工程数学-计算方法-第三章-线性方程组的解法_精品文档PPT推荐.ppt
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,3.1雅可比Jacobi迭代法(AX=b),一、迭代法的基本思想,二、例题分析,三、Jacobi迭代公式,与解f(x)=0的不动点迭代相类似,将AX=b改写为X=BX+f的形式,建立雅可比方法的迭代格式:
其中,B称为迭代矩阵。
其计算精度可控,特别适用于求解系数为大型稀疏矩阵(sparsematrices)的方程组。
3.1雅可比Jacobi迭代法(AX=b),迭代法的基本思想,问题:
(a)如何建立迭代格式?
(b)向量序列x(k)是否收敛以及收敛条件?
2例题分析:
其准确解为X*=1.1,1.2,1.3。
考虑解方程组,
(1),3.1Jacobi迭代法,2例题分析:
建立与式
(1)相等价的形式:
(2),其准确解为X*=1.1,1.2,1.3。
考虑解方程组,取迭代初值,据此建立迭代公式:
迭代结果如下表:
设方程组AX=b,通过分离变量的过程建立Jacobi迭代公式,即,由此我们可以得到Jacobi迭代公式:
3.1Jacobi迭代公式,雅可比迭代法的矩阵表示,写成矩阵形式:
L,U,D,Jacobi迭代阵,3.2高斯-塞德尔迭代法(AX=b),注意到利用Jacobi迭代公式计算,时,已经计算好了,的值,而Jacobi迭代公式并不利用这些最新的近似值计算,仍用,写成矩阵形式:
Gauss-Seidel迭代阵,3.2高斯-塞德尔迭代法,其准确解为X*=1.1,1.2,1.3。
考虑解方程组,高斯-塞德尔迭代法算例,高斯-塞德尔迭代格式,开始,T,F,T,F,T,逐次超松弛迭代法(SuccessiveOverRelaxationMethod,简写为SOR)可以看作带参数的高斯-塞德尔迭代法,是G-S方法的一种修正或加速,是求解大型稀疏矩阵方程组的有效方法之一。
3.3超松驰迭代法SOR方法,1.SOR基本思想,设方程组AX=b,其中,A=(aij)为非奇异阵,x=(x1,x2,xn)T,b=(b1,b2,bn)T.假设已算出x(k),,3.3超松驰迭代法SOR方法,2.SOR算法的构造,称为松弛因子,利用高斯-塞德尔迭代法得:
3.3超松驰迭代法SOR方法,2.SOR算法的构造(基于G-S迭代),解方程组AX=b的逐次超松弛迭代公式:
显然,当取=1时,上式就是高斯-塞德尔迭代公式.,3.3超松驰迭代法SOR方法,2.SOR算法的构造(基于Jacobi迭代),得到解方程组AX=b的逐次超松弛迭代公式:
显然,上式就是基于Jacobi迭代的SOR方法.,下面令,希望通过选取合适的来加速收敛,这就是松弛法。
3.SOR算法的进一步解释,SOR方法,其中ri(k+1)=,相当于在的基础上加个余项生成。
利用SOR方法解方程组,SOR例题分析:
其准确解为x*=1,1,2.,建立与式
(1)相等价的形式:
据此建立G-S迭代公式:
取迭代初值:
=1.5,迭代结果如下表.,SOR迭代公式为:
GS迭代法须迭代85次得到准确值x*=1,1,2;
而SOR方法只须55次即得准确值.,由此可见,适当地选择松弛因子,SOR法具有明显的加速收敛效果.,关于SOR方法的说明:
显然,当时,SOR方法就是Gauss-Seidel方法。
SOR方法每一次迭代的主要运算量是计算一次矩阵与向量的乘法。
时称为超松弛方法,时称为低松弛方法。
计算机实现时可用控制迭代终止,或用SOR方法可以看成是Gauss-Seidel方法的一种修正。
(迭代法基本定理)设有方程组,对于任意的初始向量,迭代公式收敛的充要条件是迭代矩阵的谱半径.,3.4迭代法的收敛性-充要条件,迭代法的基本定理在理论分析中有重要意义。
(迭代法收敛的充分条件)设方程组迭代法为如果有的某种算子范数满足,则,在具体使用上,由于,因此,我们利用范数可以建立判别迭代法收敛的充分条件。
3.4迭代法的收敛性-充分条件,关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性定义:
(对角占优阵)设
(1)如果元素满足称为严格对角占优阵
(2)如果元素满足且上式至少有一个不等式严格成立,称为弱对角占优阵。
设,如果:
为严格对角占优,则解的Jacobi迭代法,Gauss-Seidel迭代法均收敛。
Seidel迭代格式为,从式中解出,故可得Seidel迭代矩阵为,从例中可以看出Jacobi迭代矩阵Bj的主对角线为零,而Seidel迭代矩阵Bs的第1列都是零,这对一般情况也是成立的。
举例检验Jacoai迭代的收敛性,首先将原方程组写为迭代形式的方程组,即:
求任一行之和的最大值1,即:
|M|=max5/8,5/11,9/12=9/121,i,或求任一列之和的最大值1,即:
|M|1=max114/132,60/96,30/88=114/1321,结论:
该方程组采用Jacobi迭代法计算是收敛的。
已知线性方程组为:
3.5高斯消元法,首先将A化为上三角阵,再回代求解。
(一)高斯消去法的求解过程,可分为两个阶段:
首先,把原方程组化为上三角形方程组,称之为“消元”过程;
然后,用逆次序逐一求出三角方程组(原方程组的等价方程组)的解,并称之为“回代”过程.,下面分别写出“消元”和“回代”两个过程的计算步骤.,记,Step1:
设,计算因子,将增广矩阵第i行mi1第1行,得到,其中,Stepk:
设,计算因子,共进行?
