)(k>
1的常数),设过Q、R两点,且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N,其顶点为M,记△QNM的面积为,△QNR的面积,求∶的值.
解:
(1)如图,过点作于点.
在中,
y
x
F
P3
B
E
C
D
A
P2
P1
O
,,
.
又由勾股定理,
得.
点在第一象限内,
点的坐标为.
点关于轴对称的点的坐标为. 2分
设经过三点的抛物线的函数表达式为
由
经过三点的抛物线的函数表达式为. 2分
(2)假设在
(1)中的抛物线上存在点,使以为顶点的四边形为梯形.
①点不是抛物线的顶点,
过点作直线的平行线与抛物线交于点.
则直线的函数表达式为.
对于,令或.
而点,.
在四边形中,,显然.
点是符合要求的点. 1分
②若.设直线的函数表达式为.
将点代入,得..
直线的函数表达式为.
于是可设直线的函数表达式为.
由,即.
过点作轴于点,则.
在中,由勾股定理,得.
而.
在四边形中,,但.
③若.设直线的函数表达式为.
将点代入,得
在中,由勾股定理,得
综上可知,在
(1)中的抛物线上存在点,
使以为顶点的四边形为梯形. 1分
(3)由题知,抛物线的开口可能向上,也可能向下.
Q
G
R
M
N
①当抛物线开口向上时,则此抛物线与轴的负半轴交于点.
可设抛物线的函数表达式为.
即.
如图,过点作轴于点.
,
. 2分
②当抛物线开口向下时,则此抛物线与轴的正半轴交于点.
同理,可得. 1分
综上可知,的值为.
【例三】、如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数(为常数)的图象与x轴交于点A(,0),与y轴交于点C.以直线x=1为对称轴的抛物线(为常数,且≠0)经过A,C两点,并与x轴的正半轴交于点B.
(1)求的值及抛物线的函数表达式;
(2)设E是y轴右侧抛物线上一点,过点E作直线AC的平行线交x轴于点F.是否存在这样的点E,使得以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积;
(3)若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点,过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于,两点,试探究是否为定值,并写出探究过程.
二次函数综合题。
(1)∵经过点(﹣3,0),
∴0=+m,解得m=,
∴直线解析式为,C(0,).
∵抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1,且与x轴交于A(﹣3,0),∴另一交点为B(5,0),
设抛物线解析式为y=a(x+3)(x﹣5),
∵抛物线经过C(0,),
∴=a•3(﹣5),解得a=,
∴抛物线解析式为y=x2+x+;
(2)假设存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形,
则AC∥EF且AC=EF.如答图1,
(i)当点E在点E位置时,过点E作EG⊥x轴于点G,
∵AC∥EF,∴∠CAO=∠EFG,
又∵,∴△CAO≌△EFG,
∴EG=CO=,即yE=,
∴=xE2+xE+,解得xE=2(xE=0与C点重合,舍去),
∴E(2,),S▱ACEF=;
(ii)当点E在点E′位置时,过点E′作E′G′⊥x轴于点G′,
同理可求得E′(+1,),S▱ACE′F′=.
(3)要使△ACP的周长最小,只需AP+CP最小即可.
如答图2,连接BC交x=1于P点,因为点A、B关于x=1对称,根据轴对称性质以及两点之间线段最短,可知此时AP+CP最小(AP+CP最小值为线段BC的长度).
∵B(5,0),C(0,),∴直线BC解析式为y=x+,
∵xP=1,∴yP=3,即P(1,3).
令经过点P(1,3)的直线为y=kx+3﹣k,
∵y=kx+3﹣k,y=x2+x+,
联立化简得:
x2+(4k﹣2)x﹣4k﹣3=0,
∴x1+x2=2﹣4k,x1x2=﹣4k﹣3.
∵y1=kx1+3﹣k,y2=kx2+3﹣k,∴y1﹣y2=k(x1﹣x2).
根据两点间距离公式得到:
M1M2===
∴M1M2===4(1+k2).
又M1P===;
同理M2P=
∴M1P•M2P=(1+k2)•=(1+k2)•=(1+k2)•=4(1+k2).
∴M1P•M2P=M1M2,
∴=1为定值.
