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客观事物的状态不是固定不变的,它可能处于这种状态,也可能处于那种状态,往往条件变化,状态也会发生变化。
如某种产品在市场上本来是滞销的,但是由于销售渠道变化了,或者消费心理发生了变化等,它便可能变为畅销产品。
用状态变量来表示状态:
它表示随机运动系统,在时刻所处的状态为状态转移:
客观事物由一种状态到另一种状态的变化。
由于产品质量或替代产品的变化,市场上产品可能由畅销变为滞销。
二、状态转移概率客观事物可能有共种状态,其中每次只能处于一种状态,则每一状态都具有个转向(包括转向自身),即。
由于状态转移是随机的,因此,必须用概率来描述状态转移可能性的大小,将这种转移的可能性用概率描述,就是状态转移概率。
概率论中的条件概率:
P(AB)就表达了由状态B向状态A转移的概率,简称为状态转移概率。
对于由状态Ei转移到状态Ej的概率,称它为从i到j的转移概率。
记为:
它表示由状态Ei经过一步转移到状态Ej的概率。
某地区有甲、乙、丙三家食品厂生产同一种食品,有一千个用户(或购货点),假定在研究期间无新用户加入也无老用户退出,只有用户的转移,已知2006年5月份有500户是甲厂的顾客;
400户是乙厂的顾客;
100户是丙厂的顾客。
6月份,甲厂有400户原来的顾客,上月的顾客有50户转乙厂,50户转丙厂;
乙厂有300户原来的顾客,上月的顾客有20户转甲厂,80户转丙厂;
丙厂有80户原来的顾客,上月的顾客有10户转甲厂,10户转乙厂。
计算其状态转移概率。
例:
解:
由题意得6月份顾客转移表1:
从,到,表1,例:
三、状态转移概率矩阵将事件个状态的转移概率依次排列起来,就构成一个N行N列的矩阵,这种矩阵就是状态转移概率矩阵。
通常称矩阵P为状态转移概率矩阵,没有特别说明步数时,一般均为一步转移概率矩阵。
矩阵中的每一行称之为概率向量。
转移概率矩阵的特征?
基本概念,状态转移概率矩阵具有如下特征:
(1)
(2),三、状态转移概率矩阵及其基本特征,状态转移概率的估算主观概率法(一般缺乏历史统计资料或资料不全情况下使用)统计估算法。
例设味精市场的销售记录共有6年24个季度的数据,见表。
求味精销售转移概率矩阵。
用“1”表示畅销用“2”表示滞销,共24个季度数据,其中有15个季度畅销,9个季度滞销,现分别统计出:
连续畅销、由畅转滞、由滞转畅和连续滞销的次数。
以p11表示连续畅销的可能性,以频率代替概率,得:
?
分子7是表中连续出现畅销的次数,分母15是表中出现畅销的次数,因为第24季度是畅销,无后续记录,故减1。
2个状态:
“1”畅销“2”滞销,以p12表示由畅销转入滞销的可能性:
分子7是表中由畅销转入滞销的次数。
以p21表示由滞销转入畅销的可能性:
分子7是表中由滞销转入畅销的次数,分母数9是表中出现滞销的次数。
“1”畅销“2”滞销,以p22表示连续滞销的可能性:
分子2是表中连续出现滞销的次数。
综上所述,得销售状态转移概率矩阵为:
状态转移概率矩阵完全描述了所研究对象的变化过程。
正如前面所指出的,上述矩阵为一步转移概率矩阵。
对于多步转移概率矩阵,可按如下定义解释。
定义3.若系统在时刻处于状态,经过步转移,在时刻处于状态。
那么,对这种转移的可能性的数量描述称为步转移概率。
记为:
并令,三、多步状态转移概率矩阵,称为步转移概率矩阵。
多步转移概率矩阵,除具有一步转移概率矩阵的性质外,还具有以下的性质:
某经济系统有三种状态(如畅销、一般、滞销),系统地转移情况见下表,试求系统的二步状态转移概率矩阵。
解:
首先是写出一步状态转移,二步转移概率矩阵可由一步转移概率矩阵通过公式?
