计量经济学之一元线性回归模型_精品文档PPT资料.ppt
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被解释变量(ExplainedVariable)或应变量(DependentVariable)。
解释变量(ExplanatoryVariable)或自变量(IndependentVariable)。
回归分析构成计量经济学的方法论基础,其主要内容包括:
(1)根据样本观察值对经济计量模型参数进行估计,求得回归方程;
(2)对回归方程、参数估计值进行显著性检验;
(3)利用回归方程进行分析、评价及预测。
二、总体回归函数,回归分析关心的是根据解释变量的已知或给定值,考察被解释变量的总体均值,即当解释变量取某个确定值时,与之统计相关的被解释变量所有可能出现的对应值的平均值。
例2.1:
一个假想的社区有100户家庭组成,要研究该社区每月家庭消费支出Y与每月家庭可支配收入X的关系。
即如果知道了家庭的月收入,能否预测该社区家庭的平均月消费支出水平。
为达到此目的,将该100户家庭划分为组内收入差不多的10组,以分析每一收入组的家庭消费支出。
由于不确定因素的影响,对同一收入水平X,不同家庭的消费支出不完全相同;
但由于调查的完备性,给定收入水平X的消费支出Y的分布是确定的,即以X的给定值为条件的Y的条件分布(Conditionaldistribution)是已知的,例如:
P(Y=561|X=800)=1/4。
因此,给定收入X的值Xi,可得消费支出Y的条件均值(conditionalmean)或条件期望(conditionalexpectation):
E(Y|X=Xi)。
该例中:
E(Y|X=800)=561描出散点图发现:
随着收入的增加,消费“平均地说”也在增加,且Y的条件均值均落在一根正斜率的直线上。
这条直线称为总体回归线。
在给定解释变量Xi条件下被解释变量Yi的期望轨迹称为总体回归线(populationregressionline),或更一般地称为总体回归曲线(populationregressioncurve)。
称为(双变量)总体回归函数(populationregressionfunction,PRF)。
相应的函数:
含义:
回归函数(PRF)说明被解释变量Y的平均状态(总体条件期望)随解释变量X变化的规律。
函数形式:
可以是线性或非线性的。
例2.1中,将居民消费支出看成是其可支配收入的线性函数时:
为一线性函数。
其中,0,1是未知参数,称为回归系数(regressioncoefficients)。
三、随机扰动项,总体回归函数说明在给定的收入水平Xi下,该社区家庭平均的消费支出水平。
但对某一个别的家庭,其消费支出可能与该平均水平有偏差。
称为观察值围绕它的期望值的离差(deviation),是一个不可观测的随机变量,又称为随机干扰项(stochasticdisturbance)或随机误差项(stochasticerror)。
例2.1中,给定收入水平Xi,个别家庭的支出可表示为两部分之和:
(1)该收入水平下所有家庭的平均消费支出E(Y|Xi),称为系统性(systematic)或确定性(deterministic)部分;
(2)其他随机或非确定性(nonsystematic)部分i。
称为总体回归函数(PRF)的随机设定形式。
表明被解释变量除了受解释变量的系统性影响外,还受其他因素的随机性影响。
由于方程中引入了随机项,成为计量经济学模型,因此也称为总体回归模型。
随机误差项主要包括下列因素:
在解释变量中被忽略的因素的影响;
变量观测值的观测误差的影响;
模型关系的设定误差的影响;
其他随机因素的影响。
产生并设计随机误差项的主要原因:
理论的含糊性;
数据的欠缺;
节省原则。
四、样本回归函数(SRF),问题:
能从一次抽样中获得总体的近似的信息吗?
如果可以,如何从抽样中获得总体的近似信息?
例2.2:
在例2.1的总体中有如下一个样本,能否从该样本估计总体回归函数PRF?