【例四】
(2013•成都)在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c(b,c为常数)的顶点为P,等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,﹣1),C的坐标为(4,3),直角顶点B在第四象限.
(1)如图,若该抛物线过A,B两点,求该抛物线的函数表达式;
(2)平移
(1)中的抛物线,使顶点P在直线AC上滑动,且与AC交于另一点Q.
(i)若点M在直线AC下方,且为平移前
(1)中的抛物线上的点,当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时,求出所有符合条件的点M的坐标;
(ii)取BC的中点N,连接NP,BQ.试探究是否存在最大值?
若存在,求出该最大值;
若不存在,请说明理由.
二次函数综合题
(1)先求出点B的坐标,然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式;
(2)i)首先求出直线AC的解析式和线段PQ的长度,作为后续计算的基础.
若△MPQ为等腰直角三角形,则可分为以下两种情况:
①当PQ为直角边时:
点M到PQ的距离为.此时,将直线AC向右平移4个单位后所得直线(y=x﹣5)与抛物线的交点,即为所求之M点;
②当PQ为斜边时:
点M到PQ的距离为.此时,将直线AC向右平移2个单位后所得直线(y=x﹣3)与抛物线的交点,即为所求之M点.
ii)由(i)可知,PQ=为定值,因此当NP+BQ取最小值时,有最大值.
如答图2所示,作点B关于直线AC的对称点B′,由分析可知,当B′、Q、F(AB中点)三点共线时,NP+BQ最小,最小值为线段B′F的长度.
(1)由题意,得点B的坐标为(4,﹣1).
∵抛物线过A(0,﹣1),B(4,﹣1)两点,
∴,解得:
b=2,c=﹣1,
∴抛物线的函数表达式为:
y=x2+2x﹣1.
(2)i)∵A(0,﹣1),C(4,3),
∴直线AC的解析式为:
y=x﹣1.
设平移前抛物线的顶点为P0,则由
(1)可得P0的坐标为(2,1),且P0在直线AC上.
∵点P在直线AC上滑动,∴可设P的坐标为(m,m﹣1),
则平移后抛物线的函数表达式为:
y=(x﹣m)2+m﹣1.
解方程组:
∴P(m,m﹣1),Q(m﹣2,m﹣3).
过点P作PE∥x轴,过点Q作QE∥y轴,则
PE=m﹣(m﹣2)=2,QE=(m﹣1)﹣(m﹣3)=2.
∴PQ==AP0.
点M到PQ的距离为(即为PQ的长).
由A(0,﹣1),B(4,﹣1),P0(2,1)可知,
△ABP0为等腰直角三角形,且BP0⊥AC,BP0=.
如答图1,过点B作直线l1∥AC,交抛物线y=x2+2x﹣1于点M,则M为符合条件的点.
∴可设直线l1的解析式为:
y=x+b1,
∵B(4,﹣1),∴﹣1=4+b1,解得b1=﹣5,
∴直线l1的解析式为:
y=x﹣5.
解方程组,得:
∴M1(4,﹣1),M2(﹣2,﹣7).
MP=MQ=2,可求得点M到PQ的距离为.
如答图1,取AB的中点F,则点F的坐标为(2,﹣1).
由A(0,﹣1),F(2,﹣1),P0(2,1)可知:
△AFP0为等腰直角三角形,且点F到直线AC的距离为.
过点F作直线l2∥AC,交抛物线y=x2+2x﹣1于点M,则M为符合条件的点.
∴可设直线l2的解析式为:
y=x+b2,
∵F(2,﹣1),∴﹣1=2+b2,解得b1=﹣3,
∴直线l2的解析式为:
y=x﹣3.
∴M3(1+,﹣2+),M4(1﹣,﹣2﹣).
综上所述,所有符合条件的点M的坐标为:
M1(4,﹣1),M2(﹣2,﹣7),M3(1+,﹣2+),M4(1﹣,﹣2﹣).
ii)存在最大值.理由如下:
由i)知PQ=为定值,则当NP+BQ取最小值时,有最大值.
如答图2,取点B关于AC的对称点B′,易得点B′的坐标为(0,3),BQ=B′Q.
连接QF,FN,QB′,易得FN∥PQ,且FN=PQ,
∴四边形PQFN为平行四边
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- 二次 函数 综合 问题 解析