计算求出:
由一步转移概率矩阵求出,由公式计算得:
记为过程的开始时刻,则称:
为初始状态概率向量。
已知马尔科夫链的转移矩阵以及初始状态概率向量,则任一时刻的状态概率分布也就确定了:
对k1,记则由全概率公式有:
四、初始状态概率向量,若记向量,则上式可写为:
由此可得,四、初始状态概率向量,例:
一台机床的运行状态,机床运行存在正常和故障两种状态。
由于出现故障带有随机性,故可将机床运行看作一个随时间变化的随机系统。
机床以后的状态只与其以前的状态有关,而与过去的状态无关(有无后效性)。
因此,机床的运行可看作马尔科夫链。
如机床运行过程中出现故障,表示为从状态1转移到状态2;
处于故障状态的机床经维修恢复到正常状态即从状态2转移到状态1。
现以1个月为时间单位,经统计知:
从某月到下月机床出现故障的概率为0.2,即p12=0.2。
保持正常状态的概率为为p11=0.8。
在这一时间,故障机床经维修返回正常状态的概率为0.9,即p21=0.9;
不能修好的概率为p22=0.1。
机床状态转移图,由机床的一步转移概率得:
状态转移概率矩阵:
若已知本月机床的状态向量P(0)=(0.85,0.15),要求预测机床两个月后的状态。
问题:
知本月状态向量P(0)=(0.85,0.15),预测两月后的状态。
求出两步转移概率矩阵预测:
两个月后的状态向量,5.2稳态概率矩阵:
平稳分布与稳态分布,在马尔可夫链中,已知系统的初始状态和状态转移概率矩阵,就可推断出系统在任意时刻可能所处的状态。
现在需要研究当k不断增大时,P(k)的变化趋势。
一、平稳分布预备定义:
如存在非零向量X=(x1,x2,xN),使得:
XP=X其中P为一概率矩阵,则称X为P的固定概率向量。
一、平稳分布,如存在非零向量X=(x1,x2,xN),使得:
XP=X其中:
P为一概率矩阵则称X为P的固定概率向量。
特别地,设X=(x1,x2,xN)为一状态概率向量,P为状态转移概率矩阵,若XP=X即:
称X为该马尔可夫链的一个平稳分布性质?
若随机过程某时刻的状态概率向量P(k)为平稳分布,则称过程处于平衡状态。
(XP=X)一旦过程处于平衡状态,则经过一步或多步状态转移之后,其状态概率分布保持不变,也就是说,过程一旦处于平衡状态后将永远处于平衡状态。
对于所讨论的状态有限(即N个状态)的马尔可夫链,平稳分布必定存在。
特别地,当状态转移矩阵为正规概率矩阵时,平稳分布唯一。
正规概率矩阵?
定义1:
如果P为概率矩阵,且存在m0,使Pm中诸元素皆非负非零。
则称P为正规概率矩阵。
例如:
均为正规概率矩阵。
P1为正规概率矩阵是明显的(m=1)P2是正规概率矩阵也也易于论证:
即存在(m=2),使P2的元素皆非负非零。
是非正规概率矩阵。
正规概率矩阵的这一性质很有实用价值。
因为在市场占有率是达到平稳分布时,顾客(或用户)的流动将对市场占有率不起影响。
即各市场主体丧失的顾客(或用户)与争取到的顾客相抵消。
甲乙丙三个食品厂顾客的32步转移概率。
二、稳态分布,可以看到每一列都有相同的值。
这说明不管初始状态三个食品厂占有多少顾客,经过32月之后处于状态j的概率都是相同的。
即:
经过多次转移之后,系统存在一个处于状态j的有限概率,此概率与系统原始状态无关。
二、稳态分布,对概率向量=(1,2,N),如对任意的i,jS:
则称为稳态分布。
此时,不管初始状态概率向量如何,均有,或这也是称为稳态分布的理由。
性质?
