等比数列前n项和PPT文档格式.ppt
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国王奖赏发明者,问他有什么要求,他答道:
么要求,他答道:
“在棋盘第一个格放在棋盘第一个格放11颗麦颗麦粒,在第二个格放粒,在第二个格放22颗麦粒,在第三个格放颗麦粒,在第三个格放44颗麦粒,在第四个格放颗麦粒,在第四个格放88颗麦粒。
以此类推,颗麦粒。
以此类推,每个格子放的麦粒数是前一个格子的每个格子放的麦粒数是前一个格子的22倍,直倍,直到到6464个格子。
国王觉得这太容易了,就欣然个格子。
国王觉得这太容易了,就欣然答应了他的要求,答应了他的要求,你认为国王能满足他的要你认为国王能满足他的要求吗?
求吗?
新课导入新课导入1+2+4+8+263=18446744073709551615(粒)(粒)已知麦子每千粒约为已知麦子每千粒约为40克,则折合约为克,则折合约为737869762948382064克克7378.7亿吨亿吨.经过计算,我们得到麦粒总数是经过计算,我们得到麦粒总数是那么这是怎么计算的呢?
其实是一个比那么这是怎么计算的呢?
其实是一个比较大小的问题,则实质上是较大小的问题,则实质上是求等比数列前求等比数列前n项和项和的问题的问题.探讨问题探讨问题发明者要求的麦粒总数是:
发明者要求的麦粒总数是:
S64=1+2+22+23+263上式有何特点?
上式有何特点?
如果如果式两端同时乘以式两端同时乘以22得得:
2S64=2+22+23+263+264比较比较、两式,有什么关系呢?
两式,有什么关系呢?
S64=1+2+22+23+2632S64=2+22+23+263+264两式上下相对的项完全相同,把两式相减,两式上下相对的项完全相同,把两式相减,就可以消去相同的项,则就可以消去相同的项,则得:
得:
S64=264-1=18446744073709551615设问:
设问:
纵观全过程,纵观全过程,式两边为什么要乘以式两边为什么要乘以22呢?
呢?
等比数列前等比数列前nn项和公式及推导项和公式及推导在等比数列在等比数列anan中首先要考虑两种情况:
中首先要考虑两种情况:
当当q1q1时,时,Sn=Sn=aa11+a+a22+a+a33+a+an-1n-1+a+ann=?
当当q=1q=1时时,Sn=a1+a2+a3+an-1+an=a1+a1+a1+a1+a1=na1共共n个个a1设等比数列等比数列,首,首项为,公比公比为如何求前如何求前nn项和和?
S1=a1S2=a1+a2=a1+a1q=a1(1+q)S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=a1(1+q+q2)S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3=a1(1+q+q2+q3)分析:
分析:
Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+a1qn-2+a1qn-1qSn=a1q+a1q2+a1q3+a1qn-2+a1qn-1+a1qn-得:
Sn(1q)=a1a1qn当当q1时,时,则等比数列则等比数列an前前n项和公式为项和公式为Sn=na1q=1q11.注意注意q=1与与q1两种情况两种情况.2.q1时,时,通过上面的讲解,对于等差数通过上面的讲解,对于等差数列的相关量列的相关量aa11、dd、nn、aann、ssnn,一,一般确定几个量就可以确定其他量?
般确定几个量就可以确定其他量?
a1、an、nan、sna1、d、ana1、d、na1、an、snan、d、nan、sn、nn、snd、snd、na1、sna1、d例例1等比数列等比数列aann的公比的公比qq=,aa88=1=1,求它的,求它的前前88项和项和SS88.解法解法11:
因为:
因为aa88=aa11qq77,所以,所以因此因此解法解法22:
把原数列的第:
把原数列的第88项当作第一项,第项当作第一项,第11项项当作第当作第88项,项,即顺序颠倒,也得到一个等比数列即顺序颠倒,也得到一个等比数列bbnn,其中其中bb11=aa88=1=1,qq=2=2,所以前,所以前88项和项和求和求和个个分析:
数列分析:
数列99,9999,999999,不是等比数列,不,不是等比数列,不能直接用公式求和,能直接用公式求和,但将它转化为但将它转化为101011,10010011,1000100011,就可以解决了。
就可以解决了。
例例2原式原式=(10=(101)+(1001)+(1001)+(10001)+(10001)+1)+(10+(10nn1)1)=(10+100+1000+=(10+100+1000+10+10nn)nn解:
解:
例例3已知数列已知数列的前五的前五项是是(11)写出)写出该数列的一个通数列的一个通项公式;
公式;
(22)求)求该数列的前数列的前nn项和和分析:
此数列的特征是分析:
此数列的特征是两部分构成,其中两部分构成,其中是整数部分,又是等差数列,是整数部分,又是等差数列,又是等比数列又是等比数列.是分数部分,是分数部分,和等比数列,所以此方法称为和等比数列,所以此方法称为“分组法求和分组法求和”所以此数列可以转化为等差数列所以此数列可以转化为等差数列解:
(1),
(2)某工厂去年某工厂去年11月份的产值为月份的产值为aa元,月平均增元,月平均增长率为长率为pp(pp0)0),求这个工厂去年全年产值的总,求这个工厂去年全年产值的总和。
和。
该工厂去年解:
该工厂去年22月份的产值为月份的产值为aa(1+(1+pp)元,元,33月,月,44月,月,的产值分别为,的产值分别为aa(1+(1+pp)22元,元,aa(1+(1+pp)33元,元,所以所以1212个月的产值组成一个等比数列,个月的产值组成一个等比数列,首项为首项为aa,公比为,公比为1+1+pp,例例4答:
该工厂去年全年的总产值为答:
该工厂去年全年的总产值为元。
元。
求和:
.例例5为等比数列,公比为,利用错位相减法求和为等比数列,公比为,利用错位相减法求和.设,其中为等差数列,设,其中为等差数列,分析:
,两端同乘以,得两端同乘以,得两式相减得两式相减得于是于是.注注意意:
当当等等比比数数列列的的通通项项公公式式中中有有参参数数,求前求前nn项和时要注意公比是否为项和时要注意公比是否为11例例6设数列设数列求这个数列的前求这个数列的前nn项和项和解解:
(与(与nn无关的常数)无关的常数)所以该数列是等比数列,首项为所以该数列是等比数列,首项为11,该数列的公比为,该数列的公比为11,该数列的公比不为,该数列的公比不为11,求和:
.为等比数列,公比为,利用错位相减法求和为等比数列,公比为,利用错位相减法求和.设,其中设,其中为等差数列,为等差数列,例例7解:
,解:
,两端同乘以,得两端同乘以,得两式相减得两式相减得于是于是.“一尺之棰,日取其半,万世不竭一尺之棰,日取其半,万世不竭”,怎样用,怎样用学过的知识来说明它?
学过的知识来说明它?
这句古语用现代文叙述是:
一尺长的木棒,每天取它的一半,永远也取不完一尺长的木棒,每天取它的一半,永远也取不完.如果每天取出的木棒的长度排成一个数列,则如果每天取出的木棒的长度排成一个数列,则得到一个首项为得到一个首项为a1=,公比,公比q=的等比数列,的等比数列,思考与余味思考与余味它的前它的前n项和为项和为这说明一尺长的木棒,每天取它的一半,永这说明一尺长的木棒,每天取它的一半,永远也取不完远也取不完.不论不论n取何值,取何值,总小于总小于1,课堂小结课堂小结本节课主要讲述了等比数列的前本节课主要讲述了等比数列的前nn项和公式:
项和公式:
以及他们的推导过程,在具体使用时以及他们的推导过程,在具体使用时,不不一定完全套用公式一定完全套用公式,要灵活变通要灵活变通.Sn=na1q=1q11.1.推导等差数列前推导等差数列前nn项和公式的方法项和公式的方法.2.2.公式的应用中的数学思想公式的应用中的数学思想.-错位相加法错位相加法-方程思想方程思想3.3.公式中五个量公式中五个量aa11,d,a,d,ann,n,s,n,snn,已知已知其中三个量,可以求其余两个其中三个量,可以求其余两个.-知三求二知三求二(0707年广东)等比数列年广东)等比数列aann中,中,aa11=3,a=3,ann=96,s=96,snn=189,=189,求求nn的值的值解:
由由得:
q=2q=2所以:
所以:
高考链接高考链接随堂练习随堂练习1.求等比数列求等比数列的前的前88项的和项的和解解:
2.某商场第某商场第1年销售计算机台,如果年销售计算机台,如果平均每年的销售量比上一年增平均每年的销售量比上一年增加加10%,那么从第,那么从第1年起,约几年内可使总销年起,约几年内可使总销售量达到台售量达到台(保留到个位)?
(保留到个位)?
由题意可知,每年销售量比上一年增分析:
由题意可知,每年销售量比上一年增加的百分率相同,所以从第加的百分率相同,所以从第1年起,年起,每年的销售量组成一个等比数列,总产量则每年的销售量组成一个等比数列,总产量则为等比数列的前为等比数列的前n项和项和.解:
设每年的产量组成一个等比数列解:
设每年的产量组成一个等比数列其中其中a1=5000,q=1+10%=1.1,Sn=30000整理可得:
整理可得:
1.11.1nn=1.6=1.6两边取对数得两边取对数得即:
即:
答:
约答:
约5年内可以使总销售量达到年内可以使总销售量达到30000台台.3.已知数列已知数列是等差数列,且是等差数列,且(11)求数列)求数列的通的通项公式;
,求数列,求数列的前的前nn项和和(22)令)令解:
(解:
(11)设数列数列的公差是的公差是d,d,则又又得得d=2d=2,所以,所以(22)令)令-得得则由则由得得所以所以习题答案习题答案
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- 等比数列