罗素悖论_精品文档PPT推荐.pptx
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”英国物理学家开尔文(LKelvin)在1900年回顾物理学的发展时也说:
“在已经基本建成的科学大厦中,后辈物理学家只能做一些零碎的修补工作了。
”法国大数学家亨利彭迦莱(JulesHenriPoincar)在1900年的国际数学家大会上也公开宣称,数学的严格性,现在看来可以说是实现了。
然而好景不长,时隔不到两年,科学界就发生了一件大事,这件大事就是罗素(Russell)悖论的发现。
什么是罗素悖论罗素悖论罗素悖论设集合S是由一切不属于自身的集合所组成,即“S=x|xS”。
那么问题是:
S包含于S是否成立?
首先,若S包含于S,则不符合xS,则S不包含于S;
其次,若S不包含于S,则符合xS,S包含于S。
罗素悖论的例子理发师悖论理发师悖论在某个城市中有一位理发师,他的广告词是这样写的:
“本人的理发技艺十分高超,誉满全城。
我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸。
我对各位表示热诚欢迎!
”来找他刮脸的人络绎不绝,自然都是那些不给自己刮脸的人。
可是,有一天,这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了,他本能地抓起了剃刀,你们看他能不能给他自己刮脸呢?
如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”,他就要给自己刮脸,而如果他给自己刮脸呢?
他又属于“给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸。
理发师悖论与罗素悖论是等价的:
如果把每个人看成一个集合,这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。
那么,理发师宣称,他的元素,都是城里不属于自身的那些集合,并且城里所有不属于自身的集合都属于他。
那么他是否属于他自己?
这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。
反过来的变换也是成立的。
“理发师悖论”是很容易解决的,解决的办法之一就是修正理发师的规矩,将他自己排除在规矩之外;
可是严格的罗素悖论就不是这么容易解决的了。
罗素悖论的例子书目悖论书目悖论一个图书馆编纂了一本书名词典,它列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书。
那么它列不列出自己的书名?
这个悖论与理发师悖论基本一致。
罗素悖论的影响十九世纪下半叶,德国数学家康托尔创立了著名的集合论,在集合论刚产生时,曾遭到许多人的猛烈攻击。
但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了,并且获得广泛而高度的赞誉。
数学家们发现,从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。
因而集合论成为现代数学的基石1903年,一个震惊数学界的消息传出:
集合论是有漏洞的。
这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。
罗素的这条悖论使集合论产生了危机。
它非常浅显易懂,而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。
罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。
它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前,导致了数学家对数学基础的研究。
而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。
如围绕着数学基础之争,形成了现代数学史上著名的三大数学流派,而各派的工作又都促进了数学的大发展。
悖论的解决ZF公理系统:
公理系统:
1908年,策梅罗(ErnstZermelo)在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系。
这一公理系统在通过弗兰克尔(AbrahamFraenkel)的改进后被称为ZF公理系统。
在该公理系统中,由于分类公理(Axiomschemaofspecification):
P(x)是x的一个性质,对任意已知集合A,存在一个集合B使得对所有元素xB当且仅当xA且P(x);
因此xx是一个集合并不能在该系统中写成一个集合,由于它并不是任何已知集合的子集;
并且通过该公理,存在集合A=xx是一个集合在ZF系统中能被证明是矛盾的,因此罗素悖论在该系统中被避免了。
lNBG公理系统公理系统冯诺伊曼(vonNeumann)等人提出的NBG系统等。
在该公理系统中,所有包含集合的collection都能被称为类(class),凡是集合也能被称为类,但是某些collection太大了(比如一个collection包含所有集合)以至于不能是一个集合,因此只能是个类。
这同样也避免了罗素悖论。
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