蒙特卡罗模拟_精品文档PPT资料.ppt
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,产生n对二维随机点(xi,yi),i1,2,n.,xi和yi是RND随机数对.,检查每对随机数是否满足:
相当于第i个随机点落在1/4圆内.,若有k个点落在l4圆内,随机事件“点落入1/4圆内”的频率为k/n,根据概率论中的大数定律,事件发生的频率依概率收敛于事件发生的概率p,即有,得圆周率的估计值为,且当试验次数足够大时,其精度也随之提高.,分析:
实际上概率值为,恰为1/4圆的面积,频率法:
利用随机变量落进指定区域内的频率来计算定积分.,平均值法:
利用随机变量的平均值(数学期望)来计算定积分.,平均值法的算法如下:
产生RND随机数:
r1,r2,rn;
(2)令ui=a(ba)ri,i=1,2,n;
(3)计算作为I的估计值.,原理分析:
设随机变量1,2,n相互独立,且iU(0,1),f(i),i=1,2,n相互独立同分布,由(强)大数定律知,以概率为1成立,当n足够大时,得近似公式:
注:
平均值法本质上是用样本平均值作为总体教学期望的估计。
二.蒙特卡罗模拟试验次数的确定,MC模拟是一种试验近似方法,试验次数如何确定?
?
希望:
模拟次数较少、模拟精度较高,频率法的讨论,用事件A出现的频率作为概率p的估计:
问题:
试验次数n多大时,对给定的置信度1(01),估计精度达到.,即问:
取多大的n使,成立?
证明,频率法是事件A出现的频率作为概率p的估计,答案:
其中,z是正态分布的临界值.,n次独立试验中A出现的次数knB(n,p).由中心极限定理知,平均值法,在给定和下所需的试验次数的估计式为,查得正态分布的临界值z,可解得,试验次数估计式的分析,为估计概率p做模拟,却又需要用p去估计模拟次数n.,如何计算S2?
解决方法:
先做n0次模拟(称为学习样本),根据学习样本.,
(1)先求出p的估计,再估计模拟次数n:
(2)计算出的样本方差S2,用来估计n.,2.MC模拟的估计精度与试验次数n的平方根成反比,若精度提高10倍,则试验次数n要增大100倍.,P197表8.2中列出了置信度为0.95时,在不同精度及概率p条件下频率法所需试验次数。
对该表进行分析,能得到什么结论?
1.精度提高,试验次数大幅提高;
2.事件发生概率越接近0.5,试验次数越高;
核反应堆屏蔽层是用一定厚度的铅包围反应堆,用以阻挡或减弱反应堆发出的各种射线.在各种射线中,中子对人体伤害极大,因此,在屏蔽层的设计中,了解中子穿透屏蔽层的概率对反应堆的安全运行至关重要.,例7.3.2核反应堆屏蔽层设计问题,1.问题背景,假定屏蔽层是理想的均匀平板,一个中子进入屏蔽层后运动的物理过程:
中子以初速度v0和方向角射入屏蔽层,运动一段距离后与铅核发生碰撞,中子获得新的速度及方向(v1,1).再游动一段距离后,与铅核发生第二次碰撞,并获得新的状态(v2,2),如此等等,经过若干次碰撞后,出现下述情况之一时中子终止运动过程,1)中子被弹回反应堆;
2)中子穿透屏蔽层;
3)第n次碰撞后,中子被屏蔽层吸收.,为使屏蔽层的厚度达到安全设计要求,在计算机上对中子在屏蔽层的运动过程进行模拟,阐述中子的运动,为模拟做理论准备,2.简化假设:
*1假定屏蔽层平行板厚度为D=3d,其中d为两次碰撞之间中子的平均游动距离;
*2假设在第10次碰撞以后,中子速度下降到为某一很小数值而终止运动(被引收).,因每次碰撞后,中子因损失一部分能量而速度下降.,*3假定中子在屏蔽层内相继两次碰撞之间游动的距离服从指数分布;
*4中子经碰撞后的弹射角U(0,2).,思考:
请仔细分析以上假设的合理性.,3.中子运动的数学描述,引进变量:
弹射角i第i次碰撞后中子的运动方向与x轴正向的夹角.,xi第i次碰撞后中子所处位置与屏蔽层内壁的距离.,Ri中子在第i次碰撞前后的游动距离.,三个变量均为随机变量,中子在屏蔽层里随机游动,第i次碰撞以后,按照它的位置坐标xi,可能有以下三种情况发生:
(1)xi0,中子返回反应堆;
(2)xiD,中子穿透屏蔽层;
经过第i次碰撞,中子在屏蔽层内的位置是,xi=xi1+Ricosi,i=1,2,10,,(3)0xiD,若i10,中子在屏蔽层内继续运动,若i=10中子被屏蔽层吸收.,中子三状态判别准则,4.模拟过程,
(1)产生RND随机数对(ri,ui);
(2)将(ri,ui)代入公式计算,第i次中子的移动距离和弹射角,(i=1,2,3,10),(3)将(Ri,i)代入公式,xi=xi1+Ricosi,i=1,2,10,计算出第i次碰撞中子与内壁的距离xi.,判断中子是否穿透屏蔽层.,5.模拟结果分析,要求穿透屏蔽层的概率数量级为1061010,按假设条件得到一次模拟结果如下:
中子穿透屏蔽层的百分比超过了1/4,模拟结果表明屏蔽层厚度D=3d不合适.,多厚的屏蔽层才能使穿透的概率W106?
问题:
如何解决这个问题?
思路?
计算机收索法,增大屏蔽层的厚度,如D=6d、12d、24d、36d,交由计算机进行模拟,并搜索到所求解.,2.分析法,D,D,D,设计屏蔽层的厚度:
x=mD,将屏蔽层视为m层厚度均为D的平行板.,由于碰撞的能量损失,中子穿过屏蔽层的平均速度会逐层下降.,设WD是中子穿过厚度为D屏蔽层的概率,则穿过整个屏蔽层的概率W满足,利用模拟结果:
当D=3d,WD0.25,令,(WD)m106,或(m)4106,取屏蔽层的厚度x=10D=30d,可使穿透屏蔽层的概率w106,注:
模拟5000个中子的运动,用穿透屏蔽的频率估计穿透概率,由表8.2可知精度大约只有1,模拟精度太低,应适当增大模拟次数.,总结:
模拟的意义?
1.模拟方法本质上是试验性的,模拟系统是现实系统的仿真.,例中每模拟一次相当于对一个中子的运动做一次“试验”或“观察”.,2.是对思维结果的一种验证.,3.模拟本质上是一种求解问题的试验方法,需要进行较多次数的重复模拟,并且对试验结果还需进行统计分析.,4.上千万次的模拟计算工作可以借助计算机完成,而且运算速度是非常快.,
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