离散数学特殊图的应用_精品文档优质PPT.ppt
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3Euler图、Hamilton图应用【例例2】下图是一个生活小区的道路示意图。
道路清扫工下图是一个生活小区的道路示意图。
道路清扫工人能否从小区大门出发清扫所有的道路一遍后从该大门人能否从小区大门出发清扫所有的道路一遍后从该大门离开?
能否从大门离开?
能否从大门1出发清扫所有的道路一遍后从小区大出发清扫所有的道路一遍后从小区大门门2离开?
离开?
解:
图解:
图b中的非欧拉图的欧拉路径告诉我们:
第一个答案中的非欧拉图的欧拉路径告诉我们:
第一个答案是否定的,第二个答案是肯定的。
是否定的,第二个答案是肯定的。
小区大门2小区大门1图a图b4Euler图、Hamilton图应用【例例3】中国邮路问题中国邮路问题一个邮递员从邮局出发,到所管辖的街道投递邮件,最后返回邮局。
若必须一个邮递员从邮局出发,到所管辖的街道投递邮件,最后返回邮局。
若必须走遍所管辖各街道中每一条街至少一次,则怎样选择投递路线可以使得所走走遍所管辖各街道中每一条街至少一次,则怎样选择投递路线可以使得所走的路程最短?
的路程最短?
这个问题是我国管梅谷教授于这个问题是我国管梅谷教授于1962年首先提出并解决的。
年首先提出并解决的。
用图论的语言来描述:
在一个赋权图用图论的语言来描述:
在一个赋权图G中(设各边权值为中(设各边权值为1),能否找到一),能否找到一条闭的拟路径条闭的拟路径C,使,使C包含包含G的每条边最少一次且的每条边最少一次且C的权值最小?
的权值最小?
解决这个问题并不复杂:
在奇顶点间加边或路径(表示重复走原图上的边或解决这个问题并不复杂:
在奇顶点间加边或路径(表示重复走原图上的边或路径),使其成为欧拉图。
为达到使路径),使其成为欧拉图。
为达到使C权值最小的目的,应当选择权值尽可权值最小的目的,应当选择权值尽可能小的添加边或路径。
基本步骤是:
能小的添加边或路径。
图b图axyyvwzxyyvwz5Euler图、Hamilton图应用【例例3】中国邮路问题中国邮路问题基本步骤是:
(1)判断街区图是否是欧拉图。
若是,则问题解决;
)判断街区图是否是欧拉图。
(2)若不是欧拉图,找出所有奇顶点(必为偶数个),构成集合)若不是欧拉图,找出所有奇顶点(必为偶数个),构成集合X;
(3)在)在X中顶点两两做检查,计算两顶点间最短路径的权值;
并以中顶点两两做检查,计算两顶点间最短路径的权值;
并以“小于或等于关系小于或等于关系”排序;
排序;
(4)在具有最小权值的一对顶点间加边,取该权值为新添加的边的权)在具有最小权值的一对顶点间加边,取该权值为新添加的边的权值。
在权值序列中删除所有与此对顶点相关的权值;
值。
(5)回到步骤()回到步骤(4),直到权值序列为空。
),直到权值序列为空。
6Euler图、Hamilton图应用【例例3】货郎担问题:
货郎担问题:
赋权完全图中的最小赋权完全图中的最小Hamilton回路问题,是回路问题,是计算复杂性研究的一个源头。
计算复杂性研究的一个源头。
下图表示五个城镇之间的公路网,边权值表示公立的里程。
货郎每下图表示五个城镇之间的公路网,边权值表示公立的里程。
货郎每天要走遍这五个城镇(并且只走过一次)去卖货,因此,需要计算天要走遍这五个城镇(并且只走过一次)去卖货,因此,需要计算这个完全图的所有这个完全图的所有Hamilton回路的边的权值和,取其回路上的边的回路的边的权值和,取其回路上的边的权值和最小的权值和最小的Hamilton回路。
回路。
20464050454825303532204640504548253035327Euler图、Hamilton图应用【例例3】货郎担问题:
理论上这个问题很简单,只要计算所有不同的理论上这个问题很简单,只要计算所有不同的12条条H回路的边的权值回路的边的权值和,求出其和最小的一条和,求出其和最小的一条H回路,问题便得以解决。
可是,当城镇的回路,问题便得以解决。
可是,当城镇的数目比较大(例如数目比较大(例如100个)的时候,需要计算边的权值和个)的时候,需要计算边的权值和H回路的数回路的数量就非常的大(量就非常的大((100-1)!
/2=99!
/2条条H回路),以至于没有计算的可回路),以至于没有计算的可能。
能。
这就迫使人们去寻找新的计算完全图中的最小这就迫使人们去寻找新的计算完全图中的最小H回路的方法。
回路的方法。
在计算机算法理论中,与货郎担问题类似的问题有许多,被统称为在计算机算法理论中,与货郎担问题类似的问题有许多,被统称为“难处理问题难处理问题”或或“NP完全问题完全问题”。
对这类问题的研究,以及对高。
对这类问题的研究,以及对高效近似算法的探讨,是许多年来计算机科学界的热门话题。
效近似算法的探讨,是许多年来计算机科学界的热门话题。
有兴趣的同学可以参考文献有兴趣的同学可以参考文献:
MichaelSipser.计算理论导引计算理论导引,张立张立昂等译昂等译,北京:
机械工业出版社北京:
机械工业出版社,2000二分图二分图【概念概念】匹配、最大匹配、完全匹配、匈牙利算法、霍尔匹配、最大匹配、完全匹配、匈牙利算法、霍尔定理(婚姻定理)定理(婚姻定理)9二分图应用例例4六名间谍六名间谍a,b,c,d,e,f被捕获,他们分别懂得语言是被捕获,他们分别懂得语言是汉汉语、法语、日语语、法语、日语,德语、日语、俄语德语、日语、俄语,英语、法语英语、法语,汉语、西班牙语汉语、西班牙语,英语、德语英语、德语,俄语、西班牙语俄语、西班牙语,用几个房间监禁他们才能使同一房间的人不能互相直,用几个房间监禁他们才能使同一房间的人不能互相直接对话。
接对话。
平面图平面图【例例1】?
11平面图应用例例4有有
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