多目标优化方法及实例解析_精品文档PPT资料.ppt

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（二）对于多目标规划问题，可以将其数学模型一般地描写为如下形式：

一多目标规划及其非劣解,式中：

为决策变量向量。

缩写形式：

有n个决策变量，k个目标函数，m个约束方程，则：

Z=F（X）是k维函数向量，（X）是m维函数向量；

G是m维常数向量；

（1）,

（2）,对于线性多目标规划问题，可以进一步用矩阵表示：

式中：

X为n维决策变量向量；

C为kn矩阵，即目标函数系数矩阵；

B为mn矩阵，即约束方程系数矩阵；

b为m维的向量，即约束向量。

多目标规划的非劣解,多目标规划问题的求解不能只追求一个目标的最优化（最大或最小），而不顾其它目标。

对于上述多目标规划问题，求解就意味着需要做出如下的复合选择：

每一个目标函数取什么值，原问题可以得到最满意的解决？

每一个决策变量取什么值，原问题可以得到最满意的解决？

在图1中，max（f1,f2）.就方案和来说，的f2目标值比大，但其目标值f1比小，因此无法确定这两个方案的优与劣。

在各个方案之间，显然：

比好，比好,比好,比好。

非劣解可以用图1说明。

图1多目标规划的劣解与非劣解,9,而对于方案、之间则无法确定优劣，而且又没有比它们更好的其他方案，所以它们就被称为多目标规划问题的非劣解或有效解，其余方案都称为劣解。

所有非劣解构成的集合称为非劣解集。

当目标函数处于冲突状态时，就不会存在使所有目标函数同时达到最大或最小值的最优解，于是我们只能寻求非劣解（又称非支配解或帕累托解）。

效用最优化模型罚款模型约束模型目标达到法目标规划模型,二多目标规划求解技术简介,为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将多目标规划问题转化为单目标规划问题去处理。

实现这种转化，有如下几种建模方法。

是与各目标函数相关的效用函数的和函数。

方法一效用最优化模型（线性加权法）,

（1）,

（2）,思想：

规划问题的各个目标函数可以通过一定的方式进行求和运算。

这种方法将一系列的目标函数与效用函数建立相关关系，各目标之间通过效用函数协调，使多目标规划问题转化为传统的单目标规划问题：

在用效用函数作为规划目标时，需要确定一组权值i来反映原问题中各目标函数在总体目标中的权重，即：

式中，i应满足：

向量形式：

方法二罚款模型（理想点法）,思想:

规划决策者对每一个目标函数都能提出所期望的值（或称满意值）；

通过比较实际值fi与期望值fi*之间的偏差来选择问题的解，其数学表达式如下：

或写成矩阵形式：

式中，是与第i个目标函数相关的权重；

A是由（i=1,2,k）组成的mm对角矩阵。

理论依据：

若规划问题的某一目标可以给出一个可供选择的范围，则该目标就可以作为约束条件而被排除出目标组，进入约束条件组中。

假如，除第一个目标外，其余目标都可以提出一个可供选择的范围，则该多目标规划问题就可以转化为单目标规划问题：

方法三约束模型（极大极小法）,方法四目标达到法,首先将多目标规划模型化为如下标准形式：

在求解之前，先设计与目标函数相应的一组目标值理想化的期望目标fi*（i=1,2,k）,每一个目标对应的权重系数为i*（i=1,2,k），再设为一松弛因子。

那么，多目标规划问题就转化为：

17,方法五目标规划模型（目标规划法）,需要预先确定各个目标的期望值fi*，同时给每一个目标赋予一个优先因子和权系数，假定有K个目标，L个优先级（LK），目标规划模型的数学形式为：

18,式中：

di+和di分别表示与fi相应的、与fi*相比的目标超过值和不足值，即正、负偏差变量；

pl表示第l个优先级；

lk+、lk-表示在同一优先级pl中，不同目标的正、负偏差变量的权系数。

三目标规划方法,通过前面的介绍和讨论，我们知道，目标规划方法是解决多目标规划问题的重要技术之一。

这一方法是美国学者查恩斯（A.Charnes）和库伯（W.W.Cooper）于1961年在线性规划的基础上提出来的。

后来，查斯基莱恩（U.Jaashelainen）和李（Sang.Lee）等人，进一步给出了求解目标规划问题的一般性方法单纯形方法。

目标规划模型目标规划的图解法求解目标规划的单纯形方法,目标规划模型,给定若干目标以及实现这些目标的优先顺序，在有限的资源条件下，使总的偏离目标值的偏差最小。

1.基本思想：

2.目标规划的有关概念,例1：

某一个企业利用某种原材料和现有设备可生产甲、乙两种产品，其中，甲、乙两种产品的单价分别为8万元和10万元；

生产单位甲、乙两种产品需要消耗的原材料分别为2个单位和1个单位，需要占用的设备分别为1单位台时和2单位台时；

原材料拥有量为11个单位；

可利用的设备总台时为10单位台时。

试问：

如何确定其生产方案使得企业获利最大？

由于决策者所追求的唯一目标是使总产值达到最大，这个企业的生产方案可以由如下线性规划模型给出：

求x1，x2，使,将上述问题化为标准后，用单纯形方法求解可得最佳决策方案为:

（万元）。

生产甲、乙两种产品，有关数据如表所示。

试求获利最大的生产方案？

但是，在实际决策时，企业领导者必须考虑市场等一系列其它条件，如：

超过计划供应的原材料，需用高价采购，这就会使生产成本增加。

应尽可能地充分利用设备的有效台时，但不希望加班。

应尽可能达到并超过计划产值指标56万元。

这样，该企业生产方案的确定，便成为一个多目标决策问题，这一问题可以运用目标规划方法进行求解。

根据市场信息，甲种产品的需求量有下降的趋势，因此甲种产品的产量不应大于乙种产品的产量。

23,假定有L个目标，K个优先级（KL），n个变量。

在同一优先级pk中不同目标的正、负偏差变量的权系数分别为kl+、kl-，则多目标规划问题可以表示为：

目标规划模型的一般形式,目标函数,目标约束,绝对约束,非负约束,24,在以上各式中，kl+、kl-、分别为赋予pl优先因子的第k个目标的正、负偏差变量的权系数，gk为第k个目标的预期值，xj为决策变量，dk+、dk-、分别为第k个目标的正、负偏差变量，,目标函数,目标约束,绝对约束,非负约束,目标规划数学模型中的有关概念。

（1）偏差变量在目标规划模型中，除了决策变量外，还需要引入正、负偏差变量d+、d-。

其中，正偏差变量表示决策值超过目标值的部分，负偏差变量表示决策值未达到目标值的部分。

因为决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，故有d+d-=0成立。

（2）绝对约束和目标约束绝对约束，必须严格满足的等式约束和不等式约束，譬如，线性规划问题的所有约束条件都是绝对约束，不能满足这些约束条件的解称为非可行解，所以它们是硬约束。

目标约束，目标规划所特有的，可以将约束方程右端项看作是追求的目标值，在达到此目标值时允许发生正的或负的偏差，可加入正负偏差变量，是软约束。

线性规划问题的目标函数，在给定目标值和加入正、负偏差变量后可以转化为目标约束，也可以根据问题的需要将绝对约束转化为目标约束。

（3）优先因子（优先等级）与权系数一个规划问题,常常有若干个目标，决策者对各个目标的考虑,往往是有主次的。

凡要求第一位达到的目标赋予优先因子p1，次位的目标赋予优先因子p2，并规定plpl+1（l=1,2,.）表示pl比pl+1有更大的优先权。

即:

首先保证p1级目标的实现，这时可以不考虑次级目标；

而p2级目标是在实现p1级目标的基础上考虑的；

依此类推。

若要区别具有相同优先因子pl的目标的差别，就可以分别赋予它们不同的权系数i*（i=1,2,k）。

这些优先因子和权系数都由决策者按照具体情况而定。

（4）目标函数目标规划的目标函数（准则函数）是按照各目标约束的正、负偏差变量和赋予相应的优先因子而构造的。

当每一目标确定后，尽可能缩小与目标值的偏离。

因此，目标规划的目标函数只能是：

a）要求恰好达到目标值，就是正、负偏差变量都要尽可能小,即,b）要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能小，即,c）要求超过目标值，也就是超过量不限，但负偏差变量要尽可能小，即,基本形式有三种：

29,例2：

在例1中，如果决策者在原材料供应受严格控制的基础上考虑：

首先是甲种产品的产量不超过乙种产品的产量；

其次是充分利用设备的有限台时，不加班；

再次是产值不小于56万元。

并分别赋予这三个目标优先因子p1,p2,p3。

试建立该问题的目标规划模型。

分析:

题目有三个目标层次，包含三个目标值。

第一目标：

p1d1+;

即产品甲的产量不大于乙的产量。

第二目标：

p2（d2+d2-）;

即充分利用设备的有限台时，不加班；

第三目标：

p3d3-;

即产值不小于56万元；

例2：

解：

根据题意，这一决策问题的目标规划模型是,31,例3、某厂计划在下一个生产周期内生产甲、乙两种产品，已知资料如表所示。

（1）试制定生产计划，使获得的利润最大？

解:

设生产甲产品:

x1，乙产品:

x2,

（1）,32,若在例3中提出下列要求：

1、完成或超额完成利润指标50000元；

2、产品甲不超过200件，产品乙不低于250件；

3、现有钢材3600吨必须用完。

试建立目标规划模型。

分析：

题目有三个目标层次，包含四个目标值。

p1d1-第二目标：

有两个要求即甲d2+，乙d3-，但两个具有相同的优先因子，因此需要确定权系数。

本题可用单件利润比作为权系数即70:

120，化简为7:

12。

第三目标：

33,所以目标规划模型为：

34,图解法同样适用两个变量的目标规划问题，但其操作简单，原理一目了然。

同时，也有助于理解一般目标规划的求解原理和过程。

图解法解题步骤如下：

1、确定各约束条件的可行域。

即将所有约束条件（包括目标约束和绝对约束，暂不考虑正负偏差变