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,例如,掷一枚骰子,出现的结果可能是1点,2点,6点,其结局为一个随机变量。
例如,用针灸治疗头痛患者3人,治疗结果可能是1人有效,2人有效,3人有效,也可能是无效。
治疗结果为一个随机变量。
第一节二项分布(binomialdistribution)及其应用,一、二项分布的概念和特征,例:
设有一口袋,内装形状、重量完全相同的黑球和白球,各占80%和20%。
搅匀后从该口袋中摸出一球,记录颜色,放回搅匀,再摸一球,如此重复5次。
若把摸到黑球的次数作为一个随机变量X。
求该随机变量的概率分布。
一是每次试验结果,只能是两种对立的结果之一。
即每次摸球只有两种可能结果,或黑球或白球。
二是每次试验的条件不变,发生某种结果的概率是固定不变的。
即每次试验摸到黑球的概率是固定的。
三是每次试验独立,即一次试验出现什么样的结果与前面已出现的结果无关。
即各次摸球是彼此独立的。
Bernoulli试验序列:
满足以上三个条件的n次试验构成的序列。
实际上,医学研究中很多试验都能满足上述三个条件,例如用同种属、同性别且体重相近的大白鼠作某药物一定剂量的毒性试验;
某新疗法临床试验观察患者是否治愈;
观察某指标的化验结果是否呈阳性。
如果每一次试验只有阳性或阴性两种可能结果;
每次试验阳性结果的发生概率均为,阴性结果的发生概率为;
每次试验的结果是相互独立的,那么重复n次实验,发生阳性结果的次数X的概率分布为二项分布,记为B(X;
n,)。
恰好有例阳性结果的概率为,则摸出黑球次数的可能结果及其概率如下表所示,例4-2临床上用针灸治疗某型头痛,有效的概率为60%,现以该法治疗3例,其中两例有效的概率为多大?
分析:
治疗结果为有效和无效两类,每个患者是否有效不受其他病例的影响,有效概率均为0.6,符合二项分布的条件。
因此可用二项分布的概率函数来求得两例有效的概率。
二、二项分布的特征,1。
二项分布的图形特征,=0.5时,不同n值对应的二项分布,n=3,=0.5,n=10,=0.5,P,0.00,0.10,0.20,0.30,0.34,0,0123,012345,n=3,=0.3,n=6,=0.3,n=10,=0.3,01234567,n=20,=0.3,01234567891011,二项分布图的形态取决于和n。
当=1-时,它呈对称分布。
当1-时,呈偏态分布。
当接近0.5时,图形接近对称;
当离0.5愈远,对称性越差,但随着n的增大,分布趋于对称。
当n足够大,且不太靠近0或1时,二项分布逼近正态分布。
一般来说,当n和n(1-)都大于5时,二项分布近似于正态分布。
2二项分布的均数和标准差对于任何二项分布问题,如果每一次实验出现阳性结果的概率均为,进行n次独立重复实验,出现X次阳性结果,则,式中是样本率的标准差,又称为样本率的标准误,它反映率的抽样误差的大小。
例4-4已知某地钩虫感染率为6.7%,如果随机抽查该地150人,记样本钩虫感染率为p,求p的抽样误差。
本例n=150,=0.067,三、二项分布的应用
(一)概率估计例4-5如果某地钩虫感染率为13%,随机观察当地150人,其中有10人感染钩虫的概率有多大?
分析计算:
(二)单侧累计概率计算二项分布出现阳性的次数至少为k次的概率为,二项分布出现阳性的次数至多为k次的概率为,例4-6例4-5中某地钩虫感染率为13%,随机抽查当地150人,其中至多有2名感染钩虫的概率有多大?
至少有2名感染钩虫的概率有多大?
至少有20名感染钩虫的的概率有多大?
至多有2名感染钩虫的概率为,至少有2名感染钩虫的概率为,至少有20名感染钩虫的概率为,三、二项分布资料的假设检验,
(一)样本率和总体率的比较1.直接计算概率法:
即按二项分布概率函数,直接求出累积概率,与所定检验水准比较,作出检验推断。
例根据以往经验以常规疗法治某病,其有效率为65,今用新疗法治疗该病患者20人,结果1人无效。
问新疗法是否较以往疗法为优?
这里65作为总体有效率,而19/2095%是样本有效率,按以往有效率推算,在20人中全部有效的概率为(0.65)20,19人有效、1人无效的概率为20(0.35)(0.65)19。
故20人中最多1人无效的概率为P(0.65)2020(0.35)(0.65)190.0021330.05可以认为新疗法较以往疗法为优,2.正态近似法当n足够大时,例6-8某医院称治疗声带白斑的有效率为80%。
今统计前来治疗的此类患者60例,其中45例有效,问该医院宣称的疗效是否客观?
1.建立检验假设,
(二)两组独立样本率比较,例6-9用硝苯吡啶治疗高血压急症患者75例,有效这为57例,用硝苯吡啶卡托普利治疗同类患者69例,66例有效。
问两疗法的有效率是否相同?
1.建立检验假设,
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