线性规划问题的标准型与解的概念_精品文档PPT推荐.ppt
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在模型中它们是常数。
若记X=(x1,x2xn)T,C=(c1,c2cn),b=(b1,b2bm)TA=(aij)nm=(P1,P2Pn)则标准型亦可记作maxZ=CXAX=bX0或maxZ=Pjxj=bxj0,j=1,2n任何形式的线性规划都可以化为与其等价的标准形式。
任何形式的线性规划都可以化为与其等价的标准形式。
(11)如果)如果目标函数是minZ=cx,则可令Z=-Z,将目标函数变为:
maxZ=-cx(22)如果某)如果某约束条件为不等式:
ai1x1+ai2x2+ainxnbi则在约束条件的左端加一个非负变量xn+i,称之为松弛变量,即可变为等式:
ai1x1+ai2x2+ainxn+xn+i=bi如果某如果某约束条件为不等式:
ai1x1+ai2x2+ainxnbi则可在约束条件的左端减一个非负变量xn+i,称之为剩余变量,即可变为等式:
ai1x1+ai2x2+ainxn-xn+i=bi(33)如果)如果xj没有非负限制,则可令xj=xj-xj,其中xj,xj0,代入目标函数及约束条件即可。
例例33将线性规划将线性规划minZ=3x1-x2x1+x21X1-x2-1x10化为标准型。
解:
3.2线性规划解的概念我们把决策变量的一组取值称为线性规划问题的一个解解。
满足约束条件的解称为可行解可行解。
所有可行解的集合称为可行可行域域。
使目标函数达到最优的可行解称为最优解最优解。
在上一节图解法中,我们求得例1问题的最优解是唯一的,但是线性规划问题的解还可能出现以下几种情况:
(1)无穷多个最优解。
若例1的目标函数变为maxZ=4x1+2x2,就会出现这种情况。
见图1-1。
OX26050403020101020304050x14x1+2x2=1202x1+3x2=100Q3Q2Q1图1-1maxZ=4x1+2x2Z=6x1+4x2
(2)无可行解。
如果约束中存在相互矛盾的约束条件,则导致可行域是空集,此时问题无可行解。
(3)无有限最优解。
对下述线性规划问题maxZ=x1+x2-x1+x24x1-x22x1,x20用图解法求解结果见图1-2。
图1-2x242240x1从图中可以看出可行域无界,在可行域中找不到最大值点,目标函数值可以增大到无穷大,称这种情况为无有限最优解或无界解。
x1-x2=2-x1+x2=4Z=x1+x2线性规划基解的概念记线性规划问题为maxZ=CX(L)AX=bX0基基:
设A是mn阶约束系数矩阵(mn),秩A=m.A=(P1,P2,Pn),则A中一定存在m个线性无关的列向量,设为Pj1,Pj2,Pjm,称可逆矩阵B=(Pj1,Pj2,Pjm)为线性规划(L)的一个基基,称B中的列向量对应的变量xj1,xj2,xjm为基变量基变量,其余变量称为非基变量非基变量。
基本解基本解:
记基变量为XB=(xj1,xj2,xjm)T,非基变量构成的列向量记为XN,并令XN=0,则有AX=Pjxj=BXB=b,于是有XB=B-1b。
称XB=B-1b,XN=0为线性规划(L)的一个基本解。
基(本)可行解基(本)可行解:
若基本解中XB=B-1b0,则称该解为基可行解,这时基这时基BB也称为可行基。
也称为可行基。
显然,基可行解的数目显然,基可行解的数目基解的数目基解的数目例例44求出下面线性规划的所有基本解,并指出哪些求出下面线性规划的所有基本解,并指出哪些是基可行解。
是基可行解。
maxZ=2x1+x23x1+5x2156x1+2x224x1,x20解解:
标准化得:
标准化得maxZ=2x1+x23x1+5x2+x3=156x1+2x2+x4=24x1,x2,x3,x40系数矩阵A=,秩A=2取取BB11=(P1,P2)=同理同理,取取BB22=(P1,P3),可得可得取取BB33=(P1,P4),可得可得取取BB44=(P2,P3),可得可得同理同理,取取BB55=(P2,P4),可得可得x2=3,x4=18,x1=x3=0是基可行解。
同理同理,取取BB66=(P3,P4),可得可得x3=15,x4=24,x1=x2=0是基可行解。
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