设存在稳态分布=(1,2,N),则由于下式恒成立:
令k就得A:
即有限状态马尔可夫链的稳态分布如存在,那么它也是平稳分布。
B:
当马尔科夫链的状态转移概率矩阵为正规概率矩阵时稳态分布存在,且稳态分布和平稳分布相同且均唯一。
设一马尔可夫链的状态转移矩阵如下,求其平稳分布及稳态分布。
(1)P是正规概率矩阵,即存在(m=2),使P2的元素皆非负非零。
(2)由于P是正规概率矩阵,求解如下方程组:
这就是该马尔可夫链的稳态分布,而且也是平稳分布。
5.3马尔可夫链预测法,马尔可夫链预测方法的最简单类型是预测下期最可能出现的状态。
步骤:
第一步:
划分预测对象所出现的状态。
从预测目的出发,考虑决策需要来划分现象所处的状态。
第二步:
计算初始概率。
据实际问题分析历史资料所得的状态概率称为初始概率。
第三步:
计算状态转移概率第四步:
根据转移概率进行预测由状态转移概率矩阵P:
如果目前预测对象处于状态Ei,这时Pij就描述了目前状态Ei在未来将转向状态Ej(j=1,2,N)的可能性。
按最大可能性作为选择原则:
选择(Pj1,Pj2,PjN)中最大者为预测结果。
某商店在最近20个月的商品销售量统计记录如下:
试预测第21期商品销售量。
1、划分状态:
按盈利状况为标准
(1)销售量60千件属于滞销
(2)60千件销售量100千件属于一般(3)销售量100千件属于畅销,2、计算初始概率Pi为使问题更为直观,绘制销售量散点图如下,并画出状态分界线。
由图可算出处于:
滞销状态的有:
M1=7一般状态的有:
M2=5畅销状态的有:
M3=8,3、计算初始转移概率矩阵计算状态转移概率时,最后一个数据不参加计算,因为它究竟转到哪个状态尚不清楚。
M11=3,M12=4,M13=0,M21=1,M22=1,M23=3,M31=2,M32=0,M33=5从而:
P11=3/7,P12=4/7,P13=0/7,P21=1/5,P22=1/5,P23=3/5,P31=2/7,P32=0/7,P33=5/7,滞销状态:
M1=7一般状态:
M2=5畅销状态:
M3=8-1,4、预测第21月的销售情况由于第20月的销售情况属于畅销状态,而经由一次转移到达三种状态的概率是:
P31=2/7,P32=0/7,P33=5/7P33P32P31因此,第21月超过100千件的可能性最大。
即预测第21月的销售状态是“畅销”。
5.4马尔可夫链的应用,一、市场占有率例:
东南亚各国行销上海、日本和香港三种味精,要预测在未来若干个月以后的市场占有情况。
具体步骤3:
进行市场调查、目前市场占有情况(顾客买沪、日、港味精的的百分比)。
结果:
上海味精的占40%、买日、港的各占30%,(40%、30%、30%)称为目前市场的占有分布或称初始分布。
2、查清顾客的流动情况。
上月买上海味精的顾客,本月仍有40%,各有30%转向买本和港味精。
上月买日本味精顾客,本月有60%转向买上海味精,30%仍买日本味精,10%转向香港味精。
上月买香港味精的顾客,本月有60%转向买上海味精,10%转向买日本味精,30%仍买香港味精。
第二步:
建立数学模型为运算方便,以1、2、3分别代表上海、日本、香港味精,根据市场调查的结果,得到顾客购买味精的流动情况表。
进行预测设初始市场占有的分布是(p1,p2,p3)=(0.4,0.3,0.3),三个月以后的市场占有分布是(p1(3),p2(3),p3(3)),则预测的公式是
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