回答:
能,该样本的散点图(scatterdiagram):
画一条直线以尽好地拟合该散点图,由于样本取自总体,可以该直线近似地代表总体回归线。
该直线称为样本回归线(sampleregressionlines)。
记样本回归线的函数形式为:
称为样本回归函数(sampleregressionfunction,SRF)。
注意:
这里将样本回归线看成总体回归线的近似替代,则,样本回归函数的随机形式/样本回归模型:
同样地,样本回归函数也有如下的随机形式:
由于方程中引入了随机项,成为计量经济模型,因此也称为样本回归模型(sampleregressionmodel)。
回归分析的主要目的:
根据样本回归函数SRF,估计总体回归函数PRF。
即,根据,估计,注意:
这里PRF可能永远无法知道。
2.2一元线性回归模型的参数估计,一、一元线性回归模型的基本假设二、参数的普通最小二乘估计(OLS)三、参数估计的最大或然法(ML)四、最小二乘估计量的性质五、参数估计量的概率分布及随机干扰项方差的估计,说明,单方程计量经济学模型分为两大类:
线性模型和非线性模型线性模型中,变量之间的关系呈线性关系非线性模型中,变量之间的关系呈非线性关系一元线性回归模型:
只有一个解释变量,i=1,2,n,Y为被解释变量,X为解释变量,0与1为待估参数,为随机干扰项,回归分析的主要目的是要通过样本回归函数(模型)SRF尽可能准确地估计总体回归函数(模型)PRF。
估计方法有多种,其中最广泛使用的是普通最小二乘法(ordinaryleastsquares,OLS)。
为保证参数估计量具有良好的性质,通常对模型提出若干基本假设。
实际这些假设与所采用的估计方法紧密相关。
一、线性回归模型的基本假设,假设1.解释变量X是确定性变量,不是随机变量;
假设2.随机误差项具有零均值、同方差和不序列相关性:
E(i)=0i=1,2,nVar(i)=2i=1,2,nCov(i,j)=0iji,j=1,2,n,假设3.随机误差项与解释变量X之间不相关:
Cov(Xi,i)=0i=1,2,n假设4.服从零均值、同方差、零协方差的正态分布iN(0,2)i=1,2,n,如果假设1、2满足,则假设3也满足;
如果假设4满足,则假设2也满足。
以上假设也称为线性回归模型的经典假设或高斯(Gauss)假设,满足该假设的线性回归模型,也称为经典线性回归模型(ClassicalLinearRegressionModel,CLRM)。
另外,在进行模型回归时,还有两个暗含的假设:
假设5.随着样本容量的无限增加,解释变量X的样本方差趋于一有限常数。
即,假设6.回归模型是正确设定的,假设5旨在排除时间序列数据出现持续上升或下降的变量作为解释变量,因为这类数据不仅使大样本统计推断变得无效,而且往往产生所谓的伪回归问题(spuriousregressionproblem)。
假设6也被称为模型没有设定偏误(specificationerror),二、参数的普通最小二乘估计(OLS),给定一组样本观测值(Xi,Yi)(i=1,2,n)要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值.普通最小二乘法(Ordinaryleastsquares,OLS)给出的判断标准是:
二者之差的平方和,最小。
方程组(*)称为正规方程组(normalequations)。
记,上述参数估计量可以写成:
称为OLS估计量的离差形式(deviationform)。
由于参数的估计结果是通过最小二乘法得到的,故称为普通最小二乘估计量(ordinaryleastsquaresestimators)。
顺便指出,记,则有,可得,(*)式也称为样本回归函数的离差形式。
(*),注意:
在计量经济学中,往往以小写字母表示对均值的离差。
三、参数估计的最大或然法(ML),最大或然法(MaximumLikelihood,简称ML),也称最大似然法,是不同于最小二乘法的另一种参数估计方法,是从最大或然原理出发发展起来的其他估计方法的基础。
基本原理:
对于最大或然法,当从模型总体随机抽取n组样本观测值后,最合理的参数估计量应该使得从模型中抽取该n组样本观测值的概率最大。
在满足基本假设条件下,对一元线性回归模型:
随机抽取n组样本观测值(Xi,Yi)(i=1,2,n)。
那么Yi服从如下的正态分布:
于是,Y的概率函数为,(i=1,2,n),假如模型的参数估计量已经求得,为,因为Yi是相互独立的,所以的所有样本观测值的联合概率,也即或然函数(likelihoodfunction)为:
将该或然函数极大化,即可求得到模型参数的极大或然估计量。
由于或然函数的极大化与或然函数的对数的极大化是等价的,所以,取对数或然函数如下:
解得模型的参数估计量为:
可见,在满足一系列基本假设的情况下,模型结构参数的最大或然估计量与普通最小二乘估计量是相同的。
例2.2.1:
在上述家庭可支配收入-消费支出例中,对于所抽出的一组样本数,参数估计的计算可通过下面的表2.2.1进行。
因此,由该样本估计的回归方程为:
四、最小二乘估计量的性质,当模型参数估计出后,需考虑参数估计值的精度,即是否能代表总体参数的真值,或者说需考察参数估计量的统计性质。
一个用于考察总体的估计量,可从如下几个方面考察其优劣性:
(1)线性性,即它是否是另一随机变量的线性函数;
(2)无偏性,即它的均值或期望值是否等于总体的真实值;
(3)有效性,即它是否在所有线性无偏估计量中具有最小方差。
这三个准则也称作估计量的小样本性质。
拥有这类性质的估计量称为最佳线性无偏估计量(bestlinerunbiasedestimator,BLUE)。
(4)渐近无偏性,即样本容量趋于无穷大时,是否它的均值序列趋于总体真值;
(5)一致性,即样本容量趋于无穷大时,它是否依概率收敛于总体的真值;
(6)渐近有效性,即样本容量趋于无穷大时,是否它在所有的一致估计量中具有最小的渐近方差。
当不满足小样本性质时,需进一步考察估计量的大样本或渐近性质:
高斯马尔可夫定理(Gauss-Markovtheorem)在给定经典线性回归的假定下,最小二乘估计量是具有最小方差的线性无偏估计量。
证:
易知,故,同样地,容易得出,
(2)证明最小方差性,其中,ci=ki+di,di为不全为零的常数则容易证明,普通最小二乘估计量(ordinaryleastSquaresEstimators)称为最佳线性无偏估计量(bestlinearunbiasedestimator,BLUE),由于最小二乘估计量拥有一个“好”的估计量所应具备的小样本特性,它自然也拥有大样本特
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