摆线_精品文档PPT资料.ppt
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当圆滚动一周,即j从O变动2时,动圆上定点描画出摆线的摆线第一拱。
内摆线,内摆线的定义:
一个动圆内切于一个定圆作无滑动的滚动,动圆圆周上一个定点的轨迹叫做内摆线。
设定圆的半径为R,动圆的半径为D,取定圆的圆心为原点,点A动圆圆周上所规定的一个定点,并让点A是动圆开始滚动时与定圆的切点,以OA为X轴,建立直角坐标系。
当动圆滚动到与定圆相切于点B时,令角AOB=T。
那么内摆线的参数方程为X=(R-D)COST+DCOS(R-D)/DTY=(R-D)SINT-DSIN(R-D)/DT,特别的,如n=3时,内摆线特化为星状线,外摆线,外摆线,英文名:
epicycloid,又称圆外旋轮线。
定义:
当半径为b的圆沿着半径为a的定圆的外侧无滑动地滚动时,动圆圆周上的一点p所描绘的点的轨迹。
在以定圆中心为原点的直角坐标系中,其方程为x=(a+b)cos-bcos(a+b)/b;
y=(a+b)sin-bsin(a+b)/b;
当a/b是有理数时,它是闭曲线;
当a=b时,它就是心脏线。
a/b=1,a/b=2,a/b=2.5,a/b=0.5,a/b=2.5,a/b=0.5,a/b=0.25,a/b=4,运用微积分所学知识,可以轻松得到以下结论,1它的长度等于旋转圆直径的4倍。
尤为令人感兴趣的是,它的长度是一个不依赖于的有理数2在弧线下的面积,是旋转圆面积的三倍。
3圆上描出摆线的那个点,摆线具有不同的速度事实上,在特定的地方它甚至是静止的。
4当弹子从一个摆线形状的容器的不同点放开时,它们会同时到达底部5摆线有一个重要性质,即当一物体仅凭重力从A点滑落到不在它正下方的B点时,若沿着A,B间的摆线,滑落所需时间最短,因此摆线又称最速降曲线。
对于直摆线,机械、工业中有许多应用,eg一些泵的转子的型线摆线齿轮,在一个斜面上,摆两条轨道,一条是直线,一条是曲线,起点高度以及终点高度都相同。
两个质量、大小一样的小球同时从起点向下滑落,曲线的小球反而先到终点。
这是由于曲线轨道上的小球先达到最高速度,所以先到达。
然而,两件之间的直线只有一条,曲线却有无数条,那么,哪一条才是最快的呢?
伽利略与1630年提出了这个问题,当时他认为这条线应该是一条弧线,可是后来人们发现这个答案是错误的。
1696年,瑞士数学家约翰伯努利解决了这个问题,他还拿这个问题向其他数学家提出了公开挑战。
牛顿、莱布尼兹、洛比达以及雅克布伯努利等解决了这个问题。
这条最速降线就是一条摆线,也叫旋轮线。
意大利科学家伽利略在1630年提出一个分析学的基本问题“一个质点在重力作用下,从一个给定点到不在它垂直下方的另一点,如果不计摩擦力,问沿着什么曲线滑下所需时间最短。
”。
他说这曲线是圆,可是这是一个错误的答案。
瑞士数学家约翰伯努利在1696年再提出这个最速降线的问题(problemofbrachistochrone),征求解答。
次年已有多位数学家得到正确答案,其中包括牛顿、莱布尼兹、洛必达和伯努利家族的成员。
这问题的正确答案是连接两个点上凹的唯一一段旋轮线。
旋轮线与1673年荷兰科学家惠更斯讨论的摆线相同。
因为钟表摆锤作一次完全摆动所用的时间相等,所以摆线(旋轮线)又称等时曲线。
看一个稍微有点振奋人心的东东,JohannBernoulli对最速降线问题的beautiful解答:
如果使分成的层数n无限地增加,即每层的厚度无限地变薄,则质点的运动便趋于空间A、B两点间质点运动的真实情况,此时折线也就无限增多,其形状就趋近我们所要求的曲线最速降线而折线的每一段趋向于曲线的切线,因而得出最速降线的一个重要性质:
任意一点上切线和铅垂线所成的角度的正弦与该点落下的高度的平方根的比是常数而具有这种性质的曲线就是摆线所谓摆线,它是一个圆沿着一条直线滚动(无滑动)时,圆周上任意一点的轨迹。
因此,最速降线就是摆线,只不过在最速降线问题中,这条摆线是上、下颠倒过来的罢了以上便是JohannBernoulli当时所给最速降线问题的解答当然,这个解答在理论上并不算十分严谨的但是,这个解答所蕴含的基本观点的发展,导致了一门新的学科变分学最速降线问题的最终而完备的解答,需要用到变分学的知识,有关摆线的故事
(1),有关摆线的故事
(2),Christine是十七世纪时瑞典的一位公主,她美丽善良,而且很聪明,尤其很喜欢数学。
有一天她换上了便服去王宫外面,路上看到很多乞丐,其中有一个很特别,他不主动请求过路人施舍,而是安静地蹲在地上专心研究数学问题。
那个人并不知道站在他眼前的小姐就是公主,只是很惊讶于这位年轻小姐言谈之间显露出来的数学才华,便很高兴地和Christine交谈起来。
Christine公主这才知道,他原本是一个数学家,可惜因为某些原因在法国做数学不得志,穷困落魄,最后流浪到瑞典来的。
于是Christine公主把这个数学家请到王宫里做她的数学老师,两个人一起讨论数学问题,一起谈天说地,日久天长,两个人就这样沉浸在只属于他们两个人的数学世界和爱情世界里,很幸福,很快乐。
但是Christine的父亲知道了女儿恋爱的事。
这个固执的国王根本不把数学和数学家放在眼里,他觉得那个法国小子配不上自己的女儿,于是强硬地拆散他们,把数学家驱散出境,永远不许他迈进自己的国家一步,还扣压了之后他写给公主的所有的信爱人离开之后的杳无音讯,使Christine变得沉默寡言,不再喜欢和任何人说话因为这个世界上可以和她沟通讨论的只有那个人啊!
那个人回到法国后感染上了黑死病,即将死去。
他在临死前给他的公主,他的爱人,Christine,寄出了第十三封信,也是最后一封。
这一次国王拆了信却看不懂他写的是什么。
交给大臣们去看,大臣们也看不懂。
请了很多数学家来看,还是看不懂。
最后国王没办法,只好把信交还给了Christine。
Christine打开她的爱人留给她的最后的信,发现上面只有一个简单的数学式:
r=a(1-sin)是的,别人看不懂这是什么,可是她知道!
那是他们以前一起讨论过的二维坐标呀。
用代数来表示平面的几何坐标,这个从来没有人研究过的数学问题,全世界只有那个人和Christine知道,这是他和她之间的秘密。
于是她找出纸和笔,按照数学式画起图来这是一颗心的形状,后来人们就把它叫做心脏线。
他还爱着她!
他直到死都还爱着她。
她知道。
全世界只有她知道。
一直以来,人们以为这位用心脏线传情的人就是笛卡尔,然而,据考证,笛卡尔于1649年冬,笛卡尔应瑞典女王克里斯蒂安(也就是上文的Christine)的邀请,来到了斯德哥尔摩,任宫廷哲学家,为瑞典女王授课(女王已经登基,笛卡尔也并没有遭到驱逐)。
1650年初患肺炎抱病不起,同年二月病逝于瑞典(不是在法国死于黑死病)。
由此可见,故事中的数学家并非笛卡尔,要么另有其人,要么,这个故事只是美丽的谎言。
希望大家可以领略到数学中这些曲线的美丽!
抱着一颗探索的心,学好数学!
谢谢!
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