步,n1,且计算,回代,若A的所有顺序主子式均不为0,则高斯消元无需换行即可进行到底,得到惟一解。
利用高斯消元法求解方程组:
解:
3.5高斯消元法_例题分析,利用,得,利用,得,利用,得,显然,方程组(4)与
(1)是等价的,其系数矩阵为上三角状的,易于求解.称以上过程为高斯消去法的消去过程.通过方程组(4)的回代求解,可以得到准确解为,这一过程为高斯消去法的回代过程。
3.5高斯消元法_选主元消去法,Gauss消元法第k次消元是用第k个方程,主元素及其选取问题,来消去第k+1,n个方程中的xk,条件是.,是实现第k次消元的关键元素,称为第k次消去的主元.,Gauss消元法存在的问题是:
例:
单精度解方程组,用GaussianElimination计算:
8个,用小主元10-9作除数,致使其它元素的数量级大大增加,舍入误差的扩散将准确解淹没了。
3.5高斯消元法_选主元消去法,全主元消去法,每一步选绝对值最大的元素为主元素,保证。
Stepk:
选取,Ifikkthen交换第k行与第ik行;
Ifjkkthen交换第k列与第jk列;
消元,注:
列交换改变了xi的顺序,须记录交换次序,解完后再换回来。
算法:
1.消元过程,对
(1)选主元,找使得
(2)若,则停止,推出(3)若,则换行,(4)消元,对有,5.3高斯主元素消元法,考虑在整个矩阵范围选主元,这就是所谓的全主元消去法,此时要注意的是,在做列的变换时,要同时记录当前变量的次序,以免自变量的含义不清。
有,回代过程:
(1)若,则停止
(2)对,例:
注:
列主元法没有全主元法稳定。
列主元消去法,在计算机上实现全主元素消去法意味着进行数的比较操作,选全主元素法需要相当多的计算时间,因此常采用局部选主元素的方法.省去换列的步骤,每次仅选一列中最大的元。
例题分析(Guass全选主元法),精确解为:
x1=1.9273,x2=-0.698496,x3=0.9004233,例题分析(Guass列选主元法),精确解为:
x1=1.9273,x2=-0.698496,x3=0.9004233,3.6三角分解法,高斯消元法的矩阵形式:
Step1:
第一次消元:
即相当于:
单位下三角阵,由上述讨论可知,高斯消去法实质上产生了一个将系数矩阵A分解为上三角阵与下三角阵相乘的因式分解。
若A的所有顺序主子式均不为0,则A的LU分解唯一(其中L为单位下三角阵)。
设有方程组AX=b,并设A=LU,于是AX=LUX=b,令UX=Y,则LY=b.,于是求解AX=b的问题等价于求解两个方程组UX=Y和LY=b,
(1)利用顺推过程解LY=b,其计算公式为:
(2)利用回代过程解UX=Y,其计算公式为:
矩阵的三角分解,通过比较法直接导出L和U的计算公式。
思路,
(1)对i=1,2,n,
(2)计算U的第r行,L的第r列元素,对r=2,3,n,用三角分解法解方程组,例题分析:
方程组的精确解为:
设系数矩阵作了如下三角分解:
由Doolittle分解得:
依次计算,原方程组可表为:
求解:
得:
7追赶法解三对角方程组,Step1:
对A作Crout分解,直接比较等式两边的元素,可得到计算公式。
Step2:
追即解:
Step3:
赶即解:
定理,若A为对角占优的三对角阵,且满足,则追赶法可解以A为系数矩阵的方程组。
如果A是严格对角占优阵,则不要求三对角线上的所有元素非零。
根据不等式可知:
分解过程中,矩阵元素不会过分增大,算法保证稳定。
运算量为O(6n)。
3.8其它应用,1.计算|A|,例用列主元素法求det(A)的值,其中,3.8其它应用,1.计算|A|,例用列主元素法求det(A)的值,其中,解:
由矩阵A的LU分解过程,可知,因此,若用列主元素法求行列式的值,只须将每一步的主元素相乘即可,当然要注意行列式的值的符号改变.其计算过程如下所示:
2计算A-1,在某些应用中,如在统计学中,可能还需要计算矩阵A的逆,并且将它明显地表示为A-1.,利用A的LU分解计算A-1设A=(aij)n为满秩矩阵,则AX=I,
(1)这里,I为单位矩阵.显然,X为A的可逆矩阵A-1.将方程
(1)改写为AX
(1),X
(2),X(n)=I
(1),I
(2),I(n)
(2)其中,X(j),I(j)分别表示X和I的第j列,.,于是,方程
(2)又可改写为n个线性方程组的形式:
AX(j)=I(j),(3),由于这n个方程组的系数矩阵相同,故可应用LU分解法来进行计算,这样A-1=X
(1),X
(2),X(n),并且能够极大地节省计算工作量.,利用高斯消元法计算A-1,解:
故,3.9误差分析,设方程组Ax=b,其中,为非奇异阵,由于原始数据aij,bi往往是观测数据,难免带有误差,因此,下面讨论原始数据的微小变化对线性方程组的解的影响。
1问题的提出,例:
的准确解为,这时方程组的准确解为,说明右端项的微小变化引起了解的很大扰动,其原因是由方程组本身的
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